Auflagerkräfte bei Stüt­zung auf vier Punkten

Stützt sich ein starrer Körper auf vier Punkten ab (= Vier­punkt­stüt­zung), handelt es sich im Prinzip um ein einfach statisch unbe­stimmtes System. Falls jedoch die Rahmen­konstruktion nach­giebig ist bzw. die Abstützung gefedert erfolgt und/oder die Belastung relativ hoch ist, können die Auflager­kräfte mit diesem Online-Rechner näherungs­weise berechnet werden. Die vom Rechner ver­wendeten Formeln findet man am Ende der Seite.

 

 

Anwendungsbeispiele:

  • Berechnung der Radlasten eines Autos oder eines vier­achsigen Anhängers bei symme­trischer und insbe­sondere unsym­metrischer Beladung.
  • Zur Ermittlung der Achslast müssen noch die berechneten Rad­lasten der Hinter­räder bzw. Vorder­räder addiert werden.
  • Ermittlung der Rad­lasten von Kran­fahr­werken oder Katz­fahr­werken bei außer­mittiger Last.
  • Berechnung der Auflager­kräfte eines Tisches mit vier Beinen, der relativ stark belastet wird und dessen Platte nicht allzu steif ist. Es ist stets sicher­zu­stellen, dass alle Beine Boden­kontakt haben.

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Skizze & Rechner zur Ermittlung der Auflagerkräfte

Die mit A, B, C und D beschrif­teten Kreise bezeichnen die vier Auflager und können z. B. Räder oder Tisch­beine symbolisieren (Drauf­sicht). Der Koor­dinaten­ursprung befindet sich genau in der Mitte des Recht­ecks, das heißt, alle 4 Punkte sind gleich weit davon ent­fernt. Die Berechnung erfolgt näherungs­weise für relativ nach­giebige Konstruktionen bzw. für hohe Belastungen:

 

Abstände   Auflagerkräfte
a m   A kg
b m   B kg  
x* m   C kg
y* m   D kg
 
Belastung F: kg


   


* Die Abstände x und y können je nach Lage von der Belastung F auch negative Werte an­nehmen. Zudem ist es möglich, dass x oder y größer als a/2 bzw. b/2 ist - das heißt, die Belastung kann sich auch außer­halb des Rahmens befinden! In diesem Fall werden zwei der Auf­lager­kräfte negativ, da sie nun in die andere Rich­tung wirken. Ein Ab­heben vom Boden muss z. B. durch eine Ver­schraubung ver­mieden werden.

Anmerkungen

  • Statt Kilogramm (kg) kann man natür­lich auch Newton (N), Kilo­newton (kN), Tonnen (t) oder eine andere Ein­heit benützen: Jene Ein­heit, die für die Last F ver­wendet wird, kommt für die 4 Auf­stands­kräfte heraus. Das kann man gut erkennen, wenn man sich die vom Rechner verwendeten Formeln ansieht.
  • Ähnliches gilt für die Abstände: Hier kann jede beliebige Längen­maßein­heit benützt werden, aber natür­lich muss man für die vier Längen a, b, x und y die­selbe Ein­heit ver­wenden!
  • Gibt man F = 100 kN ein (= Vorein­stellung), erhält man die Ver­teilung der Belastung auf die vier Stütz­punkte in % von F.
  • Wirken mehrere Belastungen (z.b. Eigenwicht des Tisches und eine Last) gleich­zeitig, können die gesamten Auf­lager­kräfte durch Super­position bestimmt werden.
  • Für die richtige Funktion kann keine Gewähr über­nommen werden - für Berichtigungen und Ver­besserungs­vor­schläge bitte um Nach­richt mittels Kontakt­formular.

Beispiel: Person steht auf Tisch mit vier Beinen

Auf der Unter­seite Super­position findet man ein voll­ständig durchge­rechnetes Bei­spiel: Eine Person steht auf einem Tisch mit vier Beinen, die Auf­lager­kräfte in den Auf­stands­punkten sind gesucht. Zur Lösung dieser Aufgabe wird auch dieser Rechner ver­wendet.

Formeln für die Auf­lager­kräfte bei Vier­punkt-Stüt­zung

Die folgenden Formeln werden zur Er­mittlung der Auflager­kräfte in den Punkten A bis D vom Rechner ver­wendet und lauten:

Formel zur Berechnung von Auflagerkraft A
Formel zur Berechnung von Auflagerkraft B
Formel zur Berechnung von Auflagerkraft C
Formel zur Berechnung von Auflagerkraft D

Herleitung der Formel für die Auflagerkraft in C

Zur näherungs­weisen Berechnung der Auf­lager­kräfte in den Punkten A, B, C und D erstellt man ein Modell, das aus drei Balken besteht:

Balken I stützt sich auf die Lager P und Q ab. Diese Lager sind als Fest- bzw. Los­lager ausge­führt, so­dass es sich um drei statisch be­stimmte Teil­systeme handelt.

 

Auflagerkräfte bei Vierpunktstützung_3D Ansicht

Zunächst sieht man sich Balken I an und berechnet die Auf­lager­kraft in Q. Dazu bildet man die Summe der Momente um P:

Bildung der Summe der Momente um P

 

Dann betrachtet man Balken II und schreibt die Summe der Momente bezüg­lich D an. Auf diese Weise bekommt man die Kraft C:

Bildung der Summe der Momente um D

 

Zuletzt setzt man für Q den schon zuvor berechneten Ausdruck ein und erhält die gesuchte Auflagerkraft in C:

Einsetzen für Q

 

Ähnlich geht man bei der Berechnung der anderen Auflager­kräfte vor.

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Seite erstellt im Mai 2019. Zuletzt geändert am 24.11.2020.