Bernoulligleichung & Kontinuitätsgleichung

Auf dieser Seite findest du die Energie- bzw. Bernoulli­gleichung zur Berechnung von der Geschwin­dig­keit, dem Höhen­unter­schied oder dem Druck in Rohren. Auch die Reibung in den Rohren und die Reibung von Rohr­leitungs­ein­bauten (Krümmer, Ventile, Quer­schnitts­ver­änderungen, Ein­läufe) kann in der Formel berück­sichtigt werden.

Zudem werden hier die Formeln zur Berechnung des Aus­flusses von Gefäßen, die Formeln zur Berechnung des Massen­stromes und des Volumen­stromes (=Durch­fluss) – die soge­nannte Konti­nuitäts­gleichung – und die Formel für die Strahl-Stoß­kraft angegeben. Die Formel für den Aus­fluss aus einem oben offenen Gefäß (Torricelli-Gleichung) wird in einem kurzen Bei­spiel her­geleitet.
 

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Inhaltsverzeichnis

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Übersichtstabelle (in ARBEIT!!)

In dieser Tabelle sind die wich­tigsten Formeln zu finden. Für genauere Infor­mationen sei auf die folgenden Ab­schnitte ver­wiesen.
 

Bernoulligleichung Formel
spezifische Energiegleichung $$\frac{v_1^2}{2}+\frac{p_1}{\rho}+g·h_1=\frac{v_2^2}{2}+\frac{p_2}{\rho}+g·h_2$$
Druckgleichung $$\frac{v_1^2·\rho}{2}+p_1+\rho·g·h_1 = \frac{v_2^2·\rho}{2}+p_2+\rho·g·h_2$$
Höhengleichung $$\frac{v_1^2}{2·g}+\frac{p_1}{\rho·g}+h_1= \frac{v_2^2}{2·g}+\frac{p_2}{\rho·g}+h_2$$
mit Verlusten $$\frac{v_1^2}{2}+\frac{p_1}{\rho}+g·h_1=\frac{v_2^2}{2}+\frac{p_2}{\rho}+g·h_2+\sum\zeta·\frac{v^2}{2}+\sum\lambda·\frac{l}{d}·\frac{v^2}{2}$$
Ausfluss aus Gefäßen  oben offen oben geschlossen
$$v_a=\sqrt{2·g·h}$$ $$v_a=\sqrt{2·\left(\frac{p_e}{\rho}+g·h\right)}$$
  Kontinuitätsgleichung Volumenstrom
 

$$A_1·v_1=A_2·v_2$$

$$\dot{V}=A·v$$

Energiegleichung & Bernoulli­gleichung

Die Energie- bzw. Bernoulligleichung vergleicht die Zustände von zwei ver­schie­denen Punkten einer Strom­linie, siehe Abbildung. Die Gesamtenergie bleibt über die gesamte be­trachtete Länge kons­tant und setzt sich aus den folgenden drei Teil­energien zu­sammen:

  • kine­tische Ener­gie
  • Druck­energie
  • poten­tielle Ener­gie
Skizze für Bernoulli-Gleichung

Formel der Energiegleichung

Die Energie­gleichung lautet daher bei reibungs­freier Strömung:

$$\frac{m·v_1^2}{2}+p_1·V+m·g·h_1=\frac{m·v_2^2}{2}+p_2·V+m·g·h_2$$

m Masse in kg
v1, v2 Mittlere Geschwindigkeit im Querschnitt 1 bzw. 2 in m/s
p1, p2 Druck an der Stelle 1 bzw. 2 in Pascal: 1 Pa = 1 N/m², 105 Pa = 1 bar
V Volumen in m³
g Erdbeschleunigung, g = 9.81 m/s²
h1, h2 Abstände vom Nullniveau zum Mittel­punkt des Rohres in m
A1, A2 Querschnittsflächen in m² (für Kontinuitätsgleichung)


Das Null­niveau (in der Skizze mit Null­linie be­zeichnet) kann beliebig gewählt werden. Je nach Lage der Null­linie können die Abstände auch negativ werden. Meist ist es günstig, die Null­linie in den tiefsten der beiden Punkte zu legen, da so in der Gleichung eine Höhe ver­schwindet und nur positive Ab­stände vor­kommen. Die Ge­schwindig­keit v wird oft auch mit c be­zeichnet.

Notwendige Voraussetzungen

Notwendige Voraus­setzung für die Ver­wendung der Bernoulli- bzw. Energie­gleichung ist sowohl eine sta­tionäre Strömung als auch eine inkom­pressible und viskosi­täts­freie Flüssig­keit, wobei jedoch die Reibung berück­sichtigt werden kann.

Das heißt also, dass

  • die Geschwindigkeit der Strömung an jedem Ort zeitlich gleich groß bleibt (es darf aber Orte mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten geben!),
  • sich die Dichte nicht ändern darf – also konstant zu bleiben hat,
  • und dass es sich um ein dünnflüssiges Medium wie etwa Wasser handeln muss.

Reibungsfreie Bernoulligleichung

Die oben ange­führte Energie­gleichung ist in der Praxis meist nicht relevant. Statt­dessen ver­wendet man drei spezielle Formen der Energie­gleichung, die man auch Ber­noulli­gleichung nennt: Spezi­fische Energie­gleichung, Druck­gleichung und Höhen­gleichung.

Spezifische Energiegleichung

Ver­wendet man die Formel V=m/ρ und divi­diert an­schließend die Energie­gleichung durch die Masse, erhält man die spezi­fische Energie­gleichung. Bei einer reibungs­freien Strömung lautet die Formel:

$$\frac{v_1^2}{2}+\frac{p_1}{\rho}+g·h_1=\frac{v_2^2}{2}+\frac{p_2}{\rho}+g·h_2$$

v1, v2 Mittlere Geschwindigkeit im Querschnitt 1 bzw. 2 in m/s
p1, p2 Druck an der Stelle 1 bzw. 2 in Pascal: 1 Pa = 1 N/m², 105 Pa = 1 bar
ρ Dichte des Fluids in kg/m³
g Erdbeschleunigung, g = 9.81 m/s²
h1, h2 Abstände vom Nullniveau zum Mittel­punkt des Rohres in m

Druckgleichung

Multipliziert man die spezi­fische Energie­­gleichung mit der Dichte ρ, erhält man die soge­nannte Druck­gleichung:

$$\frac{v_1^2·\rho}{2}+p_1+\rho·g·h_1 = \frac{v_2^2·\rho}{2}+p_2+\rho·g·h_2$$

Höhengleichung

Dividiert man die spezi­fische Energie­­gleichung durch g, erhält man die Formel für die Höhen­gleichung:

$$\frac{v_1^2}{2·g}+\frac{p_1}{\rho·g}+h_1= \frac{v_2^2}{2·g}+\frac{p_2}{\rho·g}+h_2$$

Erweiterte Bernoulligleichung für reibungsbehaftete Strömungen

Die sogenannte er­weiterte Bernoulli­gleichung auf Basis der spezi­fischen Ener­gie­gleichung berück­sichtigt auch die Reibung in den Rohren sowie die Druck­ver­luste von Rohr­leitungs­ein­bauten wie Schieber oder Ventilen und von Rohr­kompo­nenten wie Krümmer/Bögen, Knien, Ein­läufe, Aus­läufe, Abzwei­gungen, Ver­einigungen, Ver­engungen und Er­wei­terungen:

$$\frac{v_1^2}{2}+\frac{p_1}{\rho}+g·h_1=\frac{v_2^2}{2}+\frac{p_2}{\rho}+g·h_2+\sum\zeta·\frac{v^2}{2}+\sum\lambda·\frac{l}{d}·\frac{v^2}{2}$$

ζ Druckverlustbeiwert oder Widerstandsbeiwert (dimensionslos)
v Geschwindigkeit an der Stelle der Einbauten und Komponenten bzw. im Rohr in m/s
λ Rohrreibungszahl (dimensionslos)
l Länge der Rohrleitung in m
d Rohrdurchmesser in m

 

Das Zeichen ∑ ist das sogenannte Summen­zeichen. Es besagt, dass alle Ver­luste auf­summiert werden müssen. Bei gleichen Quer­schnitten bzw. Durch­messern und damit gleichen Ge­schwindig­keiten können die Wider­stands­beiwerte ζ ein­fach addiert werden.

Druckverlustbeiwert oder Widerstandsbeiwert ζ

Den dimensions­losen Druck­ver­lust­beiwert oder Wider­stands­beiwert ζ für Rohr­leitungs­ein­bauten und Kompo­nenten kommt man aus Tabellen (z. B. hier zu finden) oder durch Googeln.

Dieser Beiwert kann auch durch Ver­suche er­mittelt werden, wenn die Druck­differenz Δp = pvor – pnach mittels zweier Mano­meter gemessen wird – wobei pvor der Druck am Mano­meter vor der Kom­po­nente ist und pnach der Druck am Mano­meter nach der Kom­po­nente ist. Die Formel zur Berechnung des Wider­stands­beiwerts lautet:

$$\zeta=\frac{\Delta p}{\frac{\rho·v^2}{2}}=\frac{p_{vor}-p_{nach}}{\frac{\rho·v^2}{2}}$$

Rohrreibungszahl λ

Die Rohrreibungszahl λ hängt bei turbulenten Strömungen von der Rauheit k des Rohrs, vom Rohr­durch­messer d und von der Reynolds­zahl Re ab. Sie wird meist aus Dia­grammen er­mittelt, die man zum Bei­­spiel auf Wikipedia findet. Für laminare Strömungen – also für eine Reynolds­zahl Re < 2300 – gilt der folgende Zusammen­hang:

$$\lambda=\frac{64}{Re}$$

Reynoldszahl Re

Die Reynoldszahl Re wird mit der folgenden Formel berechnet, wobei ν die kine­matische Visko­sität ist:

$$Re=\frac{v·d}{\nu}$$


Für Wasser bei einer Temperatur von 20 °C gilt: ν = 10-6 m2/s.

Atmosphärischer Druck, Absolutdruck & Überdruck

Es besteht folgender Zusammen­hang zwischen dem atmos­phärischen Druck pamb, dem Absolut­druck pabs und dem Über­druck pe:

$$p_{abs}=p_{amb}+p_e$$

Relativdruck bzw. Überdruck pe

Der Überdruck oder Relativ­druck wird meist mit pe bezeichnet, wobei das kleine e für excedens = über­schreitend steht. Er ist die Differenz zwischen dem ab­soluten Druck und dem aktuellen atmos­phärischen Druck und kann durch Um­formen der obigen Formel be­rechnet werden:

$$p_e=p_{abs}-p_{amb}$$

Ein nega­tiver Über­druck wurde früher als Unter­druck be­zeichnet. Das be­deutet, dass der Über­druck kleiner als der atmos­phärische Druck ist. Der Über­druck wird durch das Wetter und die Seehöhe – meist gering­fügig – beein­flusst, da sich auch der atmos­phärische Druck ändert!


Klassische Mano­meter zeigen in der Regel den Über­druck an. Bei­spiel: Das Mano­meter einer Fahrrad­pumpe gibt im nicht ange­schlossenen Zu­stand 0 bar aus. Oft wird praktischer­weise nur mit dem Über­druck ge­rechnet, indem man ein­fach den atmos­phärischen Druck mit 0 bar an­nimmt.

Atmosphaerischer Druck pamb

Die Bezeichnung für den atmos­phärischen Druck ist pamb, wobei amb für ambiens = umgebend ver­wendet wird. Er nimmt mit zu­nehmender See­höhe ab und wird auch durch die aktu­elle Wetter­lage ver­ändert. Man kann näherungs­weise mit pamb = 1000 hPa = 1 bar rechnen.

Formeln für den Ausfluss aus Gefäßen

Man unter­scheidet zwischen oben offenen und oben ge­schlos­senen Ge­fäßen.

Ausfluss aus einem oben offenen Gefäß (Torricelli-Gleichung)

Mithilfe der Bernoulli­gleichung kann die Formel für die Aus­fluss­geschwin­dig­keit va aus einem oben offenen Behälter – zum Bei­spiel aus einem Stau­see oder Tank – er­mittelt werden:

$$v_a=\sqrt{2·g·h}$$

Diese Formel ist auch unter dem Namen Torricelli-Gleichung bekannt.

Skizze für Ausfluss aus einem Gefäß (Bernoulli-Gleichung)

Beispiel: Herleitung dieser Formel

Zur Herleitung geht man von der Bernoulligleichung aus:

$$\frac{v_1^2}{2}+\frac{p_1}{\rho}+g·h_1=\frac{v_2^2}{2}+\frac{p_2}{\rho}+g·h_2$$

Die Größen mit dem Index 1 gelten an der Wasser­ober­fläche, die Größen mit dem Index 2 am Aus­fluss. An der Ober­fläche ist die Ge­schwin­dig­keit v1 (fast) null. Je größer der obere Quer­schnitt, desto eher trifft diese Ideali­sierung zu. Legt man das Null­niveau in den Aus­fluss, ist h2 null und h1 ent­spricht dem Höhen­unter­schied h. Der Um­gebungs­druck p0 ist oben und unten an­nähernd gleich groß. Somit verein­facht sich die Bernoulli-Gleichung:

$$\frac{p_0}{\rho}+g·h=\frac{v_2^2}{2}+\frac{p_0}{\rho}$$

Da der Druck p0 gleich groß ist, fällt er aus der Gleichung heraus. Be­zeichnet man v2 als va und formt noch nach der Ge­schwin­dig­keit um, er­hält man:

$$g·h=\frac{v_a^2}{2}\Rightarrow v_a=\sqrt{2·g·h}$$

Ausfluss aus einem oben geschlossenen Gefäß

Mithilfe der Bernoulli­gleichung kann auch die Formel für die Aus­fluss­geschwin­dig­keit va aus einem oben geschlossenen Behälter bestimmt werden:

$$v_a=\sqrt{2·\left(\frac{p_e}{\rho}+g·h\right)}$$

Mit pe wird der Über­druck im Gefäß be­zeichnet (Ein­heit: Pascal).

Massenstrom, Kon­tinui­täts­gleichung & Volumen­strom

In diesem Abschnitt findest du die Formeln zur Berechnung des Massenstromes und des Volumenstromes. Zudem wird auch die Kontinuitätsgleichung angegeben.

Massenstrom

Der Massen­strom wird mit der folgenden Formel be­rechnet:

$$\dot{m}=\rho·A·v$$

Den Massenstrom bekommt man also durch das Pro­dukt aus Dichte ρ, Quer­schnitts­fläche A und Ge­schwin­dig­keit v. Die SI-Einheit des Massen­­stromes ist kg/s. Dazu ist die Dichte in kg/m³, die Fläche in m² und die Ge­schwin­dig­keit in m/s ein­zu­setzen.

Kontinuitätsgleichung

Der Massen­strom muss über den gesamten Abschnitt der Strom­linie konstant bleiben, da keine Massen­anteile ver­loren gehen können. Aus diesem Grund lautet die Kon­tinui­täts­gleichung:

$$\rho_1·A_1·v_1=\rho_2·A_2·v_2$$


Wenn das Fluid zudem inkom­pressibel ist – also die beiden Dichten ρ1 und ρ2 annähernd gleich groß sind – ver­ein­facht sich die obige Gleichung noch etwas, da die Dichte in diesem Fall her­aus­gekürzt werden kann. Man erhält die folgende Formel:

$$A_1·v_1=A_2·v_2$$

Volumenstrom (Durchfluss)

Das Produkt aus Querschnitt A und Geschwindigkeit v der Flüssigkeit wird als Volumen­strom oder Durch­fluss be­zeichnet:

$$\dot{V}=A·v$$

Die SI-Einheit des Volumen­stromes ist m³/s, oft wird aber auch l/s oder l/min ver­wendet. Für „V Punkt“ ist häufig auch die Be­zeichnung Q anzu­treffen:

$$Q=A·v$$

Strahl-Stoßkraft

Die Kraft, die ein Strahl auf eine senkrechte Wand ausübt, wird mit der folgenden Formel berechnet:

$$F=\dot{m} · v=\rho · A · v^2$$

Als Einheit der Stoß­kraft F bekommt man Newton, wenn man für die anderen Größen die SI-Ein­heiten ein­setzt.

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Seite erstellt am 20.01.2022. Zuletzt geändert am 29.01.2023.