Auflagerreaktionen berechnen

Auf dieser Seite werden die notwendigen Schritte zur Ermittlung der Auflager­reaktionen eines statisch bestimmten Systems erklärt. Natürlich findet man auch die zur Berechnung benötigten Formeln, also die zwei Kräfte­gleich­gewichts­bedingungen in x- bzw. in y-Richtung und das Momenten­gleich­gewicht.

 

Zuletzt werden die Auflager­kräfte eines Balkens auf zwei Stützen bestimmt. Auf diesen Balken wirken eine Gleichlast und eine schräge Einzel­last. Dieses Beispiel wird komplett durchge­rechnet.

 

Mit diesem Rechner können die Auflager­kräfte von statisch (un)be­stimmten Systemen ermittelt werden:

 

>> Balken-Rechner

Inhaltsverzeichnis

Auflagerreaktionen ermitteln - notwendige Schritte

Um die Auflagerkräfte bzw. Auflager­momente eines Systems bestimmen zu können, müssen im All­gemeinen folgende Schritte durch­geführt werden:

  • Modellbildung
  • System auftrennen / Körper freimachen
  • Bei Bedarf Kräfte in ihre Komponenten zerlegen und Resultierende R bilden
  • Gleichgewichtsbedingungen aufstellen
  • Gleichungssystem lösen

 

Die wichtigsten der obigen Punkte werden im Folgenden näher erklärt.

Modellbildung

Bevor man überhaupt zu rechnen beginnen kann, muss zunächst ein optimales Modell gefunden werden. Man erstellt ein Modell, da die Wirklich­keit meist zu komplex ist und die vereinfachte Dar­stellung der Realität oft völlig ausreicht.

 

Wichtig ist jedoch, dass das Modell nicht zu einfach ist – im Modell müssen noch alle relevanten Informationen enthalten sein!

 

Beispiele für mögliche Verein­fachungen bzw. Idealisierungen:

  • Lager werden grundsätzlich als reibungsfrei angenommen.
  • Körper gelten als starr, das heißt, sie verformen sich unter Kraft- oder Momenten­einwirkung nicht.
  • Körper werden als homogen und manchmal als masselos angenommen.
  • Viele dreidimensionale Aufgaben können meist als ebenes Problem behandelt werden.

System auftrennen / Körper freimachen

Um gesuchte Kräfte bzw. Momente – zum Beispiel Auflager­kräfte – berechnen zu können, ist es erforderlich, ein Gesamt­system in Teil­systeme aufzu­trennen. Diesen Vor­gang nennt man auch "Körper frei­machen" oder "Körper frei­schneiden". Dabei muss man jedes Bauteil eines Gesamt­systems völlig getrennt betrachten, alle benach­barten Teile lässt man weg und ersetzt sie durch Kräfte und Momente.

 

Grundlegendes

  • Bei ebenen Systemen entstehen an der Trenn­stelle im Allgemeinen eine Kraft in x-Richtung, eine Kraft in y-Richtung und ein Moment. Deren Größe und Orientierung (= Richtungs­sinn) ist vorerst unbekannt, zur Berechnung braucht man die sogenannten Gleich­gewichts­bedingungen.
  • Die sich durch den Schnitt ergebenden Kräfte bzw. Momente sind an beiden Seiten der durch­trennten Körper genau gleich groß, aber entgegen­gesetzt gerichtet (lateinisch "Actio = Reactio", drittes newtonsches Axiom), da sie beim Zusammen­fügen wieder verschwinden müssen.
  • Meist ist es nicht nötig, alle Teil­systeme zu zeichnen.

Gleichgewichtsbedingungen

Um die unbekannten Auflager­reaktionen berechnen zu können, braucht man die beiden Kräfte­gleich­gewichts­bedingungen in x- bzw. y-Richtung und das Momenten­gleich­gewicht. Die Formeln für ebene Systeme lauten:

 

Die Summe aller Kräfte in x-Richtung muss gleich 0 sein:

Kräftegleichgewicht in x-Richtung
Formel 2.1

 

Die Summe aller Kräfte in y-Richtung muss gleich 0 sein:

Kräftegleichgewicht in y-Richtung
Formel 2.2

 

Die Summe aller Momente um jeden beliebigen Punkt A bezüglich der z-Achse muss gleich 0 sein:

Momentengleichgewicht um beliebigen Punkt A
Formel 2.3

Das Moment Mp einer Einzelkraft F um einen Punkt P berechnet man mit Formel 2.4:

 

MP = a·F

 

a

Normalabstand (= kürzeste Entfernung) des Punktes P von der Wirkungslinie g der Einzelkraft F in m.

F Betrag der Einzelkraft in N.
Moment einer Einzelkraft F um einen Punkt P

Es gibt in der Ebene also für jedes (Teil-)System drei Gleichungen, somit können in jedem (Teil-)System maximal drei Unbekannte berechnet werden.

 

Die gesuchten Auflagerreaktionen (Kräfte bzw. Momente) bekommt man durch Lösen dieses Gleichungs­systems.

Beispiel: Auflagerreaktionen eines Balkens

Angabe

Man betrachte neben­stehende Abbildung eines Balkens, auf den eine Gleich­last q und eine schräge Einzel­kraft F unter einem Winkel α wirken. Das linke Lager A ist ein Fest­lager, Lager B ist als Los­lager ausgeführt.

 

Zahlenwerte:

a = 1.5 m, l = 2 m, h = 0.75 m, α = 60°

 

Gesucht:

Die Auflagerkräfte in den beiden Lagern A und B

  1. allgemein
  2. wenn gilt: q = 2.5 kN/m, F = 8 kN
  3. wenn gilt: q = 0.5 kN/m, F = 16 kN
Balken auf Fest- und Loslager mit Gleichlast und schräge Einzellast
Balken mit Fest- und Loslager

Lösung der Aufgabe

Modellbildung und Koordinatensystem

Für diese Aufgabe muss man kein Modell mehr erstellen, da dies schon in der Angabe erledigt wurde. Es gelten unter anderem folgende Idealisierungen:

  • Es wurde ein ebenes Modell gewählt.
  • Die beiden Lager werden wie üblich als reibungsfrei angenommen.
  • Der Körper gilt als starr, das heißt, er verformt sich unter den beiden Kraftein­wirkungen nicht.

 

Festlegung des Koordinaten­systems:

Die positive x-Achse weist nach rechts, die positive y-Achse zeigt nach oben. Durch die Fest­legung der Richtung von x- und y-Achse ist auch die Richtung der z-Achse bekannt: sie muss zum Betrachter hinweisen.

Koordinatensystem

 

 

Freimachen

Als Erstes macht man den Balken frei. Dazu schneidet man durch die beiden Lager, siehe Skizze.

Festlager A kann Kräfte in x- und in y-Richtung aufnehmen, aber kein Moment, da es reibungsfrei sein soll. Das rechte Los­lager B überträgt nur Kräfte in y-Richtung.

Die drei blauen Auflagerkräfte A.x, A.y und B.y sind sogenannte Bedingungs­kräfte, deshalb kennt man ihre Orientierung nicht. Aus diesem Grund können die Pfeil­spitzen in beliebiger Richtung eingezeichnet werden.

Freigemachter Balken auf Fest- und Loslager mit Gleichlast und schräge Einzellast,
Freigemachter Balken

Für die weitere Berechnung gilt: A.x = Ax, A.y = Ay und B.y = By

 

 

Resultierende R und Komponenten der Kraft F

Die Gleichlast q muss durch die sogenannte Resultierende R ersetzt werden:

R = q·l

 

Die Resultierende R wirkt immer in der Mitte der Gleich­last, hier also im Abstand l/2. Die Einzelkraft F greift schräg an, weshalb sie mithilfe der umgeformten Winkel­funktionen in ihre x- und y-Komponente zerlegt wird:

Fx = F·cos(α)          Fy = F·sin(α)

 

Kontrolle:

Nimmt man an, dass gilt α = 90°, bekommt man für die beiden Komponenten:

Fx = F·cos(90°) = F·0 --> Fx = 0

Fy = F·sin(90°) = F·1 --> Fy = F

 

⇒ Wenn F genau senkrecht zum Balken steht, gibt es keine Komponente in x-Richtung, in y-Richtung wirkt dann die gesamte Kraft F.

 

 

Gleichgewichtsbedingungen aufstellen & Gleichungssystem lösen

Nun können die drei Gleich­gewichts­bedingungen aufgestellt werden. Jene Kräfte, die in Richtung der positiven Koordinaten­achse zeigen, bekommen ein positives Vor­zeichen, alle anderen Kräfte sind negativ ins jeweilige Kräfte­gleich­gewicht einzusetzen.

Für die x-Richtung bekommt man mit Formel 2.1:

∑Fi.x = 0 = Ax - Fx

 

Durch Umformen obiger Gleichung erhält man sofort die Auflagerkraft Ax:

Ax = FxAx = F·cos(α)

 

Für die y-Richtung erhält man mit Hilfe von Formel 2.2 und einsetzen für R bzw. Fy:

∑Fi.y = 0 = Ay + By - Fy - R  Ay + By - F·sin(α) - q·l = 0

 

Diese Gleichung formt man nach Ay um, da By am einfachsten mit dem Momenten­gleich­gewicht berechnet werden kann:

Ay = F·sin(α) + q·l - By

 

Zuletzt benötigt man noch die Summe der Momente. Es ist im Prinzip egal, um welchen Punkt man das Momenten­gleich­gewicht bildet. Bei ungünstiger Wahl des Bezugs­punktes kann jedoch die Berechnung etwas komplizierter werden. Im Allgemeinen ist es günstig, das Momenten­gleich­gewicht um einen Punkt anzuschreiben, durch den die Wirkungs­linien zweier unbekannter Kräfte verlaufen. In diesem Beispiel wäre das Festlager A.

 

Mit Formel 2.4 werden die einzelnen Momente berechnet. Das korrekte Vorzeichen ergibt sich mit der sogenannten Rechten-Hand-Regel: Jene Momente, die den Balken um den Punkt A in Pfeil­richtung verdrehen (gegen den Uhrzeiger­sinn), bekommen ein positives Vor­zeichen, alle anderen Momente sind negativ. Die Wirkungs­linien der beiden Auflagerkräfte Ax und Ay gehen durch den Punkt A, deshalb sind die Normal­abstände dieser Kräfte und folglich auch die Momente bezüglich des Punktes A null. Die Summe der Momente um den Punkt A lautet daher: 

∑MA.i.z = 0 = - R·l/2 + By·a - Fy·l + Fx·h

 

Einsetzen für R, Fx und Fy, umformen nach By und herausheben ergibt:

Formel zur Berechnung von Auflagerkraft B.y_ohne Zahlenwerte

 

 

Einsetzen der Zahlenwerte für b)

Durch Einsetzen der Zahlenwerte in die grünen Gleichungen erhält man die gesuchten Auflager­kräfte:

Formel zur Berechnung von Auflagerkraft A.x
Formel zur Berechnung von Auflagerkraft B.y_ohne Zahlenwerte
Formel zur Berechnung von Auflagerkraft B.y

Formel zur Berechnung von Auflagerkraft A.y
Auflagerkraft A.y

 

 

Einsetzen der Zahlenwerte für c)

Formel zur Berechnung von Auflagerkraft A.x_andere Zahlenwerte
Formel zur Berechnung von Auflagerkraft B.y_andere Zahlenwerte
Formel zur Berechnung von Auflagerkraft A.y_andere Zahlenwerte

 

Diesmal ist die Auflagerkraft Ay negativ, daher wirkt sie tatsächlich in die entgegen­gesetzte Richtung als angenommen.

Seite erstellt am 14.05.2019. Zuletzt geändert am 15.05.2019.