Superpositions­prinzip (Über­lagerungs­prinzip)

Mit Superposition ist hier die Über­lagerung von Belastungen gemeint. Manch­mal sind die Lösungen ein­zelner Last­fälle bekannt, zum Bei­spiel aus Formel­sammlungen oder auch vom Balken­rechner. In diesen Fällen kann es zweckmäßig sein, die Auf­lager­reaktionen für jeden Last­fall getrennt zu ermitteln und zuletzt die so er­haltenen Kräfte, Momente oder Durch­biegungen zu addieren.

Mittels Super­position lassen sich aber auch die Auflager­reaktionen statisch unbe­stimmter Systeme bestimmen.


Das Superpositions­prinzip wird hier anhand dreier Bei­spiele gezeigt:

  • Beispiel I: Balken mit Einzellast und Gleich­last (statisch bestimmt)
  • Beispiel II: Balken mit Gleich­last (statisch unbestimmt)
  • Bei­spiel III: Anwendung einer meiner Rechner

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Beispiel I: statisch bestimmter Balken

Angabe

Gegeben ist ein statisch be­stimmter Balken mit einer Gleich­last q und einer Ein­zel­kraft F laut Ab­bildung. Be­rechnen Sie die Auf­lager­kräfte in den Lagern A und B all­gemein mittels Super­position mit den bekannten Formeln aus einer Formel­sammlung!
 

 
Statisch bestimmter Balken

Lösung der Aufgabe mittels Superposition

Die Belastung des gegebenen Balkens setzt sich aus der Einzel­kraft F und der Gleich­last q zusammen:
 

Superposition statisch bestimmtes System


Für die Berechnung der Auflager­kräfte benötigt man zunächst die Formeln für die Einzel­kraft F und für die Gleich­last q, die man zum Beispiel in meiner Formel­sammlung für statisch bestimmte Systeme findet:
 

Auflagerkräfte zufolge Einzelkraft F

$$F_{A.F}=F·\left(1-\frac{a}{l}\right)$$

$$F_{B.F}=\frac{F · a}{l}$$

Auflagerkräfte zufolge Gleichlast q

$$F_{A.q}=\frac{q · l}{2}$$

$$F_{B.q}=\frac{q · l}{2}$$


Die gesamten Auflager­kräfte erhält man nun durch Addition der Auf­lager­kräfte aufgrund der Einzel­last und zufolge der Gleichlast:

$$F_A=F_{A.F}+F_{A.q}=F·\left(1-\frac{a}{l}\right)+\frac{q·l}{2}$$

$$F_B=F_{B.F}+F_{B.q}=\frac{F·a}{l}+\frac{q·l}{2}$$

Beispiel II: 1-fach statisch unbestimmter Balken

Angabe

Gegeben ist ein statisch unbe­stimmter Balken mit einer Gleich­last q laut Ab­bildung. Be­rechnen Sie die Auf­lager­kräfte im Lager B all­gemein mittels Super­position mit den bekannten Formeln aus einer Formel­sammlung!
 

Statisch unbestimmter Balken

Lösung der Aufgabe mittels Superposition

Hinweis:

Dieses Beispiel wird auch mit dem Satz von Menabrea gelöst!


Man teilt das gegebene statisch unbe­stimmte System in zwei statisch be­stimmte Systeme auf:

  • fest eingespannter Balken unter Gleich­last
  • fest einge­spannter Balken mit Ein­zel­kraft B, die der Auf­lager­kraft im Los­lager B entspricht.
     
Superposition statisch unbestimmtes System


Nun gilt, dass die Durch­biegung zufolge der Gleich­last q und die Durch­biegung zufolge der Einzel­kraft B gleich groß sein müssen. Die Formeln für die Durch­biegungen findet man zum Bei­spiel in meiner Formel­sammlung:
 

Durchbiegung zufolge Gleichlast q

$$f_q=\frac{q⋅l^4}{8⋅E⋅I_y}$$

Durchbiegung zufolge Einzellast B

$$f_B=\frac{B⋅l^3}{3⋅E⋅I_y}$$


Gleichsetzen und vereinfachen ergibt:

$$f_q=f_B \Rightarrow \frac{q⋅l^4}{8⋅E⋅I_y}=\frac{B⋅l^3}{3⋅E⋅I_y}$$

$$\Rightarrow \frac{q⋅l}{8}=\frac{B}{3}$$


Zuletzt multi­pliziert man diese Gleichung noch mit 3. Man erhält für die gesuchte Auf­lager­kraft B:

$$B=\frac {3⋅q⋅l}{8}$$

Beispiel III: Person steht auf Tisch mit vier Beinen

Angabe

Auf einem Tisch mit einer Eigen­masse von 20 kg steht eine Person, die 80 kg wiegt und im Bild mit F markiert ist. Die mit A, B, C und D beschrifteten Punkte stellen die vier Auflager dar und symbolisieren die Tisch­beine (Draufsicht). Der Koordinaten­ursprung befindet sich genau in der Mitte des Recht­ecks.


Wie groß sind die Belastungen in den vier Auf­stands­punkten, wenn für die Abstände folgende Zahlen­werte gelten: a = 1 m, b = 8 dm, x = 20 cm und y = 100 mm.
 

Draufsicht auf Tisch mit vier Beinen

Wichtiger Hinweis:

Stützt sich ein starrer Körper auf vier Punkten ab (= Vier­punkt­stüt­zung), handelt es sich um ein einfach statisch unbe­stimmtes System. Ist jedoch die Rahmen­konstruktion nach­giebig bzw. erfolgt die Abstützung gefedert und/oder ist die Belastung relativ hoch, können die Auflager­kräfte näherungs­weise wie folgt berechnet werden.

Lösung der Aufgabe mittels Rechner und Überlagerung

Zur Lösung dieser Aufgabe benötigt man den Rechner zur Ermittlung der Auflager­kräfte bei Vier­punkt-Stützung. Bei den zwei folgenden Abbildungen handelt es sich um Screen­shots dieses Rechners.
 

Zunächst rechnet man alle Längen­ein­heiten in eine gemein­same Ein­heit um, wobei egal ist, welche Ein­heit man wählt. Die Maße in cm lauten: a = 100 cm, b = 80 cm, x = 20 cm und y = 10 cm. Ähnliches gilt auch für die Belastung: Jene Ein­heit, die für die Last F benützt wird, kommt für die vier Auf­stands­kräfte heraus. Daher muss man F nicht von kg in kN umrechnen.


Die umgerechneten Maße und die Belastung von 80 kg (= Masse der Person) setzt man in den Rechner ein. Man erhält die im Screen­shot zu sehenden Belastungen in den vier Auf­lager­punkten, wobei in diesem Fall natür­lich kg heraus ­kommen:

A = 9 kg, B = 21 kg, C = 35 kg und D = 15 kg.
 

Screenshot des ausgefüllten Rechners für Person
Ausgefüllter Rechner für Person

Als Nächstes werden die beiden Abstände x und y gleich 0 gesetzt, da das Eigen­gewicht in der Mitte des Tisches wirkt. Die Belastung beträgt jetzt 20 kg.


Man erhält die Belastungen in den vier Auf­stands­punkten, auf­grund der Symmetrie sind sie gleich groß und betragen jeweils ein Viertel der Eigen­masse:

A = B = C = D = 5 kg.
 

Screenshot des ausgefüllten Rechners für Eigengewicht
Ausgefüllter Rechner für Eigengewicht

Um die gesamten Belastungen in den 4 Auf­stands­punkten zu bekommen, müssen die Teil­belastungen noch addiert werden (= Super­position):

A =   9 kg + 5 kg –> A = 14 kg

B = 21 kg + 5 kg –> B = 26 kg

C = 35 kg + 5 kg –> C = 40 kg

D = 15 kg + 5 kg –> D = 20 kg

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Seite erstellt am 03.08.2020. Zuletzt geändert am 09.11.2021.