Balkenrechner für Biege­moment, Biege­span­nung, Quer­kraft & Auf­lager­reak­tionen eines Trägers

This page in English: Calculator for beams
 

Dieser Online-Balkenrechner berechnet die in den beiden Auf­lagern wirkenden Kräfte bzw. Momente (=Auflager­reaktionen) und die Nei­gungs­winkel statisch bestimmter und statisch unbe­stimmter Träger (bzw. Balken) auf zwei Stützen, auch als Einfeld­träger bezeichnet. Als Belastung kann eine Gleich­last oder eine Einzel­last bzw. die Kombination aus beiden oder eine Drei­ecks­last gewählt werden.

Zudem können die Quer­kraft, das Biege­moment, die Biege­spannung und die Durch­biegung an einer gewünschten Stelle x und auch die Maximal­werte inklusive der dazuge­hörenden Stelle bestimmt werden. Der Ver­lauf des Biege­moments, der Quer­kraft und der Durch­biegung in Abhängigkeit der Länge x wird in zwei Dia­grammen grafisch darge­stellt. Die zulässigen Biege­spannungen für ausge­wählte Werk­stoffe finden Sie in einer Tabelle weiter unten auf dieser Seite.

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Rechner für Auflager­reak­tionen, Quer­kraft & Biege­moment von statisch (un)be­stimmt gelagerten Balken

Beachten Sie unbedingt die Hinweise und die Erklärung der Abkürzungen nach dem Rechner!
 

Lager A  
Lastfall
Lager B
Balkenrechner Träger mit Einzellast

l m   F kN
a m   q kN/m
FA kN   FB kN
MA kNm   MB kNm
xM.m m   My.m  kNm
x m   My(x) kNm
  Q (x) kN

 

 

   

Zusatzfunktionen: Biege­span­nungen, Nei­gungs­winkel & Durch­biegung

Eingabe oder näherungs­weise Berechnung (hier mehr Infos) der Flächen­trägheits­momente bzw. der Wider­stands­momente von Profilen bezüg­lich der
y-Achse  (Kraft F wirkt senkrecht)
z-Achse  (Kraft F wirkt waagrecht)

 

A
H mm
B mm
Wst.
Iy *   cm4
d mm
h mm
b mm
E ** N/mm²
Wy * cm3
          ↓F
Bild eines I-Trägers

σx.m  N/mm2
σx (x)  N/mm2
αA  °
αB °
xf.m  m
fm mm
f (x) mm


* Um diese Werte eingeben zu können, wählt man unter Quer­schnitt A –> Sonstige Profile –> „Eigenes Profil“.

** Der E-Modul wird auto­matisch durch die Aus­wahl eines Werk­stoffs einge­tragen, er kann jeder­zeit geändert werden; passende Werte gibt es zum Beispiel auf Wikipedia. Der für Holz angegebene E-Modul ist als Richt­wert zu ver­stehen; genaue Werte findet man z. B. auf schweizer-fn.de, wo nach Holz­art, Festig­keits­klasse und Faser­richtung unter­schieden wird.

Wichtige Hinweise

  • Normalerweise ist die maximal auf­tretende Spannung das Aus­legungs­kriterium für Bau­teile. In einigen Fällen ist jedoch auch die maximale Durch­biegung zu beachten. Bei der Lagerung von Wellen ist der Neigungs­winkel von großer Bedeutung.
  • Die Werte für die zulässigen Biege­spannungen nach Bach finden Sie etwas weiter unten auf dieser Seite.
  • Bei Profilen mit Loch werden unter den Zusatz­funktionen nur I, W und die maximale Spannung korrekt berechnet. Wählen Sie für die anderen Werte ein Profil ohne Loch!
  • Die Schub­spannung wird nicht berück­sichtigt. Sie kann jedoch normaler­weise ver­nach­lässigt werden. Bei sehr kurzen Trägern ist das aber nicht zulässig!
  • Auch die Eigenmasse wird nicht berück­sichtigt. Sie können aber zum Bei­spiel mit meinem Gewichtrechner die Eigen­masse als Gleich­last q be­rechnen.
  • Die Einheit der Belastungen ist stets in kN einzu­geben, also muss man gege­benen­falls die Ein­heiten um­rechnen: 1 kN = 1000 N; in der Regel gilt auf der Erde: 1 kg ≈ 9.81 N = 0.00981 kN. Beträgt die Last zum Bei­spiel 250 kg, setzt man in den Rechner für die Kraft F = 2.45 kN ein: 250*9.81/1000 = 2.45 kN.
  • Die Berechnung der Flächen­trägheits­momente und der Wider­stands­momente erfolgt für idealisierte Profile, das heißt, schräge Kanten und Ab­rundungen werden nicht berück­sichtigt!
  • Die grafische Darstellung der Durch­biegung und die Berechnung haben entgegen­gesetzte Vor­zeichen. Das Vor­zeichen, das sich durch die Berechnung ergibt, ist korrekt (positive z-Achse weist nach unten). Es ist jedoch anschau­licher, wenn die Durch­biegung so darge­stellt wird, wie sich der Balken tat­sächlich verformt.
  • Eventuelle Sprünge im Quer­kraft­verlauf können nicht ganz korrekt darge­stellt werden.
  • Bei senkrecht belasteten U-Trägern können die Span­nungen und Durch­biegungen nur dann richtig berechnet werden, wenn
    • die Kraft F im Schub­mittel­punkt angreift
    • oder zwei U-Träger miteinander verbunden werden, also [ ] bzw. ] [ und die Belastung in der Mitte der beiden Balken erfolgt. In diesem Fall ist die halbe Kraft F in den Rechner einzu­setzen.
  • Für die richtige Funk­tion wird keine Gewähr über­nommen – für Berich­tigungen und Ver­bes­serungs­vor­schläge bitte um Nach­richt mittels Kontaktformular!

Erklärung der Abkürzungen

Fliegende L. ist die Abkürzung für flie­gende Lagerung; die Kraft F greift außer­halb der beiden Lager an.

 

FA Auflagerkraft im Lager A in z-Richtung; in x-Richtung wirken keine Kräfte!
FB Auflagerkraft im Lager B in z-Richtung; in x-Richtung wirken keine Kräfte!
MA Einspannmoment im Lager A
MB Einspannmoment im Lager B; bei fliegender Lagerung Moment im Balken bei x = a.
xM.m

Stelle des maximalen Biege­moments; Achtung: es wird auch bei mehreren, gleich großen Biege­momenten nur eine Stelle ange­geben!

My.m maximales Biegemoment
x

beliebige Stelle, an der das Biege­moment, die Quer­kraft, die Biege­spannung und die Durch­biegung be­rechnet werden soll

My (x) Biegemoment an der Stelle x
Q (x) Querkraft an der Stelle x
A Querschnitt des Profils
Wst. Werkstoff („Material“)
E-M E-Modul, passende Werte gibt es zum Beispiel auf Wikipedia
Iy Flächenträgheitsmoment
Wy Widerstandsmoment
σx Biegespannung in der Rand­faser an der Stelle x
σx.m

maximale Biege­spannung im Balken an der Stelle xM.m. Es ist zu prüfen, ob der Balken diese Spannung auch aushält!

αA  Neigungwinkel (= Verdrehung) des Balkens im Lager A
αB Neigungwinkel (= Verdrehung) des Balkens im Lager B
xf.m Stelle der maximalen Durchbiegung des Trägers
fm

maximale Durchbiegung des Balkens an der Stelle xf.m unter der Last F. Es ist eventuell zu prüfen, ob diese Durch­biegung auch zulässig ist! In der Regel reicht es jedoch, wenn nur die Spannungen kontrolliert werden.

f (x) Durchbiegung (= Ver­schiebung) des Balkens an der Stelle x

Weitere Hinweise für die Ver­wen­dung des Rechners

Damit die Spannungen, Winkel und Durch­biegungen korrekt berech­net werden können, ist auf die Ein­bau­lage des Balkens zu achten:
 

Mit der Vorein­stellung „Berechnung von Flächen­trägheits­moment und Wider­stands­moment bezüg­lich der y-Achse“ muss die Wirkungs­linie der Kraft F genau in der z-Achse verlaufen (Ausnahme: U-Profil).

Querschnitt eines I-Trägers mit Kraft F in z-Richtung

Bei der Auswahl „Berechnung von Flächen­trägheits­moment und Wider­stands­moment bezüglich der z-Achse“ muss die Wirkungs­linie der Kraft F hingegen genau in der y-Achse verlaufen (Ausnahme: T-Profil), das heißt, der Träger wird um 90° gedreht.
 

Querschnitt eines I-Trägers mit Kraft F in y-Richtung
  • Weist die Kraft F bzw. q in die andere Richtung, setzt man vor diese Belastung(en) ein negatives Vorzeichen.
  • Die Auflager können als Fest­lager, Los­lager, feste Ein­spannung (auch beidseitig) oder als freies Ende ausge­führt sein.
  • Folgende Querschnitte sind verfügbar, wobei die mit * bezeichneten Profile auch ein Durchgangs­loch bzw. eine Bohrung besitzen können:
    • Rundstange (Kreis) *
    • Rundrohr (Kreisring)
    • Halb-Rundstab (Halbkreis)
    • Rechteck-Profil *
    • Rechteck-Hohlprofil / Formrohr / Vierkantrohr *
    • Rechteck mit Bohrung
    • I- bzw. H-Profil (Doppel-T-Träger) *
    • U- bzw. C-Profil *
    • T-Profil
    • L-Profil (Winkelprofil), gleich- & ungleich­schenkelig
    • L-Profil (gleichschenkelig) um 45° gedreht
    • Gleichschenkeliges / gleich­seitiges Dreieck
    • Sechseck / Sechskant
    • Achteck / Achtkant

Zulässige Biegespannungen nach Bach

In der folgenden Tabelle findet man die zulässigen Biege­spannungen nach Bach. Die Aus­wahl der korrekten Werte erfolgt zunächst auf­grund des Werk­stoffs und der Art der Belastung, also ruhend, schwellend oder wechselnd.


Wird die Streck­grenze Re bzw. die Fließ­grenze ReN über­schritten, kommt es zu plastischen – also bleibenden – Ver­formungen des Bau­teils, was im Maschinen­bau in aller Regel auszu­schließen ist. Bei der Zugfestig­keit Rm handelt es sich um die maximale Spannung, die ein Werk­stoff aushält. Wird diese Spannung über­schritten, kommt es zum Bruch des Balkens.


Welcher Wert im jeweiligen Bereich zu wählen ist, hängt unter anderem ab von der

  • Größe des Bau­teils
  • Kerbwirkung, z. B. durch Nuten, Absätze, Löcher, …
  • Beschaffenheit der Ober­fläche
  • Auslegung auf Zeit­festig­keit oder auf Dauer­festig­keit


Die Werkstoffkennwerte für ein paar bekannte Stähle finden Sie in dieser Tabelle, wobei die zulässigen Spannungen immer Sicher­heiten beinhalten:

 

  Zulässige Biegespannungen in N/mm²
 Beanspruchung
S235 (St 37) *
S355 (St 52) ** 42CrMo4 *
Nadelholz
 ruhend (= statisch) 110 – 165 (- 280)1 155 – 235 (- 390)1 385 – 660 (- 990)1 10 ***
 schwellend 70 – 105 (- 270)2 100 – 150 (- 380)2  245 – 420 (- 825)2  
 wechselnd 50 – 75 (- 180)2 70 – 105 (- 255)2  175 – 240 (- 550)2  
 Streckgrenze Re 3 235 355 900  
 Zugfestigkeit Rm 3 360 510 1100 ~ 30

* Werte nach Bach aus „Grund­lagen der Maschinen­elemente“ (Arbeits­blätter zum Skriptum), TU Wien

** berechnet aus den Werten für S235

*** Wert für Konstruktionsholz nach: https://www.bullinger.de/produkte/konstruktionsholz/statikbauphysik.html


1 Die Werte in Klammern entsprechen der 1.1 bis 1.2 fachen Streckgrenze Re; ansonsten gilt ähnliches wie unter 2.

2 Die Werte in den Klammern gelten für einen idealen, sehr glatten Probe­stab mit einem Durch­messer von 16 mm (Sicher­heit = 1) und sind dem Tabellen­buch Roloff/Matek, Maschinen­elementeo ent­nommen. Diese Werte können in der Praxis eigent­lich nie ver­wendet werden und stehen daher in einer Klammer, weil man immer gewisse Sicher­heiten auf­grund der über der Tabelle ange­führten Punkte ein­planen muss.

3 Mindestwerte, gelten für einen Durch­messer von 16 mm

Formeln & auswählbare Kombinationen

Formeln

Die vom Rechner verwendeten Formeln findet man auf dieser Unterseite:


Mit dem Rechner können die Auflager­kräfte sowohl statisch bestimmter als auch statisch unbe­stimmter Systeme berechnet werden. Lager A kann als Fest­lager oder als feste Ein­spannung ausge­führt sein. Lager B darf ein Los­lager, eine feste Ein­spannung oder ein freies Ende sein. Handelt es sich bei Lager A um eine feste Ein­spannung und ist Lager B gar nicht vor­handen (= freies Ende), nennt man diesen Auf­bau Krag­träger, Krag­balken oder auch Krag­arm.

Greift die Kraft außer­halb der Lager an, handelt es sich um eine soge­nannte flie­gende Lagerung. Diese Lagerungs­art kommt öfters bei Wellen bzw. Achsen vor.


Folgende Kombi­nationen sind möglich:

Statisch bestimmt

Festlager - Einzellast - Loslager
Festlager – Einzellast – Loslager
Festlager - Gleichlast - Loslager
Festlager – Gleichlast – Loslager
Festlager - Einzellast & Gleichlast - Loslager
Festlager – Einzellast & Gleichlast – Loslager
Festlager - Dreieckslast rechts - Loslager
Festlager – Dreieckslast rechts – Loslager
Festlager - Dreieckslast links - Loslager
Festlager – Dreieckslast links – Loslager
Feste Einspannung - Einzellast - Freies Ende
Feste Einspannung – Einzellast – Freies Ende
Feste Einspannung - Gleichlast - Freies Ende
Feste Einspannung – Gleichlast – Freies Ende
Feste Einspannung - Einzellast & Gleichlast - Frei
Feste Einspannung – Einzellast & Gleichlast – Frei
Feste Einspannung - Dreieckslast rechts - Freies E.
Feste Einspannung – Dreieckslast rechts – Freies E.
Feste Einspannung - Dreieckslast links - Freies Ende
Feste Einspannung – Dreieckslast links – Freies Ende
Festlager - Loslager - Einzellast
Festlager – Loslager – Einzellast

Statisch unbestimmt

Feste Einspannung - Einzellast - Feste Einspannung
Feste Einspannung – Einzellast – Feste Einspannung
Feste Einspannung - Gleichlast - Feste Einspannung
Feste Einspannung – Gleichlast – Feste Einspannung
Feste Einspannung - Einzellast & Gleichlast - F. E.
Feste Einspannung – Einzellast & Gleichlast – F. E.
Feste Einspannung - Dreieckslast - Feste Einsp.
Feste Einspannung – Dreieckslast – Feste Einsp.
Feste Einspannung - Dreieckslast - Feste Einsp.
Feste Einspannung – Dreieckslast – Feste Einsp.
Feste Einspannung - Einzellast - Loslager
Feste Einspannung – Einzellast – Loslager
Feste Einspannung - Gleichlast - Loslager
Feste Einspannung – Gleichlast – Loslager
Feste Einspannung - Einzellast & Gleichlast - Loslager
Feste Einspannung – Einzellast & Gleichlast – Loslager
Feste Einspannung - Dreieckslast rechts - Loslager
Feste Einspannung – Dreieckslast rechts – Loslager
Feste Einspannung - Dreieckslast links - Loslager
Feste Einspannung – Dreieckslast links – Loslager

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Seite erstellt im November 2017. Zuletzt geändert am 25.07.2022.