Auf dieser Seite findest du die Bernoulligleichung zur Berechnung von der Geschwindigkeit, dem Höhenunterschied oder dem Druck in Rohren. Die Reibung in den Rohren wird nicht berücksichtigt. Zudem werden hier die Formeln zur Berechnung des Ausflusses von Gefäßen, die Formeln zur Berechnung des Massenstromes und des Volumenstromes (=Durchfluss), die sogenannte Kontinuitätsgleichung und die Formel für die Strahl-Stoßkraft angegeben.
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Spezifische Energiegleichung
Die Gesamtenergie bleibt über die gesamte betrachtete Länge konstant und setzt sich aus den folgenden drei Teilenergien zusammen: kinetische Energie, potentielle Energie und Druckenergie. Dividiert man die Gesamtenergie durch die Masse, erhält man die spezifische Energiegleichung. Voraussetzung für die Verwendung der Energiegleichung ist sowohl eine reibungsfreie und stationäre Strömung als auch eine inkompressible und viskositätsfreie Flüssigkeit. Das heißt also, dass
- keine Energie in Form von Reibung/Wärme „verloren“ geht,
- die Geschwindigkeit der Strömung an jedem Ort zeitlich gleich groß bleibt (es darf aber Orte mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten geben!),
- sich die Dichte nicht ändern darf – also konstant zu bleiben hat,
- und dass es sich um ein dünnflüssiges Medium wie etwa Wasser handeln muss.
Bernoulligleichung
Die spezifische Energiegleichung ist auch unter dem Namen Bernoulligleichung bekannt. Sie vergleicht die Zustände von zwei verschiedenen Punkten einer Stromlinie und lautet:
$$\frac{v_1^2}{2}+\frac{p_1}{\rho}+g·h_1=\frac{v_2^2}{2}+\frac{p_2}{\rho}+g·h_2$$
| v1, v2 | Mittlere Geschwindigkeit im Querschnitt 1 bzw. 2 in m/s |
| p1, p2 | Druck an der Stelle 1 bzw. 2 in Pascal: 1 Pa = 1 N/m², 105 Pa = 1 bar |
| ρ | Dichte des Fluids in kg/m³ |
| g | Erdbeschleunigung, g = 9.81 m/s² |
| h1, h2 | Abstände vom Nullniveau zum Mittelpunkt des Rohres in m |
| A1, A2 | Querschnittsflächen in m² (für Kontinuitätsgleichung) |
Das Nullniveau kann beliebig gewählt werden. Je nach Lage der Nulllinie können die Abstände auch negativ werden. Meist ist es günstig, die Nulllinie in einen der beiden Punkte zu legen, da so in der Gleichung eine Höhe verschwindet. Die Geschwindigkeit v wird oft auch mit c bezeichnet.
Ausfluss aus einem oben offenen Gefäß
Mithilfe der Bernoulligleichung kann die Formel für die Ausflussgeschwindigkeit va aus einem oben offenen Behälter – zum Beispiel aus einem Stausee oder Tank – ermittelt werden:
$$v_a=\sqrt{2·g·h}$$
Herleitung dieser Formel
Zur Herleitung geht man von der Bernoulligleichung aus:
$$\frac{v_1^2}{2}+\frac{p_1}{\rho}+g·h_1=\frac{v_2^2}{2}+\frac{p_2}{\rho}+g·h_2$$
Die Größen mit dem Index 1 gelten an der Wasseroberfläche, die Größen mit dem Index 2 am Ausfluss. An der Oberfläche ist die Geschwindigkeit v1 (fast) null. Je größer der obere Querschnitt, desto eher trifft diese Idealisierung zu. Legt man das Nullniveau in den Ausfluss, ist h2 null und h1 entspricht dem Höhenunterschied h. Der Umgebungsdruck p0 ist oben und unten annähernd gleich groß. Somit vereinfacht sich die Bernoulli-Gleichung:
$$\frac{p_0}{\rho}+g·h=\frac{v_2^2}{2}+\frac{p_0}{\rho}$$
Da der Druck p0 gleich groß ist, fällt er aus der Gleichung heraus. Bezeichnet man v2 als va und formt noch nach der Geschwindigkeit um, erhält man:
$$g·h=\frac{v_a^2}{2}\Rightarrow v_a=\sqrt{2·g·h}$$
Ausfluss aus einem oben geschlossenen Gefäß
Mithilfe der Bernoulligleichung kann auch die Formel für die Ausflussgeschwindigkeit va aus einem oben geschlossenen Behälter bestimmt werden:
$$v_a=\sqrt{2·\left(\frac{p}{\rho}+g·h\right)}$$
Mit p wird der Überdruck im Gefäß bezeichnet (Einheit: Pascal).
Massenstrom, Kontinuitätsgleichung & Volumenstrom
In diesem Abschnitt findest du die Formeln zur Berechnung des Massenstromes und des Volumenstromes. Zudem wird auch die Kontinuitätsgleichung angegeben.
Massenstrom
Der Massenstrom wird mit der folgenden Formel berechnet:
$$\dot{m}=\rho·A·v$$
Den Massenstrom bekommt man also durch das Produkt aus Dichte ρ, Querschnittsfläche A und Geschwindigkeit v. Die SI-Einheit des Massenstromes ist kg/s. Dazu ist die Dichte in kg/m³, die Fläche in m² und die Geschwindigkeit in m/s einzusetzen.
Kontinuitätsgleichung
Der Massenstrom muss über den gesamten Abschnitt der Stromlinie konstant bleiben, da keine Massenanteile verloren gehen können. Aus diesem Grund lautet die Kontinuitätsgleichung:
$$\rho_1·A_1·v_1=\rho_2·A_2·v_2$$
Wenn das Fluid zudem inkompressibel ist – also die beiden Dichten ρ1 und ρ2 annähernd gleich groß sind – vereinfacht sich die obige Gleichung noch etwas, da die Dichte in diesem Fall herausgekürzt werden kann. Man erhält die folgende Formel:
$$A_1·v_1=A_2·v_2$$
Volumenstrom (Durchfluss)
Das Produkt aus Querschnitt und Geschwindigkeit der Flüssigkeit wird als Volumenstrom oder Durchfluss bezeichnet:
$$\dot{V}=A·v$$
Die SI-Einheit des Volumenstromes ist m³/s, oft wird aber auch l/s oder l/min verwendet.
Strahl-Stoßkraft
Die Kraft, die ein Strahl auf eine senkrechte Wand ausübt, wird mit der folgenden Formel berechnet:
$$F=\dot{m} · v=\rho · A · v^2$$
Als Einheit der Stoßkraft F bekommt man Newton, wenn man für die anderen Größen die SI-Einheiten einsetzt.
Seite erstellt am 20.01.2022. Zuletzt geändert am 26.02.2022.