Cardanische Formeln zum Lösen kubischer Gleichungen

Auf dieser Seite erfahren Sie, was man unter kubischen Gleichungen versteht und wie man solche Gleichungen mithilfe der Cardanischen Formeln relativ einfach lösen kann.

 

Die Cardanischen Formeln dienen also dazu, Gleichungen 3. Grades - das ist eine andere Be­zeichnung für kubische Gleichungen - zu lösen. Den Grad einer Gleichung erkennt man an der höchsten Potenz von der gesuchten Vari­ablen. Meist wird diese Variable mit x bezeichnet.

 

In den folgenden Ab­schnitten wird die genaue Vor­gangs­weise Schritt für Schritt er­klärt.

1. Schritt: Gleichung in die richtige Form bringen

Als Erstes muss man die gege­bene Gleichung immer in die folgende Form bringen:

$$x^3+a \cdot x^2+b \cdot x+c=0$$

 

Man muss also die einzelnen Terme nach fallenden Potenzen von x ordnen. Vor der höchsten Potenz, also in diesem Fall vor x³, hat die Zahl 1 zu stehen, die man aber in aller Regel nicht hinschreibt. Steht eine andere Zahl als 1 vor x³, muss die gesamte Gleichung durch diese Zahl dividiert werden, siehe auch das folgende kurze Beispiel.

Beispiel: vor x3 steht A

Vor x³ steht nun A:

$$A \cdot x^3+B \cdot x^2+C \cdot x+D=0$$

Die gesamte Gleichung muss daher zunächst durch A dividiert werden. Man erhält:

$$x^3+\frac {B}{A} \cdot x^2+\frac {C}{A} \cdot x+\frac {D}{A}=0$$

Der Ausdruck vor x² ist a, der Ausdruck vor x entspricht b und D/A ist c:

$$a=\frac {B}{A} \qquad b=\frac {C}{A} \qquad c=\frac {D}{A}$$

2. Schritt: Definition von Variablen

Als nächstes werden die drei Variablen p, q und D definiert. Die Gleichung für die gesuchte Variable x wird auch ange­geben, aller­dings ist die in dieser Gleichung vor­kommende Variable z noch unbekannt:

$$p=b- \frac {a^2}{3}$$

$$q=\frac{2 \cdot a^3}{27}- \frac {a \cdot b}{3}+c$$

$$D= \frac {q^2}{4}+\frac {p^3}{27}$$

$$x=z- \frac {a}{3}$$


 

Für die Berechnung von x brauchen wir also noch z.

3. Schritt: Fallunter­scheidung

Die noch unbekannte Größe z kann man nicht ganz so leicht an­geben, da man zunächst eine Fall­unter­scheidung durch­führen muss. In Abhängig­keit von D und p sind die folgenden vier Fälle zu berück­sichtigen:

  • D größer als 0
  • D gleich 0 und p ≠ 0
  • D gleich 0 und p = 0
  • D kleiner 0

Fall 1: D > 0

Wenn D größer als 0 ist, gibt es eine reelle Lösung und zwei komplexe Lösungen. Mit der folgenden Formel für z wird ausschließlich die reelle Lösung z1 berechnet:

$$z_1=\sqrt [3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}+\sqrt [3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}$$

Auf die Angabe der Formeln für die beiden komplexen Lösungen wird hier verzichtet, da sie für viele Aufgaben irrelevant sind.

Fall 2: D = 0 und p 0

Wenn D gleich 0 und p ≠ 0 sind, gibt es zwei Lösungen. In diesem Fall berechnet man die beiden z wie folgt:

$$z_1=\frac{3 \cdot q}{p} \qquad z_{2,3}=-\frac{3 \cdot q}{2 \cdot p}$$

Fall 3: D = 0 und p = 0

Gilt D gleich 0 und p gleich 0, gibt es nur eine einzige, dreifache Lösung:

$$z_1=z_2=z_3=0$$

Fall 4: D < 0

Wenn D kleiner als 0 ist (das ist der sogenannte Casus Irreducibilis), bekommt man für z drei verschiedene reelle Lösungen:

$$z_1=\sqrt {-\frac{4 \cdot p}{3}}\cdot \cos \left[\frac {1}{3} \cdot \arccos \left(-\frac {q}{2} \cdot \sqrt {-\frac {27}{p^3}} \right) \right]$$

$$z_2=-\sqrt {-\frac{4 \cdot p}{3}}\cdot \cos \left[\frac {1}{3} \cdot \arccos \left(-\frac {q}{2} \cdot \sqrt {-\frac {27}{p^3}} \right)+\frac {\pi}{3} \right]$$

$$z_3=-\sqrt {-\frac{4 \cdot p}{3}}\cdot \cos \left[\frac {1}{3} \cdot \arccos \left(-\frac {q}{2} \cdot \sqrt {-\frac {27}{p^3}} \right)-\frac {\pi}{3} \right]$$

 

Hinweis: Falls ein Taschenrechner ver­wendet wird, muss man den Berechnungs­modus auf Radiant um­stellen!

4. Schritt: Berechnung von x

Nun kann man sich endlich die gesuchte bzw. die gesuchten Lösungen mit der schon weiter oben ange­gebenen Formel aus­rechnen. Gibt es mehrere z, müssen jeweils alle z eingesetzt werden:

$$x_1=z_1- \frac {a}{3} \qquad x_2=z_2- \frac {a}{3} \qquad x_3=z_3- \frac {a}{3}$$

Man bekommt bis zu drei unterschiedliche Lösungen für x. Auch wenn alle drei Ergebnisse mathematisch betrachtet Lösungen der Gleichung sind, sind oftmals nicht alle Lösungen in der Praxis sinnvoll. Oft scheiden zum Beispiel negative oder auch komplexe Lösungen aus.

 

 

Quelle Cardanische Formeln: Wikipedia

Seite zuletzt geändert am 30.11.2020.