Superpositionsprinzip

Mit Superposition ist hier die Über­lagerung von Belastungen gemeint. Manchmal sind die Lösungen einzelner Last­fälle bekannt, zum Beispiel aus Formel­sammlungen oder auch vom Balkenrechner. In diesen Fällen kann es zweckmäßig sein, die Auflager­reaktionen für jeden Last­fall getrennt zu ermitteln und zuletzt die so erhaltenen Kräfte bzw. Momente zu addieren.

 

Dies wird anhand zweier Bei­spiele gezeigt:

  • Zum Lösen des 1. Beispiels wird eine Formel­sammlung verwendet.
  • Die gesuchten Ergebnisse des 2. Bei­spiels bekommt man mit­hilfe eines Rechners.

Beispiel I: Balken mit Einzellast und Gleichlast

Angabe

Gegeben ist ein Balken laut Abbildung. Berechnen Sie die Auf­lager­kräfte in den Lagern A und B allgemein mittels Super­position mit den bekannten Formeln aus einer Formel­sammlung!


Lösung der Aufgabe mittels Superposition

Die Belastung des gegebenen Balkens setzt sich aus der Einzel­kraft F und der Gleich­last q zusammen:

 

Für die Berechnung der Auflager­kräfte benötigt man zunächst die Formeln für die Einzel­kraft F und für die Gleich­last q, die man zum Beispiel in meiner Formel­sammlung für statisch bestimmte Systeme findet:

 

Auflagerkräfte zufolge Einzelkraft F

 

Auflagerkräfte zufolge Gleichlast q


 

Die gesamten Auflager­kräfte erhält man nun durch Addition der Auf­lager­kräfte aufgrund der Einzel­last und zufolge der Gleichlast:


Beispiel II: Person steht auf Tisch mit vier Beinen

Angabe

Auf einem Tisch mit einer Eigen­masse von 20 kg steht eine Person, die 80 kg wiegt und im Bild mit F markiert ist. Die mit A, B, C und D beschrifteten Punkte stellen die vier Auflager dar und symbolisieren die Tisch­beine (Draufsicht). Der Koordinaten­ursprung befindet sich genau in der Mitte des Recht­ecks.

 

Wie groß sind die Belastungen in den vier Auf­stands­punkten, wenn für die Abstände folgende Zahlen­werte gelten: a = 1 m, b = 8 dm, x = 20 cm und y = 100 mm.

 


Lösung der Aufgabe mittels Rechner und Superposition

Zur Lösung dieser Aufgabe benötigt man den Rechner zur Ermittlung der Auflager­kräfte bei Vier­punkt-Stützung. Bei den zwei folgenden Abbildungen handelt es sich um Screen­shots dieses Rechners.

 

Zunächst rechnet man alle Längen­ein­heiten in eine gemein­same Ein­heit um, wobei egal ist, welche Ein­heit man wählt. Die Maße in cm lauten: a = 100 cm, b = 80 cm, x = 20 cm und y = 10 cm. Ähnliches gilt auch für die Belastung: Jene Ein­heit, die für die Last F benützt wird, kommt für die vier Auf­stands­kräfte heraus. Daher muss man F nicht von kg in kN umrechnen.

 

Die umgerechneten Maße und die Belastung von 80 kg (= Masse der Person) setzt man in den Rechner ein. Man erhält die im Screen­shot zu sehenden Belastungen in den vier Auf­lager­punkten, wobei in diesem Fall natür­lich kg heraus ­kommen:

A = 9 kg, B = 21 kg, C = 35 kg und D = 15 kg.

Screenshot des ausgefüllten Rechners für Person
Ausgefüllter Rechner für Person

Als Nächstes werden die beiden Abstände x und y gleich 0 gesetzt, da das Eigen­gewicht in der Mitte des Tisches wirkt. Die Belastung beträgt jetzt 20 kg.

 

Man erhält die Belastungen in den vier Auf­stands­punkten, auf­grund der Symmetrie sind sie gleich groß und betragen jeweils ein Viertel der Eigen­masse:

A = B = C = D = 5 kg.

 

Screenshot des ausgefüllten Rechners für Eigengewicht
Ausgefüllter Rechner für Eigengewicht

 

Um die gesamten Belastungen in den 4 Auf­stands­punkten zu bekommen, müssen die Teil­belastungen noch addiert werden (= Super­position):

 

A =   9 kg + 5 kg --> A = 14 kg

B = 21 kg + 5 kg --> B = 26 kg

C = 35 kg + 5 kg --> C = 40 kg

D = 15 kg + 5 kg --> D = 20 kg

Seite erstellt am 03.08.2020. Zuletzt geändert am 30.08.2020.