Rechner für Steigung & Gefälle
Mit diesem Online-Steigungsrechner kannst du die Steigung bzw. das Gefälle in Prozent, in Promille oder in Grad berechnen. Zudem ist es möglich, die schräge Länge l und bzw. oder den Höhenunterschied zu bestimmen. Zwei von fünf Größen müssen in der Regel bekannt sein. Eine Ausnahme ist die Umrechnung von Prozent in Grad bzw. umgekehrt, wo nur einer der beiden Werte bekannt sein muss. Ist die Steigung negativ, spricht man von einem Gefälle: Das ist der Fall, wenn man bergab fährt.
Die vom Rechner verwendeten Formeln findet man neben Zahlenwerten nach dem Rechner.
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Rechner
Mit der Voreinstellung werden die Höhe h, die Länge l und der Winkel alpha berechnet, wenn der waagrechte Abstand a = 100 m und die Steigung 10 % beträgt.
Bitte in zwei der fünf Felder eine Zahl eintragen! **
** Für eine Umrechnung zwischen Grad und Prozent trägt man entweder in das Feld "Steigung" oder in das Feld "Winkel" eine Zahl ein.
Erklärung der Abkürzungen
| * Steigung |
die Steigung kann in % oder ‰ angegeben werden; auch negative Werte sind möglich (= Gefälle) |
| a | horizontaler (= waagrechter) Abstand |
| h | vertikaler Abstand |
| l | Länge der Schrägen, also die Länge der Straße oder Bahnstrecke |
| α | Steigungswinkel; Winkel zwischen Fahrbahn und Horizontalen |
Hinweise
- Für den Abstand a, die Höhe h und die Länge l kann statt m auch jede beliebige Längeneinheit verwendet werden, also zum Beispiel mm, cm, dm oder auch km. Allerdings ist für alle drei Längenmaße stets dieselbe Einheit zu gebrauchen!
- Für die richtige Funktion wird keine Gewähr übernommen - für Berichtigungen und Verbesserungsvorschläge bitte um Nachricht mittels Kontaktformular!
Hintergrundwissen, Tabellen & Formeln
In den folgenden Abschnitten finden Sie etwas Hintergrundwissen zum obigen Rechner: Es werden die wichtigsten Begriffe erklärt und auch die vom Rechner verwendeten Formeln angeführt. Zudem gibt es eine Tabelle mit Beispielen von Steigungen und eine Umrechnungstabelle zwischen Prozent und Grad.
Prozent & Promille
Für Prozent wird das Zeichen % verwendet. Eine Steigung von 8 % bedeutet, dass auf einer waagrechten Strecke von 100 m genau 8 Höhenmeter überwunden werden müssen. Auf einer Länge von 50 m legt man folglich nur die Hälfte, also 4 Höhenmeter, zurück.
Ähnliches gilt für eine Steigung, die in Promille angegeben wird (Zeichen ‰): Eine Bahnstrecke mit einem Gefälle von 25 ‰ verliert auf 1000 m Länge 25 m an Höhe, was einer negativen Steigung von 2.5 % entspricht.
Kleine Steigungen werden meist in Promille angegeben, zum Beispiel die Steigungen von Eisenbahnstrecken. Größere Steigungen sind dagegen fast immer in Prozent ausgewiesen.
Das Verkehrsschild im obigen Bild warnt vor einem 20 % steilen Gefälle. Diese Steigung tritt auf einer Länge von 4200 m auf. 20 % Gefälle bedeutet, dass die Straße je 100 m waagrechter Länge 20 Höhenmeter verliert. Tatsächlich werden auf der Straße 101.98 m zurückgelegt. Dieses Schild steht übrigens am Pfaffensattel. Aufgrund der großen Steigung herrscht dort im Winter oft Schneekettenpflicht.
Formeln zur Berechnung der Steigung
Mit den ersten beiden Formeln kann die Steigung in % bzw. in ‰ berechnet werden, wenn die waagrechte Entfernung und der Höhenunterschied bekannt sind:
Steigung in %
$$Steigung\nobreakspace in \nobreakspace \% =\frac{h}{a}⋅100$$
Steigung in ‰
$$Steigung\nobreakspace in\nobreakspace ‰=\frac{h}{a}⋅1000$$
Umrechnung % in ‰
Mit diesen zwei Formeln kann die Steigung von Prozent in Promille umgerechnet werden und umgekehrt:
$$Steigung\nobreakspace in\nobreakspace ‰=(Steigung\nobreakspace in\nobreakspace \%)⋅10$$
$$Steigung\nobreakspace in\nobreakspace \%=\frac {Steigung\nobreakspace in\nobreakspace ‰}{10}$$
Dabei bedeuten:
| a | horizontaler Abstand |
| h | Höhe (= vertikaler Abstand) |
Bis zu einer Steigung von ungefähr 10 % bzw. 5.7° kann man statt der waagrechten Länge a auch die tatsächlich zurückgelegte, schräge Strecke l verwenden. Je kleiner die Steigung, desto geringer wird der Fehler. Bei einer Steigung von 10 % und einer waagrechten Entfernung von 100 m ist der tatsächlich zurückgelegte Weg nur um 0.5 m länger als die waagrechte Entfernung.
Sind bei größeren Steigungen die Länge l und der horizontale Abstand a oder die Höhe h bekannt, wendet man zur Berechnung der Steigung zunächst den Satz des Pythagoras an, siehe nebenstehende Formeln. Hat man sich a bzw. h berechnet, kann danach die Steigung mit den obigen Formeln ermittelt werden.
$$l^2=a^2+h^2$$
$$a^2=\sqrt{l^2-h^2}$$
$$h^2=\sqrt{l^2-a^2}$$
Zahlenwerte für Steigungen bzw. Gefälle
In der folgenden Tabelle finden Sie ausgewählte Zahlenwerte für die Steigung von Straßen und Bahnstrecken. Die Steigung wird sowohl in Prozent als auch in Promille angegeben:
|
Beispiele Straße |
Steigung in % |
Steigung in ‰ |
| Großglockner-Hochalpenstraße | 12 | 120 |
| Turracher Höhe | 23 | 230 |
| Straße neben Markwardstiege (Wien) | > 30 | > 300 |
| typische Stiege/Treppe | 50 | 500 |
| Beispiele Eisenbahn | ||
| Semmeringbahn | 2.8 | 28 |
| Straßenbahn Wien | 6.2 | 62 |
| Pöstlingbergbahn (in Linz) | 11.6 | 116 |
| Straßenbahn Lissabon | 13.5 | 135 |
| Schafbergbahn (Zahnradbahn) | 25.5 | 255 |
| Pilatusbahn (Zahnradbahn) | 48 | 480 |
Straßen können etwas steiler als Bahnstrecken gebaut werden, da die Haftreibungszahl zwischen Gummi und Asphalt normalerweise größer ist als die Haftreibungszahl zwischen Eisenbahnrad und Schiene. Im Winter, wenn die Fahrbahn durch Schnee oder auch Eis bedeckt ist, kann jedoch die Haftreibungszahl sogar unter den Wert von Stahl auf Stahl sinken. So kommt es vor, dass immer wieder vor allem LKWs auf doch relativ flachen Straßen hängen bleiben.
Interessanterweise ist die Straßenbahn Lissabon steiler als die Großglockner-Hochalpenstraße. In der Regel werden jedoch Bahnstrecken mit Steigungen über 7 % als Zahnradbahn ausgeführt.
Umrechnung von Prozent in Grad
Formeln
Mit den folgenden beiden Formeln erfolgt die Umrechnung von Prozent in Grad und umgekehrt:
$$\alpha=arctan\left(\frac{Steigung\nobreakspace in \nobreakspace \%}{100}\right)$$
$$Steigung\nobreakspace in \nobreakspace \%=tan(\alpha)⋅100$$
Dabei bedeuten:
| α | Steigungswinkel in Grad (°) |
| Steigung | Steigung in % |
Umrechnungstabelle von % in Grad
Grad ist die alltägliche Einheit für einen Winkel und wird mit dem Zeichen ° angeschrieben. Vor allem in der Technik ist auch die Einheit rad (= Radiant) sehr gebräuchlich.
Eine Steigung von 100 % ist entgegen der weit verbreiteten Meinung keine Senkrechte, sondern hat einen Winkel von "nur" 45 Grad. Für eine senkrechte Wand beträgt der Winkel 90°, während die Steigung in % unendlich ist. Zudem kann eine Steigung 100 % überschreiten. Allerdings werden Steigungen über 100 % fast immer in Grad angegeben.
Die nächste Tabelle zeigt, wie viel % Steigung einem Steigungswinkel in Grad entsprechen.
| Steigung in % | Winkel in Grad |
| 0 | 0 |
| 5 | 2.86 |
| 10 | 5.71 |
| 20 | 11.3 |
| 25 | 14.0 |
| 50 | 26.6 |
| 100 | 45 |
| 200 | 63.4 |
|
1000 |
84.3 |
|
unendlich |
90 |
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Seite erstellt im Jänner 2021. Zuletzt geändert am 22.02.2021.