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Balkenrechner für Biege­moment, Biege­span­nung, Quer­kraft & Auf­lager­reak­tionen eines Trägers

Dieser Online-Balkenrechner berechnet die in den beiden Auf­lagern wirkenden Kräfte bzw. Momente (=Auflager­reaktionen) und die Nei­gungs­winkel statisch bestimmter und statisch unbe­stimmter Träger (bzw. Balken) auf zwei Stützen, auch als Einfeld­träger bezeichnet. Als Belastung kann eine Gleich­last oder eine Einzel­last bzw. die Kombination aus beiden oder eine Drei­ecks­last gewählt werden.

Zudem können die Quer­kraft, das Biege­moment, die Biege­spannung und die Durch­biegung an einer gewünschten Stelle x und auch die Maximal­werte inklusive der dazuge­hörenden Stelle bestimmt werden. Der Ver­lauf des Biege­moments, der Quer­kraft und der Durch­biegung in Abhängigkeit der Länge x wird in zwei Dia­grammen grafisch darge­stellt. Die zulässigen Biege­spannungen für ausge­wählte Werk­stoffe finden Sie in einer Tabelle weiter unten auf dieser Seite.

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Rechner für Auflager­reak­tionen, Quer­kraft & Biege­moment von statisch (un)be­stimmt gelagerten Balken


Lager A  
Lastfall
Lager B
Träger mit Einzellast

l m   F kN
a m   q kN/m
FA kN   FB kN
MA kNm   MB kNm
xM.m m   My.m  kNm
x m   My(x) kNm
  Q (x) kN


   

Zusatzfunktionen: Biege­span­nungen, Nei­gungs­winkel & Durch­biegung

Eingabe oder näherungs­weise Berechnung (hier mehr Infos) der Flächen­trägheits­momente bzw. der Wider­stands­momente von Profilen bezüg­lich der
y-Achse  (Kraft F wirkt senkrecht)
z-Achse  (Kraft F wirkt waagrecht)


A
H mm
B mm
Wst.
Iy *   cm4
d mm
h mm
b mm
E ** N/mm²
Wy * cm3
          ↓F
Bild eines I-Trägers

σx.m  N/mm2
σx (x)  N/mm2
αA  °
αB °
xf.m  m
fm mm
f (x) mm

 

* Um diese Werte eingeben zu können, wählt man unter Quer­schnitt A --> Sonstige Profile --> "Eigenes Profil".

** Der E-Modul wird auto­matisch durch die Aus­wahl eines Werk­stoffs einge­tragen, kann jeder­zeit geändert werden; passende Werte gibt es zum Beispiel auf Wikipedia.

 

Achtung:

Bei Profilen mit Loch werden unter den Zusatz­funktionen nur I, W und die maximale Spannung korrekt berechnet. Wählen Sie für die anderen Werte ein Profil ohne Loch!

Links zu weiteren Unter­seiten

 

Wichtige Hinweise

  • Die Schub­spannung wird nicht berück­sichtigt. Sie kann jedoch normaler­weise ver­nach­lässigt werden. Bei sehr kurzen Trägern ist das aber nicht zulässig!
  • Die Einheit der Belastungen ist stets in kN einzu­geben, also muss man gege­benen­falls die Ein­heiten um­rechnen: 1 kN = 1000 N; in der Regel gilt auf der Erde: 1 kg ≈ 9.81 N = 0.00981 kN. Beträgt die Last zum Bei­spiel 250 kg, setzt man in den Rechner für die Kraft F = 2.45 kN ein: 250*9.81/1000 = 2.45 kN.
  • Die Berechnung der Flächen­trägheits­momente und der Wider­stands­momente erfolgt für idealisierte Profile, das heißt, schräge Kanten und Ab­rundungen werden nicht berück­sichtigt!
  • Die Werte für die zulässigen Biege­spannungen nach Bach finden Sie etwas weiter unten auf dieser Seite.
  • Die grafische Darstellung der Durch­biegung und die Berechnung haben entgegen­gesetzte Vor­zeichen. Das Vor­zeichen, das sich durch die Berechnung ergibt, ist korrekt (positive z-Achse weist nach unten). Es ist jedoch anschau­licher, wenn die Durch­biegung so darge­stellt wird, wie sich der Balken tat­sächlich verformt.
  • Für die richtige Funk­tion wird keine Gewähr über­nommen - für Berich­tigungen und Ver­bes­serungs­vor­schläge bitte um Nach­richt mittels Kontaktformular!

Erklärung der Abkürzungen

Fliegende L. ist die Abkürzung für flie­gende Lagerung; die Kraft F greift außer­halb der beiden Lager an.

 

FA Auflagerkraft im Lager A in z-Richtung; in x-Richtung wirken keine Kräfte!
FB Auflagerkraft im Lager B in z-Richtung; in x-Richtung wirken keine Kräfte!
MA Einspannmoment im Lager A
MB Einspannmoment im Lager B; bei fliegender Lagerung Moment im Balken bei x = a.
xM.m

Stelle des maximalen Biegemoments; Achtung: es wird auch bei

mehreren, gleich großen Biegemomenten nur eine Stelle angegeben!

My.m maximales Biegemoment
x

beliebige Stelle, an der das Biegemoment, die Querkraft, die

Biegespannung und die Durchbiegung berechnet werden soll

My (x) Biegemoment an der Stelle x
Q (x) Querkraft an der Stelle x
A Querschnitt des Profils
Wst. Werkstoff ("Material")
E-M E-Modul, passende Werte gibt es zum Beispiel auf Wikipedia
Iy Flächenträgheitsmoment
Wy Widerstandsmoment
σx Biegespannung in der Randfaser an der Stelle x
σx.m

maximale Biegespannung im Balken an der Stelle xM.m.

Es ist zu prüfen, ob der Balken diese Spannung auch aushält!

αA  Neigungwinkel (= Verdrehung) des Balkens im Lager A
αB Neigungwinkel (= Verdrehung) des Balkens im Lager B
xf.m Stelle der maximalen Durchbiegung des Trägers
fm

maximale Durchbiegung des Balkens an der Stelle xf.m unter der Last F.

Es ist eventuell zu prüfen, ob diese Durchbiegung auch zulässig ist!

In der Regel reicht es jedoch, wenn nur die Spannungen kontrolliert werden.

f (x) Durchbiegung (= Verschiebung) des Balkens an der Stelle x

Weitere Hinweise für die Ver­wen­dung des Rechners

Damit die Spannungen, Winkel und Durch­biegungen korrekt berech­net werden können, ist auf die Ein­bau­lage des Balkens zu achten:

 

Mit der Vorein­stellung "Berechnung von Flächen­trägheits­moment und Wider­stands­moment bezüglich der y-Achse" muss die Wirkungs­linie der Kraft F genau in der z-Achse verlaufen (Ausnahme: U-Profil).

I-Profil mit Kraft F, senkrecht

Bei der Auswahl "Berechnung von Flächen­trägheits­moment und Wider­stands­moment bezüglich der z-Achse" muss die Wirkungs­linie der Kraft F hingegen genau in der y-Achse verlaufen (Ausnahme: T-Profil), das heißt, der Träger wird um 90° gedreht.

I-Profil mit Kraft F, um 90° gedreht

  • Weist die Kraft F bzw. q in die andere Richtung, setzt man vor diese Belastung(en) ein negatives Vorzeichen.
  • Die Auflager können als Fest­lager, Los­lager, feste Ein­spannung (auch beidseitig) oder als freies Ende ausge­führt sein.
  • Folgende Querschnitte sind verfügbar, wobei die mit * bezeichneten Profile auch ein Durchgangs­loch bzw. eine Bohrung besitzen können:
    • Rundstange (Kreis) *
    • Rundrohr (Kreisring)
    • Halb-Rundstab (Halbkreis)
    • Rechteck-Profil *
    • Rechteck-Hohlprofil / Formrohr / Vierkantrohr *
    • Rechteck mit Bohrung
    • I- bzw. H-Profil (Doppel-T-Träger) *
    • U- bzw. C-Profil *
    • T-Profil
    • L-Profil (Winkelprofil), gleich- und ungleich­schenkelig
    • L-Profil (gleichschenkelig) um 45° gedreht
    • Gleichschenkeliges / gleich­seitiges Dreieck
    • Sechseck / Sechskant
    • Achteck / Achtkant

  • Achtung: Bei senkrecht belasteten U-Trägern können die Span­nungen und Durch­biegungen nur dann richtig berechnet werden, wenn
    • die Kraft F im Schub­mittel­punkt angreift
    • oder zwei U-Träger miteinander verbunden werden, also [ ] bzw. ] [ und die Belastung in der Mitte der beiden Balken erfolgt. In diesem Fall ist die halbe Kraft F in den Rechner einzu­setzen.
  • Eventuelle Sprünge im Quer­kraft­verlauf können nicht ganz korrekt darge­stellt werden.

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Zulässige Biegespannungen nach Bach

Normalerweise ist die maximal auf­tretende Spannung das Aus­legungs­kriterium für Bau­teile. In einigen Fällen ist jedoch auch die maximale Durch­biegung zu beachten, zum Bei­spiel bei der Lagerung von Wellen. In der folgenden Tabelle findet man die zulässigen Biege­spannungen nach Bach. Die Aus­wahl der korrekten Werte erfolgt zunächst auf­grund des Werk­stoffs und der Art der Belastung, also ruhend, schwellend oder schwingend (= wechselnd).

 

Wird die Streck­grenze Re bzw. die Fließ­grenze ReN über­schritten, kommt es zu plastischen - also bleibenden - Ver­formungen des Bau­teils, was im Maschinen­bau in aller Regel auszu­schließen ist. Bei der Zugfestig­keit Rm handelt es sich um die maximale Spannung, die ein Werk­stoff aushält. Wird diese Spannung über­schritten, kommt es zum Bruch des Balkens.

 

Welcher Wert im jeweiligen Bereich zu wählen ist, hängt unter anderem ab von der

  • Größe des Bau­teils
  • Kerbwirkung, z. B. Nuten, Absätze, Löcher, ...
  • Beschaffenheit der Ober­fläche
  • Auslegung auf Zeit­festig­keit oder auf Dauer­festig­keit

 

 

Die Werkstoffkennwerte für ein paar bekannte Stähle finden Sie in dieser Tabelle, wobei die zulässigen Spannungen immer Sicher­heiten beinhalten:

 

  Zulässige Biegespannungen in N/mm²
 Beanspruchung
S235 (St 37) *
S355 (St 52) ** 42CrMo4 *
Nadelholz
 ruhend (= statisch) 110 - 165 (- 280)1 155 - 235 (- 390)1 385 - 660 (- 990)1 10 ***
 schwellend 70 - 105 (- 270)2 100 - 150 (- 380)2  245 - 420 (- 825)2  
 schwingend 50 - 75 (- 180)2 70 - 105 (- 255)2  175 - 240 (- 550)2  
 Streckgrenze Re 3 235 355 900  
 Zugfestigkeit Rm 3 360 510 1100 ~ 30

* Werte nach Bach aus "Grund­lagen der Maschinen­elemente" (Arbeits­blätter zum Skriptum), TU Wien

** berechnet aus den Werten für S235

*** Wert für Konstruktionsholz nach: https://www.bullinger.de/produkte/konstruktionsholz/statikbauphysik.html

 

1 Die Werte in Klammern entsprechen der Streckgrenze Re; ansonsten gilt ähnliches wie unter 2.

2 Die Werte in den Klammern gelten für einen idealen, sehr glatten Probe­stab mit einem Durch­messer von 16 mm (Sicher­heit = 1) und sind dem Tabellen­buch Roloff/Matek, Maschinen­elementeo ent­nommen. Diese Werte können in der Praxis eigent­lich nie ver­wendet werden und stehen daher in einer Klammer, weil man immer gewisse Sicher­heiten ein­planen muss.

3 Mindestwerte, gelten für einen Durch­messer von 16 mm

Formeln & auswählbare Kombinationen

Formeln

Die vom Rechner verwendeten Formeln findet man auf dieser Unterseite:

 

 

Mit dem Rechner können die Auflager­kräfte sowohl statisch bestimmter als auch statisch unbe­stimmter Systeme berechnet werden. Lager A kann als Fest­lager oder als feste Ein­spannung ausge­führt sein. Lager B darf ein Los­lager, eine feste Ein­spannung oder ein freies Ende sein. Handelt es sich bei Lager A um eine feste Ein­spannung und ist Lager B gar nicht vor­handen (= freies Ende), nennt man diesen Auf­bau Krag­träger, Krag­balken oder auch Krag­arm.

Greift die Kraft außer­halb der Lager an, handelt es sich um eine soge­nannte flie­gende Lagerung. Diese Lagerungs­art kommt öfters bei Wellen bzw. Achsen vor.

 

Folgende Kombi­nationen sind möglich:

Statisch bestimmt

Balkenrechner
Festlager - Einzellast - Loslager
Balkenrechner
Festlager - Gleichlast - Loslager
Balkenrechner
Festlager - Einzellast & Gleichlast - Loslager
Balkenrechner
Festlager - Dreieckslast rechts - Loslager
Balkenrechner
Festlager - Dreieckslast links - Loslager
Balkenrechner_Kragbalken
Feste Einspannung - Einzellast - Freies Ende
Balkenrechner
Feste Einspannung - Gleichlast - Freies Ende
Balkenrechner
Feste Einspannung - Einzellast & Gleichlast - Frei
Balkenrechner
Feste Einspannung - Dreieckslast rechts - Freies E.
Balkenrechner
Feste Einspannung - Dreieckslast links - Freies Ende
Balkenrechner_fliegende Lagerung
Festlager - Loslager - Einzellast

Statisch unbestimmt

Balkenrechner
Feste Einspannung - Einzellast - Feste Einspannung
Balkenrechner
Feste Einspannung - Gleichlast - Feste Einspannung
Balkenrechner
Feste Einspannung - Einzellast & Gleichlast - F. E.
Balkenrechner
Feste Einspannung - Dreieckslast - Feste Einsp.
Balkenrechner
Feste Einspannung - Dreieckslast - Feste Einsp.
Balkenrechner
Feste Einspannung - Einzellast - Loslager
Balkenrechner
Feste Einspannung - Gleichlast - Loslager
Balkenrechner
Feste Einspannung - Einzellast & Gleichlast - Loslager
Balkenrechner
Feste Einspannung - Dreieckslast rechts - Loslager
Balkenrechner
Feste Einspannung - Dreieckslast links - Loslager

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Seite erstellt im November 2017. Zuletzt geändert am 05.01.2021.