Exponentielle Prozesse: Wachs­tum & Abnahme

Mit diesem Online-Rechner können Sie exponen­tielle Prozesse (Wachs­tum und Ab­nahme bzw. Zer­fall) berechnen und die zu­grunde liegende Funktions­gleichung in den beiden üblichen Formen aus­geben lassen. Solche Funktionen heißen Exponential­funktionen, die von diesem Rechner auch gra­fisch darge­stellt werden. Nach dem Rechner finden Sie Hinter­grund­informationen, Formeln und Bei­spiele zur An­wendung dieses Rechners.

 

Unter "Auswahl treffen" können Sie festlegen, welche Größen bekannt sind. Es ist möglich, entweder die Zunahme bzw. Abnahme, den Wachstums­faktor a oder die Konstante λ einzu­geben (im Rechner als "Änderung" bezeichnet).

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Rechner für exponentielle Vorgänge

Auswahl treffen
Zunahme*
 %
Zeit t **
N0
N(t)
Faktor a
Konstante λ

 
 

  

tmin
     
tmax
 
Soll die Y-Achse nicht bei 0 anfangen, setzen Sie einen Haken:

 

Mit tmin und tmax wird der minimale bzw. der maximale Wert auf der Zeit-Achse fest­gelegt, also der darzu­stellende Bereich. Auch negative Ein­gaben sind möglich!

 

* Es kann der Wachstums­faktor a, die Konstante λ oder die Ver­änderung in % einge­geben werden. Wählen Sie im Feld darüber eine dieser Möglich­keiten aus, in dem Sie auf den kleinen Pfeil klicken!

** Es kann jede beliebige Einheit für die Zeit verwendet werden: Sekunden, Minuten, Stunden, Tage, Jahre, ...

Erklärung der Abkürzungen

N0 Startwert/Anfangsmenge
N(t) Wert bzw. Menge zum Zeitpunkt t
t Zeit; es können Minuten, Stunden, Tage, Jahre, ... sein

Mögliche bekannte und gesuchte Größen

  • Änderung, Zeit t und Startwert N0 sind bekannt --> N(t) wird berechnet.
  • Änderung, Wert zu Beginn N0 und N(t) sind bekannt --> Zeit t wird bestimmt.
  • Zeit t und Anfangswert N0 sind bekannt --> Änderung und N(t) werden berechnet.
  • Zeit t, Startwert N0 und N(t) sind bekannt -->  Änderung wird ermittelt.

Was ist ein exponentielles Wachstum?

Damit man sich die Wirkung eines exponen­tiellen Wachs­tums bessser vor­stellen kann, nehmen wir an, es liegt eine jähr­liche Ver­dopplung vor - also der Wachstums­faktor a beträgt 2. Am Anfang hat man 1 €. Wie­viel Geld hat man nach jedem Jahr?

 

Die Ent­wicklung des Ver­mögens zeigen die folgende Tabelle und auch die Grafik, die mit dem Rechner er­stellt wurde:

Beispiel für exponentielles Wachstum_jährliche Verdoppelung

 

Obwohl sich der Betrag immer jedes Jahr ver­doppelt, merkt man am Anfang fast nichts: Ob man näm­lich 1 € hat oder 64 €, macht keinen großen Unter­schied, denn viel kann man damit nicht an­fangen. Nach 14 Jahren hätte man jedoch 16384 € und das ist doch eine schöne Menge Geld...

 

Jahr Betrag
0 1
1 2
2 4

3

8
4 16
5 32
6 64
7 128
8 256
9 512
10 1024
11 2048
12 4096
13 8192
14 16384

Kann das Wachstum immer so weiter gehen?

Nein, das ist natürlich unmög­lich, da alles auf der Welt endlich ist. Nur zu Beginn laufen viele Prozesse exponentiell ab. Irgendwann gibt es näm­lich einen Wende­punkt und das Wachs­tum schwächt sich ab, bis ein Höhe­punkt erreicht wird. Danach kommt es meist zu einer starken Abnahme.

 

Beispiel I: Geldanlage

Hätte jemand im Jahr 0 zwei Sesterzen (= Münze im römischen Reich, das entsprach etwa dem täglichen Lohn eines Hand­werkers) mit nur 1 % Ver­zinsung angelegt, dann hätten etwaige Erben heute schon etwas über 1 Milliarde Sesterzen (= 1x109). Wären die zwei Sesterzen hin­gegen mit 5 % verzinst worden, was durchaus eine realistische Rate bei manchen Anlage­formen wie Fonds ist, wäre der Betrag schon auf 1.27x1043 Sesterzen ange­wachsen. Das ist eine Zahl mit 43 Nullen!

Zum Vergleich: Laut Statista waren im Oktober 2019 ins­gesamt 1.34x1011 Euro-Münzen im Um­lauf...

 

Beispiel II: Besucheranzahl auf meiner Website

Die Besucher­zahlen auf meiner Web­site ent­wickeln sich seit mittler­weile sechs Jahren exponen­tiell, sie ver­doppeln sich fast jähr­lich. Ginge das Wachs­tum noch 10 Jahre so weiter wie bisher, hätte ich im Jahr 2030 Bild.de über­holt, was natür­lich unmöglich ist.

Formeln für exponentielles Wachstum bzw. Abnahme

Der Funktionswert zu einem beliebigen Zeitpunkt t kann auf zwei verschiedene Arten berechnet werden:

Formel mit Wachstumsfaktor a

$$N(t)=N_0 \cdot a^t$$

 

Exponentielle Zunahme (Wachstum):

$$a>1$$

 

Exponentielle Abnahme (Zerfall):

$$a<1$$

Formel mit Konstante λ

$$N(t)=N_0⋅e^{\lambda⋅t}$$

 

Exponentielle Zunahme (Wachstum):

$$\lambda>0$$

 

Exponentielle Abnahme (Zerfall):

$$\lambda<0$$


Umrechnung zwischen den beiden Formen

Mit den folgenden zwei Formeln ist eine Um­rechnung zwischen den beiden Formen mög­lich. Ist der Faktor a gegeben und die Konstante λ gesucht, ver­wendet man die linke Formel, im umge­kehrten Fall die rechte Formel:

 

\(\lambda=ln(a)\)     \(a=e^\lambda\)

Beispiele für die Anwendung des Rechners

Viele Vorgänge verlaufen in Abschnitten annähernd exponentiell.

 

Beispiele:

  • Einwohnerwachstum einer Stadt bzw. eines Landes
  • Verdopplung von Infizierten alle 5 Tage
  • Wachstum Anzahl von Bakterien
  • Radioaktiver Zerfall: Halb­werts­zeit bekannt
  • Kapitalzuwachs auf­grund einer Ver­zinsung
  • Entwicklung der Besucherzahlen auf meiner Website

Beispiel 1: Einwohner einer Stadt

Im Jahr 2020 wohnen in einer Stadt 25000 Einwohner. Die Ein­wohner­zahl wächst jährlich um 2 %. Gesucht sind die Einwohner im Jahr 2050 und die Funktionsgleichung.

 

Lösung:

Bei einer jährlichen prozentuellen Zunahme handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.

 

Man wählt beim Rechner zunächst "Änderung = Zunahme in %" unter "Änderung, t und N.0 bekannt" aus. Ins Feld "Zunahme" trägt man die Zahl 2 ein. Die Zeit t beträgt 30 Jahre (= 2050 - 2020). Zu Beginn lebten 25000 Ein­wohner in dieser Stadt, also gilt N0 = 25000. Den korrekt ausgefüllten Rechner zeigt der folgende Screenshot:

Screenshot des ausgefüllten Rechners; das jährliche Wachstum in % ist bekannt
Screenshot des ausgefüllten Rechners - das jährliche Wachstum in % ist bekannt

Im Jahr 2050, also zum Zeitpunkt t = 30, wird diese Stadt 45284 Einwohner haben.

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Beispiel 2: Coronavirus

Die Zahl der Infizierten ver­doppelt sich alle 5 Tage, zu Beginn sind 1 % der Einwohner einer Ortschaft mit 1000 Einwohnern krank. Wie lauten der Wachs­tums­faktor und die beiden Funktions­gleichungen? Wie viele Kranke wird es in 30 Tagen geben, wenn keine Maß­nahmen er­griffen werden?

 

Lösung:

1 % von 1000 entspricht 10 Personen. Der Rechner ist also wie folgt auszu­füllen:

Screenshot des Rechners - die Verdopplungszeit ist bekannt
Screenshot des Rechners - die Verdopplungszeit ist bekannt

Der Wachstumsfaktor lautet 1.148698.

 

Zur Berechnung der Infizierten nach 30 Tagen wählt man beim Rechner "Änderung = Zunahme in %" unter "Änderung, t und N.0 bekannt" aus. Die Zeit t ist auf 30 zu ändern:

Screenshot: Berechnung der Infizierten nach 30 Tagen
Screenshot: Berechnung der Infizierten nach 30 Tagen

Nach 30 Tagen ohne Maßnahmen wären 640 Personen an Corona erkrankt, also schon fast zwei Drittel der Einwohner!

Beispiel 3: Bakterienwachstum

Zu Beginn existieren 1000 Bakterien. Nach 3 Stunden sind es schon 5000, wobei von einer exponentiellen Zunahme auszu­gehen ist. Gesucht ist die Funktionsgleichung.

 

Lösung:

Man wählt beim Rechner zunächst "Eingabe von t, N.0 und N(t)" unter "t, N.0 und N(t) bekannt" aus. In die Felder werden die folgenden Zahlen eingetragen:

Ermittlung der Funktionsgleichung für Bakterienwachstum
Ermittlung der Funktionsgleichung für Bakterienwachstum

Die Anzahl der Bakterien nimmt also um 71 % pro Stunde zu.

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Seite erstellt am 24.05.2020. Zuletzt geändert am 27.11.2020.