Sinusschwingung: Funktionsgleichung & Parameter

Auf dieser Seite findest du aus­führ­liche Infor­mationen – also auch Formeln und Bei­spiele mit gra­fischen Dar­stellungen – zu den Sinus­schwingungen:

  • Wie sieht eine Sinus­schwingung aus – in­klu­sive gra­fische Dar­stellung.
  • Welche Para­meter kann man ver­ändern und wie wirkt sich das auf die Dar­stellung der har­monischen Sinus­schwingung aus.
  • Ermitteln dieser Para­meter mit­tels Formeln und damit der Funk­tions­gleichung aus einer Grafik.
  • Auch der Zusammen­hang zwischen der Sinus- und der der Cosinus­funktion wird er­läutert.
Inhaltsverzeichnis

Grundlagen zur Sinusfunktion

Bei der Sinus­funktion handelt es sich um eine der wich­tigsten mathe­matischen Funk­tionen. Die Funk­tions­gleichung vom Sinus lautet:

$$f(x)=sin(x)\quad oder:\quad y=sin(x)$$

So sieht die gra­fische Dar­stellung der Sinus­funktion aus:
 

Darstellung einer Sinusschwingung


In der Regel wird der Winkel – in dieser Grafik und in der Formel mit x bezeichnet – in Radiant ange­geben, der Taschen­rechner ist dann im Modus RAD zu ver­wenden.

Wie man er­kennen kann, liegen alle y-Werte – also die Funk­tions­werte f(x) – stets zwischen -1 und +1. Die Perioden­dauer T be­trägt 2 π oder 360° – das heißt, alle 2·π wieder­holt sich die Funk­tion.

Allgemeine har­monische Sinus-Schwingung

Die Funktions­gleichung einer all­gemeinen har­monischen Schwin­gung wird wie folgt ange­geben:

$$f(x)=A·sin(\omega ·x+φ)+d$$

Bei der Sinus­funktion sind alle diese Para­meter gleich 1, wobei man die 1 in der Regel nicht an­schreibt. Eine ausführ­liche Er­klärung aller in dieser Formel vor­kommenden Vari­ablen gibt es nach der folgenden Dar­stellung einer har­­monischen Sinus-Schwingung:
 

Darstellung einer harmonischen Sinus-Schwingung
Harmonische Schwingung

Die Funktions­gleichung dieser Sinus­schwin­gung lautet:

$$f(x)=1,5·sin\left(1,5·x+\frac{\pi}{2}\right)+2$$

Etwas weiter unten auf dieser Seite wird im Zuge eines Bei­spiels be­schrieben, wie man auf diese Gleichung kommt.

Erklärung der Variablen

  • A ist die soge­nannte Amplitude. Darunter ver­steht man die maxi­male Aus­lenkung vom arith­metischen Mittel­wert, also von der ge­dachten Null­linie. Werte größer als 1 be­wirken eine Streckung in y-Richtung, Werte kleiner als 1 eine Stauchung. Ist die Ampli­tude negativ, er­folgt eine Spie­gelung um die x-Achse.
  • Als ω wird die Kreis­frequenz be­zeichnet. Werte größer als 1 er­geben eine Stauchung in x-Richtung und die Fre­quenz f wird er­höht. Werte kleiner als 1 be­wirken eine Streckung in x-Richtung, wo­durch die Fre­quenz ver­ringert wird. Die Kreis­frequenz kann in ein­fachen Fällen direkt aus einer Grafik be­stimmt werden oder mit­tels Formel be­rechnet werden.
  • φ ist der Phasen­winkel. Damit kann die Funktion in x-Richtung ver­schoben werden. Positive Werte er­geben eine Ver­schiebung nach links – also in die nega­tive x-Richtung -, nega­tive Werte eine Ver­schiebung nach rechts. Der Phasen­winkel kann nur dann direkt aus einer Grafik abge­lesen werden, wenn ω gleich 1 ist. Andern­falls be­nötigt man eine Formel, die im Anschluss zu finden ist.
  • Mit dem Parameter d erfolgt eine Ver­schiebung in y-Richtung: Posi­tive Werte be­wirken eine Ver­schiebung nach oben, nega­tive Werte nach unten. Es han­delt sich dabei um den Ab­stand zwischen der x-Achse und der ge­dachten Null­linie.

Kreisfrequenz ω

Die Kreis­frequenz ω wird mit der folgenden Formel be­rechnet:

$$\omega=\frac{2·\pi}{T}$$

T wird als Perioden­dauer be­zeichnet. Es han­delt sich dabei um jene Zeit, die eine voll­ständige Schwingung in An­spruch nimmt, also um den kleinsten Ab­stand zwischen zwei “Bergen” (=Hoch­punkte) bzw. “Tälern” (=Tief­punkte).


Mit der Defintion der Frequenz f

$$f=\frac{1}{T}$$

kann man die Kreis­frequenz ω auch wie folgt an­schreiben:

$$\omega=2·\pi·f$$

Phasenwinkel bzw. Phasen­ver­schiebung φ

Die Phasenver­schiebung φ be­stimmt man wie folgt, wobei unbe­dingt das nega­tive Vor­zeichen zu be­achten ist:

$$φ=-t_0·\omega$$

Der Wert t0 ist der Abstand von der y-Achse des Koor­dinaten­systems zum ersten An­stieg der Funktion.

Beispiel: Finden der Funktions­gleichung

Aus der folgenden, schon be­kannten Grafik soll nun die Funk­tions­gleichung er­mittelt werden:
 

Darstellung einer harmonischen Sinus-Schwingung
Beispiel: Harmonische Schwingung


Am besten fängt man der Ein­fach­heit halber mit der Amplitude A an: Der höchste Punkt der Funk­tion hat den y-Wert 3,5 und die ge­dachte Null­linie schneidet bei y=2 die y-Achse. Die Dif­ferenz dieser beiden Werte er­gibt die Ampli­tude:

$$A=3,5-2\Rightarrow A=1,5$$

Genauso einfach be­kommt man den Para­meter d. Ganz offen­sicht­lich befindet sich die ge­dachte Null­linie 2 Ein­heiten über der x-Achse, sie wurde also um 2 nach oben ver­schoben:

$$d=2$$

Mit etwas Übung sieht man, dass sich in der “normalen” Perioden­dauer von 2·π hier 1,5 Schwingungen statt nur 1 Schwin­gung aus­gehen. Daher gilt für die Kreis­frequenz ω:

$$\omega=1,5$$

Alternativ ist die Er­mittlung der Kreis­frequenz mit der Formel möglich, aller­dings ist die Perioden­dauer T in diesem Bei­spiel nicht ein­fach abzu­lesen – sie beträgt etwa

$$0,7·\frac{\pi}{2}+\pi=4,2412$$

Einsetzen in die Formel für die Kreis­frequenz er­gibt:

$$\omega=\frac{2·\pi}{T}=\frac{2·\pi}{4,2412} \Rightarrow \omega=1,48$$

was ge­rundet 1,5 ergibt.


Zuletzt erfolgt die Bestimmung der Phasen­ver­schiebung. Der Ab­stand t0 be­trägt genau π, daher ergibt sich für die Phasen­ver­schiebung φ mit der Formel:

$$φ=-t_0·\omega\Rightarrow φ=-\pi·1,5\Rightarrow φ=-\frac{3}{2}·\pi$$

Möchte man einen posi­tiven Phasen­ver­schie­bungs­winkel, gibt man ein­fach 2·π dazu:

$$φ=-\frac{3}{2}·\pi+2·\pi\Rightarrow φ=\frac{\pi}{2}$$

Damit kann man nun alle be­rechneten Para­meter in die Funktions­gleichung ein­setzen. Man bekommt:

$$f(x)=1,5·sin\left(1,5·x+\frac{\pi}{2}\right)+2$$

Zusammen­hang zwischen Sinus- und Cosinus­funktion

Den Cosinus bzw. Kosinus bekommt man aus der Sinus­funk­tion mittels Phasen­ver­schiebung um π/2:
 

Phasenverschiebung von Sinus und Cosinus
Phasenverschiebung von Sinus und Cosinus


Da die Kreis­frequenz ω gleich 1 ist – beim Cosinus han­delt es sich ja nur um eine ver­schobene Sinus­funktion-, kann der Phasen­winkel direkt aus der Grafik abge­lesen werden. Es gilt mit t0 = -π/2

$$φ = -t_0 =-\left(-\frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow φ =\frac{\pi}{2}$$

wobei die zwei nega­tiven Vor­zeichen zu be­achten sind oder man be­rechnet φ mit der Formel

$$φ=-t_0·\omega\Rightarrow φ=-\left(-\frac{\pi}{2}·1\right)=\frac{\pi}{2}$$

Es gilt daher:

$$cos(x)=sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$

Seite erstellt am 29.01.2023. Zuletzt geändert am 06.02.2023.