Quadratische Gleichungen: Lösungsformeln & Beispiele

Hier findest du die Formeln zum Lösen von quadra­tischen Gleichungen, unter anderem die kleine und die große Lösungs­formel. Nach den Formeln werden einige Bei­spiele ange­führt und es wird auch auf diverse Sonder­fälle einge­gangen.


Beim Berechnen vieler Auf­gaben ergeben sich quadratische Gleichungen, die ge­löst werden müssen. Hier er­fährst du, wie man dabei am besten vor­geht.

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Lösungsformeln

Jede Quadratische Gleichung kann man stets in der Form a·x²+b·x+c = 0 oder x²+p·x+q = 0 an­schreiben. Zum Lösen solcher Gleichungen stehen zwei Formeln zur Ver­fügung, die soge­nannte kleine Lösungs­formel und die große Lösungs­formel. Je nach­dem welche Formel man ver­wenden möchte, muss man zunächst die quadra­tische Gleichung in eine der beiden Formen bringen. Erst danach kann die je­weilige Lösungs­formel ange­wandt werden.

Kleine Lösungsformel

$$x^2+p·x+q=0$$

$$x_{1,\ 2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$

Große Lösungsformel

$$a·x^2+b·x+c=0 \qquad a≠0$$

$$x_{1,\ 2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4·a·c}}{2·a}$$

Die Buchstaben a, b und c bzw. p und q sind die Koeffi­zienten. Sie dürfen jede be­liebige Zahl an­nehmen, mit einer Aus­nahme: Der Koeffi­zient a darf nicht 0 sein, da es sich sonst um keine quadra­tische Gleichung mehr han­deln würde.


Bei Ver­wendung der kleinen Lösungs­formel muss vor dem x² nichts bzw. eine 1 stehen! Jede quadra­tische Gleichung lässt sich übrigens stets mit der kleinen oder mit der großen Lösungs­formel lösen. Für einige Spezial­fälle gibt es auch schnellere Alter­nativen, siehe Beispiel 2 und Beispiel 3.

Lösungsfälle einer quadratischen Gleichung

Bei den Lösungen einer quadra­tischen Gleichung han­delt es sich um die Null­stellen einer quadra­tischen Funktion.

Eine quadratische Gleichung hat ent­weder keine, eine oder zwei reelle Lösungen, wobei oft nur die positive, reelle Lösung von Be­deutung ist:

  • Ist der Ausdruck unter der Wurzel posi­tiv, gibt es zwei reelle Lösungen: x1 und x2.
  • Wenn der Aus­druck unter der Wur­zel gleich 0 ist, gibt es nur eine ein­zige Lö­sung: x1 = x2.
  • Ist der Aus­druck unter der Wurzel hin­gegen kleiner als 0 (also negativ), gibt es keine ein­zige reelle Lösung, aller­dings zwei kom­plexe Lösungen.


Sind x1 und x2 Lösungen einer quadra­tischen Gleichung, können die Koeffizienten p und q mit den folgenden zwei Formeln bestimmt werden:

$$x_1+x_2=-p\qquad x_1·x_2=q$$


Zudem gelten diese Zusammen­­hänge:

$$x^2+p·x+q=(x-x_1)·(x-x_2)$$

$$a·x^2+b·x+c=a(x-x_1)·(x-x_2)$$

Beispiele

Es folgen nun mehrere, voll­ständig durch­ge­rechnete Bei­spiele.

Beispiel 1: Allgemeine quadratische Gleichung

Es sei folgende quadratische Gleichung gegeben, deren Er­gebnisse so­wohl mit der kleinen als auch der großen Lösungs­formel er­mittelt werden sollen:

$$-4·x-2·x^2=-30$$

Anwenden der großen Lösungs­formel

Um die große Lösungs­formel an­wenden zu können, muss man die gege­bene Gleichung zu­nächst in die Form a·x²+b·x+c=0 bringen, indem man alle Terme auf eine Seite bringt und an­schließend die Terme nach fallenden Potenzen ordnet:

$$-2·x^2-4·x+30=0$$

Man liest ab:

$$a = -2\quad b= -4\quad c= 30$$

Einsetzen in die große Lösungs­formel er­gibt:

$$x_{1,\ 2}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4·(-2)·30}}{2·(-2)}=\frac{4\pm\sqrt{16+240}}{-4}=\frac{4\pm16}{-4}$$

Man erhält für die beiden Lösungen:

$$x_1=\frac{4+16}{-4}=-5$$

$$x_1=\frac{4-16}{-4}=3$$

Anwenden der kleinen Lösungs­formel

Um die kleine Lösungs­formel ver­wenden zu können, muss die gege­bene Gleichung zu Beginn auf die Form x²+p·x+q=0 umgeformt werden. Dazu dividiert man die schon zuvor umgestellte Gleichung durch -2:

$$-2·x^2-4·x+30=0⇒x^2+2·x-15=0$$

Nun kann man p und q ablesen:

$$p=2 \qquad q=-15$$

Einsetzen in die kleine Lösungsformel liefert:

$$x_{1,\ 2}=-\frac{2}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-(-15)}=-1\pm\sqrt{1+15}=-1\pm4$$


Die beiden Lösungen lauten also:

$$x_1=-1-4=-5$$

$$x_2=-1+4=3$$

Beispiel 2: Spezielle quadratische Gleichung mit c = 0

Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung:

$$8·x-2·x^2=0$$


Ist der Zahlenterm (= kons­tantes Glied) Null, kann man natür­lich mit einer der beiden Lösungs­formeln rechnen. Aller­dings gibt es auch eine andere Variante: Man kann x heraus­heben und an­schließend diese beiden Faktoren Null setzen, da ein Produkt nur dann Null sein kann, wenn min­destens einer der Faktoren Null ist:

$$x·(8-2·x)=0⇒x=0⇒x_1=0\qquad 8-2·x=0⇒8=2·x⇒x_2=4$$

Beispiel 3: Spezielle quadratische Gleichung mit b = 0

Löse diese quadratische Gleichung:

$$-3·x^2+27=0$$


Ist der Term mit dem x (= line­ares Glied) Null, kann man wieder mit einer der beiden Lösungs­formeln ar­beiten. Aller­dings gibt es auch hier eine andere Vari­ante:
Man bringt zuerst die 27 auf die rechte Seite, dividiert durch -3 und zieht zuletzt die Wurzel:

$$-3·x^2=-27⇒x^2=9⇒x_1=3\quad x_2=-3$$

Anmerkung:
Es ist zu beachten, dass es bei Gleichungen dieser Art stets zwei Lösungen gibt!

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Seite erstellt im Juli 2022. Zuletzt geändert am 12.07.2022.