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Balkenrechner für Biegemoment, Biege­spannung, Querkraft & Auflagerreaktionen eines Einfeldträgers

Dieser Online-Balkenrechner berechnet die in den beiden Auflagern wirkenden Kräfte bzw. Momente (=Auflager­reaktionen) und die Neigungs­winkel statisch bestimmter und statisch unbe­stimmter Träger (bzw. Balken) auf zwei Stützen, auch als Einfeld­träger bezeichnet. Als Belastung kann eine Gleich­last oder eine Einzel­last bzw. die Kombination aus beiden oder eine Drei­ecks­last gewählt werden.

Zudem können die Quer­kraft, das Biege­moment, die Biege­spannung und die Durch­biegung an einer gewünschten Stelle und auch die Maximalwerte inklusive der dazuge­hörenden Stelle bestimmt werden. Der Verlauf des Biege­moments, der Quer­kraft und der Durch­biegung in Abhängigkeit der Länge x wird in zwei Diagrammen grafisch darge­stellt. Die zulässigen Biege­spannungen für ausge­wählte Werk­stoffe finden Sie in einer Tabelle weiter unten auf dieser Seite.

 

Es gibt drei Unter­seiten zur Theorie mit je einem durchge­rechneten Bei­spiel:

Rechner für Auflager­reaktionen, Quer­kraft & Biege­moment von statisch (un)bestimmt gelagerten Balken


Lager A  
Lastfall
Lager B
Träger mit Einzellast

l m   Kraft F kN
a m   Last q kN/m
FA kN   FB kN
MA kNm   MB kNm
xM.m m   My.m  kNm
x m   My (x) kNm
  Q (x) kN


   

Zusatzfunktionen: Biege­spannungen, Neigungs­winkel & Durch­biegung

Berechnung von Flächen­trägheits­moment bzw. Wider­stands­moment bezüglich der
y-Achse           z-Achse 

A
H mm
B mm
Wst.
Iy *   cm4
d mm
h mm
b mm
E ** N/mm²
Wy * cm3
Bild eines I-Trägers

σx.m  N/mm2
σx (x)  N/mm2
αA  °
αB °
xf.m  m
fm mm
f (x) mm

 

* Um diese Werte eingeben zu können, wählt man unter Quer­schnitt A --> Sonstige Profile --> "Eigenes Profil".

** Der E-Modul wird auto­matisch durch die Aus­wahl eines Werk­stoffs einge­tragen, kann jederzeit geändert werden; passende Werte gibt es zum Beispiel auf Wikipedia.

Hinweise

  • Der Balkenrechner kann zum Beispiel auch dann ver­wendet werden, wenn die Kraft F bei bekannter Durch­biegung ge­sucht ist: In diesem Fall bestimmt man die Lösung per Iteration.
  • Werte für die zulässigen Biege­spannungen nach Bach finden Sie etwas weiter unten auf dieser Seite.
  • Die grafische Darstellung der Durch­biegung und die Berechnung haben entgegen­gesetzte Vor­zeichen. Das Vor­zeichen, das sich durch die Berechnung ergibt, ist korrekt (positive z-Achse weist nach unten). Es ist jedoch anschau­licher, wenn die Durch­biegung so darge­stellt wird, wie sich der Balken tat­sächlich verformt.

Erklärung der Abkürzungen

FA Auflagerkraft im Lager A in z-Richtung; in x-Richtung wirken keine Kräfte!
FB Auflagerkraft im Lager B in z-Richtung; in x-Richtung wirken keine Kräfte!
MA Einspannmoment im Lager A
MB Einspannmoment im Lager B
xM.m

Stelle des maximalen Biegemoments; Achtung: es wird auch bei

mehreren, gleich großen Biegemomenten nur eine Stelle angegeben!

My.m maximales Biegemoment
x

beliebige Stelle, an der das Biegemoment, die Querkraft, die

Biegespannung und die Durchbiegung berechnet werden soll

My (x) Biegemoment an der Stelle x
Q (x) Querkraft an der Stelle x
A Querschnitt des Profils
Wst. Werkstoff ("Material")
E-M E-Modul, passende Werte gibt es zum Beispiel auf Wikipedia
Iy Flächenträgheitsmoment
Wy Widerstandsmoment
σx Biegespannung in der Randfaser an der Stelle x
σx.m maximale Biegespannung im Balken an der Stelle xM.m
αA  Neigungwinkel des Balkens im Lager A
αB Neigungwinkel des Balkens im Lager B
xf.m Stelle der maximalen Durchbiegung des Trägers
fm maximale Durchbiegung des Balkens an der Stelle xf.m
f (x) Durchbiegung des Balkens an der Stelle x

Weitere Hinweise für die Verwendung des Rechners

Damit die Spannungen, Winkel und Durch­biegungen korrekt berechnet werden können, ist auf die Einbau­lage des Balkens zu achten:

 

Mit der Vorein­stellung "Berechnung von Flächen­trägheits­moment und Wider­stands­moment bezüglich der y-Achse" muss die Wirkungs­linie der Kraft F genau in der z-Achse verlaufen (Ausnahme: U-Profil).

I-Profil mit Kraft F, senkrecht

Bei der Auswahl "Berechnung von Flächen­trägheits­moment und Wider­stands­moment bezüglich der z-Achse" muss die Wirkungs­linie der Kraft F hingegen genau in der y-Achse verlaufen (Ausnahme: T-Profil), das heißt, der Träger wird um 90° gedreht.

I-Profil mit Kraft F, um 90° gedreht

  • Weist die Kraft F bzw. q in die andere Richtung, setzt man vor diese Belastung(en) ein negatives Vorzeichen.
  • Die Auflager können als Fest­lager, Los­lager, feste Ein­spannung (auch beidseitig) oder als freies Ende ausge­führt sein.
  • Folgende Querschnitte sind verfügbar, wobei die mit * bezeichneten Profile auch ein Durchgangs­loch bzw. eine Bohrung besitzen können:
    • Rundstange (Kreis) *
    • Rundrohr (Kreisring)
    • Halb-Rundstab (Halbkreis)
    • Rechteck-Profil *
    • Rechteck-Hohlprofil / Formrohr / Vierkantrohr *
    • Rechteck mit Bohrung
    • I- bzw. H-Profil (Doppel-T-Träger) *
    • U- bzw. C-Profil *
    • T-Profil
    • L-Profil (Winkelprofil), gleich- und ungleich­schenkelig
    • L-Profil (gleichschenkelig) um 45° gedreht
    • Gleichschenkeliges / gleich­seitiges Dreieck
    • Sechseck / Sechskant
    • Achteck / Achtkant

  • Achtung: Bei senkrecht belasteten U-Trägern können die Span­nungen und Durch­biegungen nur dann korrekt berechnet werden, wenn
    • die Kraft F im Schub­mittel­punkt angreift
    • oder zwei U-Träger miteinander verbunden werden, also [ ] bzw. ] [ und die Belastung in der Mitte der beiden Balken erfolgt. In diesem Fall ist die halbe Kraft F in den Rechner einzu­setzen.
  • Eventuelle Sprünge im Quer­kraft­verlauf können nicht ganz korrekt darge­stellt werden.
  • Für die richtige Funktion wird keine Gewähr übernommen - für Berich­tigungen und Verbes­serungs­vor­schläge bitte um Nachricht mittels Kontaktformular!

Zulässige Biegespannungen nach Bach

In der folgenden Tabelle findet man die zulässigen Biege­spannungen nach Bach. Die Auswahl der Werte erfolgt zunächst auf­grund des Werk­stoffs und der Art der Belastung, also ruhend, schwellend oder schwingend (= wechselnd).

 

Bei der Zugfestig­keit Rm handelt es sich um die maximale Spannung, die ein Werk­stoff aushält. Wird diese Spannung über­schritten, kommt es zum Bruch des Balkens.

 

Welcher Wert im jeweiligen Bereich zu wählen ist, hängt unter anderem ab von der

  • Größe des Bau­teils
  • Kerbwirkung
  • Beschaffenheit der Ober­fläche

 

  Zulässige Biegespannungen in N/mm²
Beanspruchung
S235 (St 37) *
S355 (St 52) *** 42CrMo4 *
Nadelholz
ruhend (statisch) 110 - 165 155 - 235  385 - 660 10 ****
schwellend 70 - 105 (- 270) 100 - 150 (- 380)  245 - 420 (- 825)  
schwingend 50 - 75 (- 180) 70 - 105 (- 255)  175 - 240 (- 550)  
Streckgrenze Re ** 235 355 900  
Zugfestigkeit Rm ** 360 510 1100 ~ 30

* Werte nach Bach aus "Grund­lagen der Maschinen­elemente" (Arbeits­blätter zum Skriptum), TU Wien

** Mindestwerte, gelten für einen Durch­messer von 16 mm

*** berechnet aus den Werten für S235

**** Wert für Konstruktionsholz nach bullinger.de

 

Die Werte in den Klammern gelten für einen sehr glatten Probe­stab mit einem Durch­messer von 16 mm (Sicher­heit = 1) und sind dem Tabellen­buch Roloff/Matek, Maschinen­elementeO ent­nommen.

Formeln, die der Rechner verwendet

Auflagerreaktionen statisch bestimmter Träger

Belastungsfall (statisch bestimmt) FA FB MA My.max
Festlager, Einzellast, Loslager F·(1-a/l) F·a/l 0 FA·a
Festlager, Gleichlast, Loslager q·l/2 q·l/2 0 q·l²/8
Festlager, Einzel- und Gleichlast, Loslager F·(1-a/l) + q·l/2 F·a/l + q·l/2 0 /
Feste Einspannung, Einzellast, freies Ende F / F·a F·a
Feste Einspannung, Gleichlast, freies Ende q·l / q·l²/2
Feste Einspannung, Einzel-&Gleichlast, frei F + q·l / F·a + q·l²/2

Auswählbare Kombinationen

Mit dem Rechner können die Auflager­kräfte sowohl statisch bestimmter als auch statisch unbe­stimmter Systeme berechnet werden. Folgende Kombi­nationen sind möglich:

Statisch bestimmt

Balkenrechner
Festlager - Einzellast - Loslager
Balkenrechner
Festlager - Gleichlast - Loslager
Balkenrechner
Festlager - Einzellast & Gleichlast - Loslager
Balkenrechner
Festlager - Dreieckslast rechts - Loslager
Balkenrechner
Festlager - Dreieckslast links - Loslager
Balkenrechner
Feste Einspannung - Einzellast - Freies Ende
Balkenrechner
Feste Einspannung - Gleichlast - Freies Ende
Balkenrechner
Feste Einspannung - Einzellast & Gleichlast - Frei
Balkenrechner
Feste Einspannung - Dreieckslast rechts - Freies E.
Balkenrechner
Feste Einspannung - Dreieckslast links - Freies Ende

Statisch unbestimmt

Balkenrechner
Feste Einspannung - Einzellast - Feste Einspannung
Balkenrechner
Feste Einspannung - Gleichlast - Feste Einspannung
Balkenrechner
Feste Einspannung - Einzellast & Gleichlast - F. E.
Balkenrechner
Feste Einspannung - Dreieckslast - Feste Einsp.
Balkenrechner
Feste Einspannung - Dreieckslast - Feste Einsp.
Balkenrechner
Feste Einspannung - Einzellast - Loslager
Balkenrechner
Feste Einspannung - Gleichlast - Loslager
Balkenrechner
Feste Einspannung - Einzellast & Gleichlast - Loslager
Balkenrechner
Feste Einspannung - Dreieckslast rechts - Loslager
Balkenrechner
Feste Einspannung - Dreieckslast links - Loslager

Seite erstellt im November 2017. Zuletzt geändert am 26.05.2020