Bernoulligleichung & Kontinuitätsgleichung

Auf dieser Seite findest du die Bernoulli­gleichung zur Berechnung von der Geschwin­dig­keit, dem Höhen­unter­schied oder dem Druck in Rohren. Auch die Reibung in den Rohren und die Reibung von Rohr­leitungs­ein­bauten (Krümmer, Ventile, Quer­schnitts­ver­änderungen, Ein­läufe) kann berück­sichtigt werden.

Zudem werden hier die Formeln zur Berechnung des Aus­flusses von Gefäßen, die Formeln zur Berechnung des Massen­stromes und des Volumen­stromes (=Durch­fluss), die soge­nannte Konti­nuitäts­gleichung und die Formel für die Strahl-Stoß­kraft angegeben.
 

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Spezi­fische Energie­gleichung

Die Gesamtenergie bleibt über die gesamte be­trachtete Länge kons­tant und setzt sich aus den folgenden drei Teil­energien zu­sammen: kine­tische Ener­gie, poten­tielle Ener­gie und Druck­energie. Divi­diert man die Gesamt­energie durch die Masse, erhält man die spezi­fische Energie­gleichung. Voraus­setzung für die Ver­wendung der Energie­gleichung ist sowohl eine sta­tionäre Strömung als auch eine inkom­pressible und viskosi­täts­freie Flüssig­keit. Das heißt also, dass

  • die Geschwindigkeit der Strömung an jedem Ort zeitlich gleich groß bleibt (es darf aber Orte mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten geben!),
  • sich die Dichte nicht ändern darf – also konstant zu bleiben hat,
  • und dass es sich um ein dünnflüssiges Medium wie etwa Wasser handeln muss.

Reibungsfreie Bernoulligleichung

Die spezi­fische Energie­­gleichung ist auch unter dem Namen Bernoulli­gleichung be­kannt. Sie vergleicht die Zustände von zwei ver­schie­denen Punkten einer Strom­linie und lautet bei reibungs­freier Strömung:

$$\frac{v_1^2}{2}+\frac{p_1}{\rho}+g·h_1=\frac{v_2^2}{2}+\frac{p_2}{\rho}+g·h_2$$

Skizze für Bernoulli-Gleichung
v1, v2 Mittlere Geschwindigkeit im Querschnitt 1 bzw. 2 in m/s
p1, p2 Druck an der Stelle 1 bzw. 2 in Pascal: 1 Pa = 1 N/m², 105 Pa = 1 bar
ρ Dichte des Fluids in kg/m³
g Erdbeschleunigung, g = 9.81 m/s²
h1, h2 Abstände vom Nullniveau zum Mittel­punkt des Rohres in m
A1, A2 Querschnittsflächen in m² (für Kontinuitätsgleichung)


Das Null­niveau kann beliebig gewählt werden. Je nach Lage der Null­linie können die Abstände auch negativ werden. Meist ist es günstig, die Null­linie in einen der beiden Punkte zu legen, da so in der Gleichung eine Höhe ver­schwindet. Die Ge­schwindig­keit v wird oft auch mit c be­zeichnet.

Erweiterte Bernoulligleichung für reibungsbehaftete Strömungen

Die sogenannte er­weiterte Bernoulli­gleichung berück­sichtigt auch die Reibung in den Rohren und die Druck­ver­luste von diversen Rohr­leitungs­ein­bauten:

$$\frac{v_1^2}{2}+\frac{p_1}{\rho}+g·h_1=\frac{v_2^2}{2}+\frac{p_2}{\rho}+g·h_2+\zeta·\frac{v^2}{2}+\lambda·\frac{l}{d}·\frac{v^2}{2}$$


ζ Druckverlustbeiwert oder Widerstandsbeiwert (dimensionslos)
v Geschwindigkeit an der Stelle der Einbauten bzw. im Rohr in m/s
λ Rohrreibungszahl (dimensionslos)
l Länge der Rohrleitung in m
d Rohrdurchmesser in m

 

Die Rohrreibungszahl λ hängt bei turbulenten Strömungen von der Rauheit k des Rohrs, vom Rohr­durch­messer d und von der Reynolds­zahl Re ab. Sie wird meist aus Dia­grammen er­mittelt, die man zum Bei­­spiel auf Wikipedia findet. Für laminare Strömungen – also für eine Reynolds­zahl Re < 2300 – gilt der folgende Zusammen­hang:

$$\lambda=\frac{64}{Re}$$

Reynoldszahl Re

Die Reynoldszahl Re wird mit der folgenden Formel berechnet, wobei ν die kine­matische Visko­sität ist:

$$Re=\frac{v·d}{\nu}$$


Für Wasser bei einer Temperatur von 20 °C gilt: ν = 10-6 m2/s.

Ausfluss aus einem oben offenen Gefäß

Mithilfe der Bernoulli­gleichung kann die Formel für die Aus­fluss­geschwin­dig­keit va aus einem oben offenen Behälter – zum Bei­spiel aus einem Stau­see oder Tank – er­mittelt werden:

$$v_a=\sqrt{2·g·h}$$

Skizze für Ausfluss aus einem Gefäß (Bernoulli-Gleichung)

Herleitung dieser Formel

Zur Herleitung geht man von der Bernoulligleichung aus:

$$\frac{v_1^2}{2}+\frac{p_1}{\rho}+g·h_1=\frac{v_2^2}{2}+\frac{p_2}{\rho}+g·h_2$$

Die Größen mit dem Index 1 gelten an der Wasser­ober­fläche, die Größen mit dem Index 2 am Aus­fluss. An der Ober­fläche ist die Ge­schwin­dig­keit v1 (fast) null. Je größer der obere Quer­schnitt, desto eher trifft diese Ideali­sierung zu. Legt man das Null­niveau in den Aus­fluss, ist h2 null und h1 ent­spricht dem Höhen­unter­schied h. Der Um­gebungs­druck p0 ist oben und unten an­nähernd gleich groß. Somit verein­facht sich die Bernoulli-Gleichung:

$$\frac{p_0}{\rho}+g·h=\frac{v_2^2}{2}+\frac{p_0}{\rho}$$

Da der Druck p0 gleich groß ist, fällt er aus der Gleichung heraus. Be­zeichnet man v2 als va und formt noch nach der Ge­schwin­dig­keit um, er­hält man:

$$g·h=\frac{v_a^2}{2}\Rightarrow v_a=\sqrt{2·g·h}$$

Ausfluss aus einem oben geschlossenen Gefäß

Mithilfe der Bernoulli­gleichung kann auch die Formel für die Aus­fluss­geschwin­dig­keit va aus einem oben geschlossenen Behälter bestimmt werden:

$$v_a=\sqrt{2·\left(\frac{p}{\rho}+g·h\right)}$$

Mit p wird der Über­druck im Gefäß be­zeichnet (Ein­heit: Pascal).

Massenstrom, Kon­tinui­täts­gleichung & Volumen­strom

In diesem Abschnitt findest du die Formeln zur Berechnung des Massenstromes und des Volumenstromes. Zudem wird auch die Kontinuitätsgleichung angegeben.

Massenstrom

Der Massen­strom wird mit der folgenden Formel be­rechnet:

$$\dot{m}=\rho·A·v$$

Den Massenstrom bekommt man also durch das Pro­dukt aus Dichte ρ, Quer­schnitts­fläche A und Ge­schwin­dig­keit v. Die SI-Einheit des Massen­­stromes ist kg/s. Dazu ist die Dichte in kg/m³, die Fläche in m² und die Ge­schwin­dig­keit in m/s ein­zu­setzen.

Kontinuitätsgleichung

Der Massen­strom muss über den gesamten Abschnitt der Strom­linie konstant bleiben, da keine Massen­anteile ver­loren gehen können. Aus diesem Grund lautet die Kon­tinui­täts­gleichung:

$$\rho_1·A_1·v_1=\rho_2·A_2·v_2$$


Wenn das Fluid zudem inkom­pressibel ist – also die beiden Dichten ρ1 und ρ2 annähernd gleich groß sind – ver­ein­facht sich die obige Gleichung noch etwas, da die Dichte in diesem Fall her­aus­gekürzt werden kann. Man erhält die folgende Formel:

$$A_1·v_1=A_2·v_2$$

Volumenstrom (Durchfluss)

Das Produkt aus Querschnitt und Geschwindigkeit der Flüssigkeit wird als Volumen­strom oder Durch­fluss be­zeichnet:

$$\dot{V}=A·v$$

Die SI-Einheit des Volumen­stromes ist m³/s, oft wird aber auch l/s oder l/min ver­wendet.

Strahl-Stoßkraft

Die Kraft, die ein Strahl auf eine senkrechte Wand ausübt, wird mit der folgenden Formel berechnet:

$$F=\dot{m} · v=\rho · A · v^2$$

Als Einheit der Stoß­kraft F bekommt man Newton, wenn man für die anderen Größen die SI-Ein­heiten ein­setzt.

Seite erstellt am 20.01.2022. Zuletzt geändert am 28.06.2022.