Auflagerkräfte bei Stützung auf vier Punkten

Stützt sich ein starrer Körper auf vier Punkten ab (= Vierpunktstützung), handelt es sich im Prinzip um ein einfach statisch unbestimmtes System und es müssten daher auch die Verformungen berücksichtigt werden.

Falls jedoch die Rahmenkonstruktion teilweise nachgiebig ist bzw. die Abstützung gefedert erfolgt und/oder die Belastung relativ hoch ist, können die Auflagerkräfte mit diesem Online-Rechner näherungsweise berechnet werden. Die vom Rechner verwendeten Formeln findet man am Ende der Seite.

Anwendungsbeispiele:

Berechnung der Radlasten eines Autos oder eines vierachsigen Anhängers bei symmetrischer und insbesondere unsymmetrischer Beladung. Zur Ermittlung der Achslast müssen noch die berechneten Radlasten der beiden Hinterräder und der zwei Vorderräder addiert werden.
Ermittlung der Radlasten von Kranfahrwerken oder Katzfahrwerken bei außermittiger Last.
Berechnung der Auflagerkräfte eines Tisches mit vier Beinen, der relativ stark belastet wird und dessen Platte nicht allzu steif ist. Es ist stets sicherzustellen, dass alle vier Beine (guten) Bodenkontakt haben.

Skizze & Rechner zur Ermittlung der Auflagerkräfte

Die mit A, B, C und D beschrifteten Kreise bezeichnen die vier Auflager und können z. B. Räder oder Tischbeine symbolisieren (Draufsicht). Der Koordinatenursprung befindet sich genau in der Mitte des Rechtecks, das heißt, alle vier Punkte sind gleich weit davon entfernt. Die Berechnung erfolgt näherungsweise für relativ nachgiebige Konstruktionen bzw. für hohe Belastungen:

Abstände		Auflagerkräfte
a	m	A	kg
b	m	B	kg
x*	m	C	kg
y*	m	D	kg

Belastung F:			kg

* Die Abstände x und y können je nach Lage von der Belastung F auch negative Werte annehmen. Zudem ist es möglich, dass x oder y größer als a/2 bzw. b/2 ist - das heißt, die Belastung kann sich auch außerhalb des Rahmens befinden! In diesem Fall werden zwei der Auflagerkräfte negativ, da sie nun in die andere Richtung wirken. Ein Abheben vom Boden muss z. B. durch eine Verschraubung vermieden werden.

Anmerkungen

Ein kleiner, unbelasteter Tisch wird fast immer wackeln, da meist nur drei der vier Beine Bodenkontakt haben. In diesem Fall ist die Berechnung mit diesem Rechner auf jeden Fall unzulässig!
Statt Kilogramm (kg) kann man natürlich auch Newton (N), Kilonewton (kN), Tonnen (t) oder eine andere Einheit benützen: Jene Einheit, die für die Last F verwendet wird, kommt für die vier Aufstandskräfte heraus. Das kann man gut erkennen, wenn man sich die vom Rechner verwendeten Formeln ansieht.
Ähnliches gilt für die Abstände: Hier kann jede beliebige Längenmaßeinheit benützt werden, aber natürlich muss man für die vier Längen a, b, x und y dieselbe Einheit verwenden!
Gibt man F = 100 kN ein (= Voreinstellung), erhält man die Verteilung der Belastung auf die vier Stützpunkte in % von F.
Wirken mehrere Belastungen (z.b. Eigenwicht des Tisches und eine Last) gleichzeitig, können die gesamten Auflagerkräfte durch Superposition bestimmt werden.
Für die richtige Funktion kann keine Gewähr übernommen werden - für Berichtigungen und Verbesserungsvorschläge bitte um Nachricht mittels Kontaktformular.

Beispiel: Person steht auf Tisch mit vier Beinen

Auf der Unterseite Superposition findet man ein vollständig durchgerechnetes Beispiel: Eine Person steht auf einem Tisch mit vier Beinen, die Auflagerkräfte in den Aufstandspunkten sind gesucht. Zur Lösung dieser Aufgabe wird auch dieser Rechner verwendet.

Formeln für die Auflagerkräfte bei Vierpunkt-Stützung

Die folgenden Formeln werden zur Ermittlung der Auflagerkräfte in den Punkten A bis D vom Rechner verwendet und lauten:

Formel zur Berechnung von Auflagerkraft A

Formel zur Berechnung von Auflagerkraft B

Formel zur Berechnung von Auflagerkraft C

Formel zur Berechnung von Auflagerkraft D

Herleitung der Formel für die Auflagerkraft in C

Zur näherungsweisen Berechnung der Auflagerkräfte in den Punkten A, B, C und D erstellt man ein Modell, das aus drei Balken besteht:

Balken I stützt sich auf die Lager P und Q ab. Diese Lager sind als Fest- bzw. Loslager ausgeführt, sodass es sich um drei statisch bestimmte Teilsysteme handelt.