Strecken­längen­differenz in Kurven

Mit diesem Online-Rechner kannst du unter anderem die unter­schiedlichen Weg­längen in Kurven be­rechnen, inklusive der Differenz: Bei Kurven­fahrten müssen näm­lich die bogen­äußeren Räder stets einen größeren Weg zurück­legen als die bogen­inneren Räder. Aus diesem Grund besitzen Straßen­fahr­zeuge ein Differential­getriebe und Schienen­fahr­zeuge haben konische Räder oder auch soge­nannte Los­räder. Die Längen der zurück­gelegten Strecken werden als äußere und innere Bogen­länge be­zeichnet. Zudem kann auch die mittlere Bogen­länge be­rechnet bzw. ange­geben werden.


Weitere Funktionen sind die Berechnung des Um­fangs, des Radius und der Spur­weite. Am Ende der Seite findest du drei An­wendungs­bei­spiele, die mit Hilfe dieses Rechners ge­löst werden können.

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Rechner für Radius, Bogen­länge, Umfang & Differenz

Mit der Vorein­stellung werden die Bogen­längen, die Um­fänge und die Differenzen be­rechnet, wobei die Spur­weite 1.5 m, der Winkel 180° (also ein Halb­kreis) und der mittlere Radius der Kurve 10 m be­tragen.


Gebe in drei der sechs folgenden Felder je eine Zahl ein! Wähle bei Bedarf eine passende Größe aus.

Innerer Radius ri   m
Mittlerer Radius rm   m
Äußerer Radius ra   m
Spurweite s   m
 *  
 *    m


Die Ergebnisse für Bogenlänge und Umfang inklusive der Differenzen*** lauten:

Innere Bogenlänge li   m
Mittlere Bogenlänge lm   m
Äußere Bogenlänge la   m
Differenz Bogenlänge ld   m
Innerer Umfang ui   m
Mittlerer Umfang um   m
Äußerer Umfang ua   m
Differenz Umfang ud   m

 



* Wähle aus den beiden Listen je­weils eine ge­wünschte Größe aus! Du kannst dafür ent­weder in das Feld da­neben eine Zahl ein­geben oder die ausge­wählte Größe wird nach dem Klicken auf „Berechnen“ be­stimmt. Du kannst auch erst nach dem Berechnen eine Auswahl treffen.

** Mit Stück­zahl n ist die Anzahl der jeweils gleich langen Bögen ge­meint, die einen voll­ständigen Kreis er­geben. Zum Bei­spiel gilt für α = 90° ⇔ n = 4, da ein Kreis aus vier Bögen mit einem Winkel von je 90° be­steht: 4 * 90° = 360°.

*** Es handelt sich um die Differenzen der äußeren und inneren Längen. Es gilt daher:

$$l_d=l_a-l_i$$

$$u_d=u_a-u_i$$


Anmerkung zu den Einheiten:

Für die Radien, die Spur­weite, die Bogen­längen und die Um­fänge kann statt m natür­lich auch eine beliebige Längen­einheit ver­wendet werden, also zum Bei­spiel cm, dm oder auch km. Aller­dings ist für alle Längen­maße stets die­selbe Ein­heit zu ge­brauchen!

Skizze mit Radien, Bogen­längen und Winkel

In der rechten bzw. folgenden Ab­bildung siehst du eine Skizze, in der der Winkel α, die Bogen­längen la, lm, li und die Radien ra, rm, ri einge­zeichnet sind. Das kleine a steht für außen, das m für mitte und das i für innen.

Zusätzlich wird auch die Spur­weite s des Fahr­zeuges ange­geben. Die durch­ge­zogenen blauen Linien sind jene Strecken, die die inneren bzw. äußeren Räder zurück­legen.

Beispiele

Hier findest du drei Auf­gaben, die mit­hilfe des Rechners ge­löst werden.

Länge eines Seiles

Ein Seil befindet sich stets 1 Meter über dem Äquator. Um wie viel länger ist dieses Seil als der Erdum­fang, wenn man für den Erd­radius 6370 km an­nimmt?


Der obige Rechner ist wie folgt auszu­füllen, wobei man alter­nativ statt dem äußeren Radius eine Spur­weite von 1 Meter ver­wenden könnte. Der Winkel kann in diesem Fall be­liebig groß ge­wählt werden, da man nur an den Umfängen inter­essiert ist. Bei einem Winkel von 360° (voll­ständiger Kreis) sind die Bogen­längen und die Um­fänge gleich lang:
 

Screenshot des Rechners zur Berechnung der Seillängendifferenz


Als Ergebnis erhält man, dass dieses Seil nur 6.28 Meter länger als der Erd­umfang sein muss:
 

Screenshot der Ergebnisse vom Rechner

Kurvenfahrt: Differenz der zurück­gelegten Wege

Bei einer Kurven­fahrt legen – wie schon zu Beginn er­wähnt – die inneren und die äußeren Räder unter­schiedliche Strecken zurück. Der Kurven­radius einer Straße betrage 25 Meter, die Spur­weite eines Fahr­zeuges 1,5 Meter. Der Kurven­winkel hat einen Wert von 30°. Wie groß ist die Differenz der zurück­gelegten Wege von Innen­rädern und Außen­rädern?


Im folgenden Screenshot sieht man den aus­ge­füllten Rechner mit samt den Er­gebnissen:
 

Screenshot vom Rechner zur Berechnung der Wege bei einer Kurvenfahrt


Die beiden äußeren Räder legen 13.48 Meter zurück, die beiden inneren Räder nur 12.7 Meter. Das ergibt eine Differenz von 0.79 Metern. Würde das Fahr­zeug einen voll­ständigen Kreis be­fahren, würde die Differenz sogar 9.42 Meter be­tragen.

Gartenbahn: Länge der Innenschiene

Bei meiner Gartenbahn 5 Zoll ist die äußere Schiene von Kurven immer 2000 mm lang. Je nach Kurven­radius ergeben sich daher unter­schiedliche Längen für die inneren Schienen. Wir möchten nun die Länge der Innen­schiene und den mittleren Kurven­radius be­rechnen, wenn die Spur­weite 127 mm (= 5 Zoll) be­trägt und acht Schienen einen voll­ständigen Kreis er­geben sollen.


Wir tragen dazu in den Rechner die folgenden Werte ein. Zur höheren Genauig­keit wählen wir die Ein­heit mm – das heißt, alle m muss man sich als mm vor­stellen. Man er­hält als Er­gebnis:
 

Screenshot vom Rechner zur Berechnung der Schienenlängen für eine Gartenbahn


Man erhält als Ergebnis, dass der mittlere Radius 2483 mm beträgt und die Innen­schiene 1900.3 mm lang sein muss.

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Seite erstellt am 25.02.2022. Zuletzt geändert am 26.02.2022.