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Balkenrechner für Biegemoment, Biegespannung, Querkraft & Auflagerreaktionen eines Einfeldträgers

Dieser Online-Balkenrechner berechnet die in den beiden Auflagern wirkenden Kräfte bzw. Momente (=Auflagerreaktionen) und die Neigungswinkel statisch bestimmter und statisch unbestimmter Träger (bzw. Balken) auf zwei Stützen, auch als Einfeldträger bezeichnet. Als Belastung kann eine Gleichlast oder eine Einzellast bzw. die Kombination aus beiden oder eine Dreieckslast gewählt werden.

Zudem können die Querkraft, das Biegemoment, die Biegespannung und die Durchbiegung an einer gewünschten Stelle und auch die Maximalwerte inklusive der dazugehörenden Stelle bestimmt werden. Der Verlauf des Biegemoments, der Querkraft und der Durchbiegung in Abhängigkeit der Länge x wird in zwei Diagrammen grafisch dargestellt. Die zulässigen Biegespannungen für ausgewählte Werkstoffe finden Sie in einer Tabelle weiter unten auf dieser Seite.

Es gibt drei Unterseiten zur Theorie mit je einem durchgerechneten Beispiel:

Lagerreaktionen berechnen (statisch bestimmter Träger)
Satz von Castigliano/Menabrea (statisch unbestimmter Träger)
Tipp: Ist zum Beispiel die Kraft F oder die Länge l (= Spannweite des Balkens) gesucht, kann man die Lösung per Iteration ermitteln.

Rechner für Auflagerreaktionen, Querkraft & Biegemoment von statisch (un)bestimmt gelagerten Balken

Lager A
Lastfall
Lager B

l	m	Kraft F	kN
a	m	Last q	kN/m
F_A	kN	F_B	kN
M_A	kNm	M_B	kNm

x_M.m	m	M_y.m	kNm
x	m	M_y (x)	kNm
x	m	Q (x)	kN

Zusatzfunktionen: Biegespannungen, Neigungswinkel & Durchbiegung

Berechnung von Flächenträgheitsmoment bzw. Widerstandsmoment bezüglich der
y-Achse z-Achse

A
H	mm
B	mm
Wst.
I_y *	cm⁴

d	mm
h	mm
b	mm
E **	N/mm²
W_y *	cm³

σ_x.m		N/mm²
σ_x (x)		N/mm²
α_A		°
α_B		°
x_f.m		m
f_m		mm
f (x)		mm

* Um diese Werte eingeben zu können, wählt man unter Querschnitt A --> Sonstige Profile --> "Eigenes Profil".

** Der E-Modul wird automatisch durch die Auswahl eines Werkstoffs eingetragen, kann jederzeit geändert werden; passende Werte gibt es zum Beispiel auf Wikipedia.

Hinweise

Der Balkenrechner kann zum Beispiel auch dann verwendet werden, wenn die Kraft F bei bekannter Durchbiegung gesucht ist: In diesem Fall bestimmt man die Lösung per Iteration.
Werte für die zulässigen Biegespannungen nach Bach finden Sie etwas weiter unten auf dieser Seite.
Die grafische Darstellung der Durchbiegung und die Berechnung haben entgegengesetzte Vorzeichen. Das Vorzeichen, das sich durch die Berechnung ergibt, ist korrekt (positive z-Achse weist nach unten). Es ist jedoch anschaulicher, wenn die Durchbiegung so dargestellt wird, wie sich der Balken tatsächlich verformt.

Erklärung der Abkürzungen

F_A	Auflagerkraft im Lager A in z-Richtung; in x-Richtung wirken keine Kräfte!
F_B	Auflagerkraft im Lager B in z-Richtung; in x-Richtung wirken keine Kräfte!
M_A	Einspannmoment im Lager A
M_B	Einspannmoment im Lager B
x_M.m	Stelle des maximalen Biegemoments; Achtung: es wird auch bei mehreren, gleich großen Biegemomenten nur eine Stelle angegeben!
M_y.m	maximales Biegemoment
x	beliebige Stelle, an der das Biegemoment, die Querkraft, die Biegespannung und die Durchbiegung berechnet werden soll
M_y (x)	Biegemoment an der Stelle x
Q (x)	Querkraft an der Stelle x
A	Querschnitt des Profils
Wst.	Werkstoff ("Material")
E-M	E-Modul, passende Werte gibt es zum Beispiel auf Wikipedia
I_y	Flächenträgheitsmoment
W_y	Widerstandsmoment
σ_x	Biegespannung in der Randfaser an der Stelle x
σ_x.m	maximale Biegespannung im Balken an der Stelle x_M.m
α_A	Neigungwinkel des Balkens im Lager A
α_B	Neigungwinkel des Balkens im Lager B
x_f.m	Stelle der maximalen Durchbiegung des Trägers
f_m	maximale Durchbiegung des Balkens an der Stelle x_f.m
f (x)	Durchbiegung des Balkens an der Stelle x

Weitere Hinweise für die Verwendung des Rechners

Damit die Spannungen, Winkel und Durchbiegungen korrekt berechnet werden können, ist auf die Einbaulage des Balkens zu achten:

Mit der Voreinstellung "Berechnung von Flächenträgheitsmoment und Widerstandsmoment bezüglich der y-Achse" muss die Wirkungslinie der Kraft F genau in der z-Achse verlaufen (Ausnahme: U-Profil).

Bei der Auswahl "Berechnung von Flächenträgheitsmoment und Widerstandsmoment bezüglich der z-Achse" muss die Wirkungslinie der Kraft F hingegen genau in der y-Achse verlaufen (Ausnahme: T-Profil), das heißt, der Träger wird um 90° gedreht.

Weist die Kraft F bzw. q in die andere Richtung, setzt man vor diese Belastung(en) ein negatives Vorzeichen.
Die Auflager können als Festlager, Loslager, feste Einspannung (auch beidseitig) oder als freies Ende ausgeführt sein.
Folgende Querschnitte sind verfügbar, wobei die mit * bezeichneten Profile auch ein Durchgangsloch bzw. eine Bohrung besitzen können:

- Rundstange (Kreis) *
- Rundrohr (Kreisring)
- Halb-Rundstab (Halbkreis)
- Rechteck-Profil *
- Rechteck-Hohlprofil / Formrohr / Vierkantrohr *
- Rechteck mit Bohrung
- I- bzw. H-Profil (Doppel-T-Träger) *

- U- bzw. C-Profil *
- T-Profil
- L-Profil (Winkelprofil), gleich- und ungleichschenkelig
- L-Profil (gleichschenkelig) um 45° gedreht
- Gleichschenkeliges / gleichseitiges Dreieck
- Sechseck / Sechskant
- Achteck / Achtkant

Achtung: Bei senkrecht belasteten U-Trägern können die Spannungen und Durchbiegungen nur dann korrekt berechnet werden, wenn
- die Kraft F im Schubmittelpunkt angreift
- oder zwei U-Träger miteinander verbunden werden, also [ ] bzw. ] [ und die Belastung in der Mitte der beiden Balken erfolgt. In diesem Fall ist die halbe Kraft F in den Rechner einzusetzen.
Eventuelle Sprünge im Querkraftverlauf können nicht ganz korrekt dargestellt werden.
Für die richtige Funktion wird keine Gewähr übernommen - für Berichtigungen und Verbesserungsvorschläge bitte um Nachricht mittels Kontaktformular!

Zulässige Biegespannungen nach Bach

In der folgenden Tabelle findet man die zulässigen Biegespannungen nach Bach. Die Auswahl der Werte erfolgt zunächst aufgrund des Werkstoffs und der Art der Belastung, also ruhend, schwellend oder schwingend (= wechselnd).

Bei der Zugfestigkeit R_m handelt es sich um die maximale Spannung, die ein Werkstoff aushält. Wird diese Spannung überschritten, kommt es zum Bruch des Balkens.

Welcher Wert im jeweiligen Bereich zu wählen ist, hängt unter anderem ab von der

Größe des Bauteils
Kerbwirkung
Beschaffenheit der Oberfläche

	Zulässige Biegespannungen in N/mm²
Beanspruchung	S235 (St 37) *	S355 (St 52) ***	42CrMo4 *	Nadelholz
ruhend (statisch)	110 - 165	155 - 235	385 - 660	10 ****
schwellend	70 - 105 (- 270)	100 - 150 (- 380)	245 - 420 (- 825)
schwingend	50 - 75 (- 180)	70 - 105 (- 255)	175 - 240 (- 550)
Streckgrenze R_e **	235	355	900
Zugfestigkeit R_m **	360	510	1100	~ 30

* Werte nach Bach aus "Grundlagen der Maschinenelemente" (Arbeitsblätter zum Skriptum), TU Wien

** Mindestwerte, gelten für einen Durchmesser von 16 mm

*** berechnet aus den Werten für S235

**** Wert für Konstruktionsholz nach bullinger.de

Die Werte in den Klammern gelten für einen sehr glatten Probestab mit einem Durchmesser von 16 mm (Sicherheit = 1) und sind dem Tabellenbuch Roloff/Matek, Maschinenelemente^O entnommen.

Formeln, die der Rechner verwendet

Auflagerreaktionen statisch bestimmter Träger

Belastungsfall (statisch bestimmt)	F_A	F_B	M_A	_My.max
Festlager, Einzellast, Loslager	F·(1-a/l)	F·a/l	0	F_A·a
Festlager, Gleichlast, Loslager	q·l/2	q·l/2	0	q·l²/8
Festlager, Einzel- und Gleichlast, Loslager	F·(1-a/l) + q·l/2	F·a/l + q·l/2	0	/
Feste Einspannung, Einzellast, freies Ende	F	/	F·a	F·a
Feste Einspannung, Gleichlast, freies Ende	q·l	/	q·l²/2
Feste Einspannung, Einzel-&Gleichlast, frei	F + q·l	/	F·a + q·l²/2

Auswählbare Kombinationen

Mit dem Rechner können die Auflagerkräfte sowohl statisch bestimmter als auch statisch unbestimmter Systeme berechnet werden. Folgende Kombinationen sind möglich: