Superpositionsprinzip

Mit Superposition ist hier die Überlagerung von Belastungen gemeint. Manchmal sind die Lösungen einzelner Lastfälle bekannt, zum Beispiel aus Formelsammlungen oder auch vom Balkenrechner. In diesen Fällen kann es zweckmäßig sein, die Auflagerreaktionen für jeden Lastfall getrennt zu ermitteln und zuletzt die so erhaltenen Kräfte bzw. Momente zu addieren.

Dies wird anhand zweier Beispiele gezeigt:

Zum Lösen des 1. Beispiels wird eine Formelsammlung verwendet.
Die gesuchten Ergebnisse des 2. Beispiels bekommt man mithilfe eines Rechners.

Beispiel I: Balken mit Einzellast und Gleichlast

Angabe

Gegeben ist ein Balken laut Abbildung. Berechnen Sie die Auflagerkräfte in den Lagern A und B allgemein mittels Superposition mit den bekannten Formeln aus einer Formelsammlung!

Lösung der Aufgabe mittels Superposition

Die Belastung des gegebenen Balkens setzt sich aus der Einzelkraft F und der Gleichlast q zusammen:

Für die Berechnung der Auflagerkräfte benötigt man zunächst die Formeln für die Einzelkraft F und für die Gleichlast q, die man zum Beispiel in meiner Formelsammlung für statisch bestimmte Systeme findet:

Auflagerkräfte zufolge Einzelkraft F

Auflagerkräfte zufolge Gleichlast q

Die gesamten Auflagerkräfte erhält man nun durch Addition der Auflagerkräfte aufgrund der Einzellast und zufolge der Gleichlast:

Beispiel II: Person steht auf Tisch mit vier Beinen

Angabe

Auf einem Tisch mit einer Eigenmasse von 20 kg steht eine Person, die 80 kg wiegt und im Bild mit F markiert ist. Die mit A, B, C und D beschrifteten Punkte stellen die vier Auflager dar und symbolisieren die Tischbeine (Draufsicht). Der Koordinatenursprung befindet sich genau in der Mitte des Rechtecks.

Wie groß sind die Belastungen in den vier Aufstandspunkten, wenn für die Abstände folgende Zahlenwerte gelten: a = 1 m, b = 8 dm, x = 20 cm und y = 100 mm.

Wichtiger Hinweis:

Stützt sich ein starrer Körper auf vier Punkten ab (= Vierpunktstützung), handelt es sich um ein einfach statisch unbestimmtes System. Ist jedoch die Rahmenkonstruktion nachgiebig bzw. erfolgt die Abstützung gefedert und/oder ist die Belastung relativ hoch, können die Auflagerkräfte näherungsweise wie folgt berechnet werden.

Lösung der Aufgabe mittels Rechner und Superposition

Zur Lösung dieser Aufgabe benötigt man den Rechner zur Ermittlung der Auflagerkräfte bei Vierpunkt-Stützung. Bei den zwei folgenden Abbildungen handelt es sich um Screenshots dieses Rechners.

Zunächst rechnet man alle Längeneinheiten in eine gemeinsame Einheit um, wobei egal ist, welche Einheit man wählt. Die Maße in cm lauten: a = 100 cm, b = 80 cm, x = 20 cm und y = 10 cm. Ähnliches gilt auch für die Belastung: Jene Einheit, die für die Last F benützt wird, kommt für die vier Aufstandskräfte heraus. Daher muss man F nicht von kg in kN umrechnen.

Die umgerechneten Maße und die Belastung von 80 kg (= Masse der Person) setzt man in den Rechner ein. Man erhält die im Screenshot zu sehenden Belastungen in den vier Auflagerpunkten, wobei in diesem Fall natürlich kg heraus kommen:

A = 9 kg, B = 21 kg, C = 35 kg und D = 15 kg.

Screenshot des ausgefüllten Rechners für Person — Ausgefüllter Rechner für Person

Als Nächstes werden die beiden Abstände x und y gleich 0 gesetzt, da das Eigengewicht in der Mitte des Tisches wirkt. Die Belastung beträgt jetzt 20 kg.

Man erhält die Belastungen in den vier Aufstandspunkten, aufgrund der Symmetrie sind sie gleich groß und betragen jeweils ein Viertel der Eigenmasse:

A = B = C = D = 5 kg.