Formeln für Volumen & Ober­fläche von Körpern

Auf dieser Seite finden Sie die Formeln zur Berechnung der Ober­fläche und des Volumens für die wichtigsten Körper wie Quader, Würfel, Dreh­zylinder, Hohl­zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel.

 

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Prismen & Zylinder

Körper, dessen Grund- und Deck­flächen kongruent (das heißt deckungs­gleich) und parallel zueinander sind, bezeichnet man als Prisma. Alle Seiten­flächen zusammen werden Mantel­fläche genannt. Die Grund­fläche kann aus beliebigen Viel­ecken bestehen.

Zylinder besitzen als Grund­fläche und Deck­fläche einen Kreis. Diese beiden Flächen sind wie beim Prisma deckungs­gleich und zuein­ander parallel.

Allgemeine Formeln für Volumen & Ober­fläche

Für Prisma und Zylinder gelten dieselben Formeln.

Für das Volumen V gilt allgemein:

$$V=G \cdot h$$

Volumen = Grund­fläche mal Höhe

 

Für die Ober­fläche O gilt all­gemein:

$$O=2 \cdot G+M$$

Oberfläche = 2 mal Grund­fläche plus Mantel­fläche


Tabelle mit Formeln für aus­ge­wählte Prismen und Zylinder

In der folgenden Tabelle finden Sie die Formeln für die wichtigsten Prismen (Quader und Würfel) und für den Dreh­zylinder und den Hohl­zylinder. Die Grund­flächen und die Deck­flächen sind in den Skizzen grau einge­färbt:

 

Körper Volumen Oberfläche

Prisma mit Grundflaeche eines Rechtecks

Ein Quader ist ein spezielles Prisma mit einem Recht­eck als Grund­fläche, dessen Seiten üblicher­weise mit a und b be­zeichnet werden. Auch bei den vier Seiten­flächen, die zusammen die Mantel­fläche bilden, handelt es sich um Recht­ecke. Alle Flächen stehen auf­ein­ander normal. Zwei gegen­über­liegende Flächen sind immer kon­gruent, also deckungs­gleich. Das heißt, es gibt maximal drei ver­schiedene Flächen. Die Höhe wird mit h bezeichnet.

$$V=a⋅b⋅h$$

$$O=2⋅(a⋅b+a⋅h+b⋅h)$$

Besonderes Prisma Würfel

Bei einem Würfel handelt es sich um einen be­sonderen Quader, bei dem alle Seiten und auch die Höhe gleich lang sind. Es gilt somit: a = b = h.

Daher sind auch die sechs Seiten­flächen alle gleich groß. Bei diesen Seiten­flächen handelt es sich um Quadrate.

$$V=a⋅a⋅a=a^3$$

$$O=6⋅a⋅a=6⋅a^2$$

 Prisma mit Grundflaeche eines Kreises

Bei einem Drehzylinder sind sowohl die Grund­fläche als auch die Deck­fläche ein Kreis. Bei der Mantel­fläche handelt es sich um ein Recht­eck: Eine Seite dieses Recht­ecks ist die Höhe, die andere Seite ent­spricht dem Umfang des Kreises. Den Radius R in den unten angeführten Formeln bekommt man wie folgt:

$$R=\frac{D}{2}$$

$$V=R^2⋅π⋅h$$

$$O=2⋅R^2⋅π+2⋅R⋅π⋅h$$

Prisma mit Grundflaeche eines Kreisrings

Die Grund­fläche und die Deck­fläche be­stehen bei einem Hohl­zylinder aus einem Kreis­ring. Es handelt sich also um einen Voll­zylinder, der in der Mitte ein Loch be­sitzt. Bei der Berechnung der Ober­fläche muss auch die innere Wand berück­sichtigt werden. Die Radien R und r bekommt man ähn­lich wie beim Dreh­zylinder.

$$V=(R^2−r^2)⋅π⋅h$$

$$O=2⋅(R^2−r^2)⋅π+2⋅(R+r)⋅π⋅h$$

Pyramide & Kegel

Die Pyramide ist ein Körper, dessen Grund­fläche ein Polygon ist und dessen Seitenflächen Drei­ecke sind. Alle Drei­ecke zusammen heißen Mantel­fläche. Über dem Mittel­punkt der Grundfläche befindet sich bei einer geraden Pyramide die sogenannte Spitze der Pyramide. Kegel haben als Grund­fläche einen Kreis.

Allgemeine Formeln für Volumen & Ober­fläche

Für Pyramide und Kegel kommen prinzipiell dieselben Formeln zur An­wendung.

Für das Volumen V gilt allgemein:

$$V=\frac{G \cdot h}{3}$$

Volumen = Grund­fläche mal Höhe geteilt durch 3

 

Für die Ober­fläche O gilt all­gemein:

$$O=G + M$$

 

Oberfläche = Grund­fläche plus Mantel­fläche


Tabelle mit Formeln für aus­ge­wählte Pyra­miden und Kegel

In der folgenden Tabelle finden Sie die Formeln für die wich­tigsten Pyramiden (quadratische und recht­eckige Pyramide) und für den Dreh­kegel. Die Grund­flächen sind in den Skizzen stets grau einge­färbt:

 

Körper Volumen Oberfläche

4-seitige Pyramide

Eine rechteckige (vier­seitige) Pyramide hat ein Recht­eck als Grund­fläche. Bei den vier Seiten­flächen, die zusammen die Mantel­fläche bilden, handelt es sich um gleich­schenkelige Dreiecke. Deren Höhen berechnet man mit dem Satz des Pythagoras. Zwei gegen­über­liegende Seiten­flächen sind immer kon­gruent, also deckungs­gleich.

$$V=\frac{a \cdot b \cdot h}{3}$$

$$O=a^2 + a \cdot \sqrt{h^2+ \frac {b^2}{4}}+ b \cdot \sqrt{h^2+ \frac {a^2}{4}}$$

quadratische Pyramide

Bei einer quadratischen Pyramide handelt es sich um eine be­sondere Pyramide, bei der alle vier Seiten gleich lang sind. Es gilt: a = b.

Daher sind auch die vier Seiten­flächen alle gleich groß.

$$V=\frac{a^2 \cdot h}{3}$$

$$O=a^2 + a \cdot \sqrt{4 \cdot h^2+a^2}$$

 Drehkegel

Bei einem Drehkegel ist die Grund­fläche ein Kreis und der Mantel ein Kreis­sektor. Den Radius R in den unten ange­führten Formeln bekommt man auf folgende Weise:

$$R=\frac{D}{2}$$

$$V=\frac{R^2 \cdot \pi \cdot h}{3}$$

$$O=R^2 \cdot \pi + R \cdot \pi \cdot \sqrt{R^2 + h^2}$$

Kugel

Die Formeln zur Berechnung des Volumens und der Oberfläche einer Kugel lauten:

 

Kugel

$$V=\frac{4 \cdot R^3 \cdot \pi}{3}$$

$$O=4 \cdot R^2 \cdot \pi$$

$$R=\frac{D}{2}$$


Seite erstellt am 13.11.2020. Zuletzt geändert am 19.11.2020.