Auflagerkräfte bei Stützung auf vier Punkten

Stützt sich ein starrer Körper auf vier Punkten ab (= Vierpunkt­stützung), handelt es sich im Prinzip um ein einfach statisch unbe­stimmtes System. Falls jedoch die Rahmen­konstruktion etwas nach­giebig ist bzw. die Abstützung gefedert erfolgt, können mit diesem Online-Rechner die Auflager­kräfte näherungs­weise berechnet werden. Die vom Rechner ver­wendeten Formeln und ein Beispiel findet man am Ende der Seite.

 

 

Anwendungsbeispiele:

  • Berechnung der Radlasten eines Autos oder eines vier­achsigen Anhängers bei symme­trischer und insbe­sondere unsym­metrischer Beladung.
  • Ermittlung der Radlasten von Kran­fahr­werken oder Katz­fahr­werken bei außer­mittiger Last.
  • Berechnung der Auflager­kräfte eines Tisches mit vier Beinen, dessen Platte nicht allzu steif ist. Es ist stets sicher­zu­stellen, dass alle Beine Boden­kontakt haben.

Skizze und Rechner zur Ermittlung der Auflagerkräfte

Die mit A, B, C und D beschrifteten Kreise bezeichnen die vier Auflager und können z. B. Räder oder Tisch­beine symbolisieren (Draufsicht). Der Koordinaten­ursprung befindet sich genau in der Mitte des Recht­ecks, das heißt, alle 4 Punkte sind gleich weit davon entfernt.

 

Abstände   Auflagerkräfte
a m   A kN
b m   B kN  
x m   C kN
y m   D kN
 
Belastung F: kN


   


Anmerkungen:

  • Die Abstände x und y können je nach Lage von der Belastung F auch negative Werte an­nehmen.
  • Zudem ist es möglich, dass x oder y größer als a/2 bzw. b/2 ist - das heißt, die Belastung kann sich auch außer­halb des Rahmens befinden! In diesem Fall werden zwei der Auf­lager­kräfte negativ, da sie nun in die andere Rich­tung wirken. In diesem Fall muss ein Ab­heben vom Boden z. B. durch Ver­schraubung ver­mieden werden.
  • Gibt man F = 100 kN ein (= Vorein­stellung), erhält man die Ver­teilung der Belastung auf die vier Stütz­punkte in % von F.
  • Statt Kilonewton (kN) kann man natür­lich auch Newton (N), Kilo­gramm (kg), Tonnen (t) oder eine andere Ein­heit ver­wenden: Jene Einheit, die für die Last F ver­wendet wird, kommt für die 4 Auf­stands­kräfte heraus. Ähnliches gilt für die Abstände: Hier kann jede beliebige Längen­maßein­heit benützt werden!
  • Wirken mehrere Belastungen (z.b. Eigenwicht des Tisches und eine Last), können die gesamten Auf­lager­kräfte durch Super­position bestimmt werden, siehe folgendes Beispiel.

Beispiel: Person steht auf Tisch

Auf einem Tisch mit einer Eigen­masse von 20 kg steht eine Person, die 80 kg wiegt. Wie groß sind die Belastungen in den vier Auf­stands­punkten, wenn für die Abstände folgende Zahlen­werte gelten:

a = 1 m, b = 8 dm, x = 20 cm und y = 100 mm.

Lösung per Rechner mittels Super­position

Zunächst rechnet man alle Ein­heiten in eine einzige Ein­heit um, wobei egal ist, welche das ist. Die Maße in cm lauten: a = 100 cm, b = 80 cm, x = 20 cm und y = 10 cm.

 

Diese Maße setzt man in den Rechner für die Abstände ein, die Belastung F beträgt 80 kg (= Masse der Person). Man erhält die im Screen­shot zu sehenden Belastungen in den vier Auf­lager­punkten:

A = 9 kg, B = 21 kg, C = 35 kg und D = 15 kg.

Screenshot des Rechners
Ausgefüllter Rechner für Person

Als Nächtes werden die beiden Abstände x und y gleich 0 gesetzt, da das Eigen­gewicht in der Mitte des Tisches wirkt. Die Belastung beträgt jetzt 20 kg.

Man erhält die Belastungen in den vier Auf­stands­punkten, auf­grund der Symmetrie sind sie gleich groß und betragen jeweils ein Viertel der Eigen­masse:

A = B = C = D = 5 kg.


Um die gesamten Belastungen in den 4 Auf­stands­punkten zu bekommen, müssen die Teil­belastungen addiert werden (= Super­position):

 

A =   9 kg + 5 kg --> A = 14 kg

B = 21 kg + 5 kg --> B = 26 kg

C = 35 kg + 5 kg --> C = 40 kg

D = 15 kg + 5 kg --> D = 20 kg

Formeln für die Auflagerkräfte bei Vierpunkt-Stützung

Die folgenden Formeln werden zur Ermittlung der Auflagerkräfte in den Punkten A bis D vom Rechner verwendet und lauten:

 

Formel zur Berechnung von Auflagerkraft A
Formel zur Berechnung von Auflagerkraft B
Formel zur Berechnung von Auflagerkraft C
Formel zur Berechnung von Auflagerkraft D

Seite erstellt im Mai 2019. Zuletzt geändert am 11.11.2019.