Rechner für Steigung & Gefälle

Mit diesem Online-Steigungs­rechner kannst du die Steigung bzw. das Gefälle in Prozent, in Promille oder in Grad be­rechnen. Zudem ist es mög­lich, die schräge Länge l und bzw. oder den Höhen­unter­schied zu bestimmen. Zwei von fünf Größen müssen in der Regel be­kannt sein. Eine Aus­nahme ist die Um­rechnung von Prozent in Grad bzw. umge­kehrt, wo nur einer der beiden Werte be­kannt sein muss. Ist die Steigung negativ, spricht man von einem Gefälle: Das ist der Fall, wenn man berg­ab fährt.

 

Die vom Rechner ver­wendeten Formeln findet man neben Zahlen­werten nach dem Rechner.

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Rechner

Mit der Vorein­stellung werden die Höhe h, die Länge l und der Winkel alpha be­rechnet, wenn der waag­rechte Ab­stand a = 100 m und die Stei­gung 10 % be­trägt.

 

Bitte in zwei der fünf Felder eine Zahl ein­tragen! **

Steigung*  
Abstand a  m
Höhe h  m
Länge l  m
Winkel α  °


  

** Für eine Um­rechnung zwischen Grad und Prozent trägt man ent­weder in das Feld "Steigung" oder in das Feld "Winkel" eine Zahl ein.


Erklärung der Abkürzungen

* Steigung

die Steigung kann in % oder ‰ angegeben werden;

auch negative Werte sind möglich (= Gefälle)

a horizontaler (= waagrechter) Abstand
h vertikaler Abstand
l Länge der Schrägen, also die Länge der Straße oder Bahnstrecke
α Steigungswinkel; Winkel zwischen Fahrbahn und Horizontalen

Hinweise

  • Für den Abstand a, die Höhe h und die Länge l kann statt m auch jede beliebige Längen­einheit ver­wendet werden, also zum Bei­spiel mm, cm, dm oder auch km. Aller­dings ist für alle drei Längen­maße stets die­selbe Ein­heit zu ge­brauchen!
  • Für die richtige Funktion wird keine Gewähr über­nommen - für Berich­tigungen und Ver­besserungs­vorschläge bitte um Nach­richt mittels Kontaktformular!

Hintergrundwissen, Tabellen & Formeln

In den folgenden Ab­schnitten finden Sie etwas Hinter­grund­wissen zum obigen Rechner: Es werden die wich­tigsten Be­griffe erklärt und auch die vom Rechner ver­wendeten Formeln ange­führt. Zudem gibt es eine Tabelle mit Bei­spielen von Stei­gungen und eine Um­rechnungs­tabelle zwischen Prozent und Grad.

Prozent & Promille

Für Pro­zent wird das Zeichen % ver­wendet. Eine Steigung von 8 % be­deutet, dass auf einer waag­rechten Strecke von 100 m genau 8 Höhen­meter über­wunden werden müssen. Auf einer Länge von 50 m legt man folg­lich nur die Hälfte, also 4 Höhen­meter, zurück.

Ähn­liches gilt für eine Stei­gung, die in Pro­mille ange­geben wird (Zeichen ‰): Eine Bahn­strecke mit einem Gefälle von 25 ‰ verliert auf 1000 m Länge 25 m an Höhe, was einer negativen Steigung von 2.5 % ent­spricht.

 

Kleine Steigungen werden meist in Promille ange­geben, zum Bei­spiel die Stei­gungen von Eisen­bahn­strecken. Größere Stei­gungen sind dagegen fast immer in Prozent aus­gewiesen.

 

Verkehrsschild für ein Gefälle negative Steigung von 20 %
Verkehrsschild für ein Gefälle von 20 %

 

Das Verkehrs­schild im obigen Bild warnt vor einem 20 % steilen Gefälle. Diese Stei­gung tritt auf einer Länge von 4200 m auf. 20 % Gefälle be­deutet, dass die Straße je 100 m waag­rechter Länge 20 Höhen­meter verliert. Tat­sächlich werden auf der Straße 101.98 m zurück­gelegt. Dieses Schild steht übrigens am Pfaffen­sattel. Auf­grund der großen Stei­gung herrscht dort im Winter oft Schnee­ketten­pflicht.

Formeln zur Berechnung der Steigung

Mit den ersten beiden Formeln kann die Stei­gung in % bzw. in ‰ berechnet werden, wenn die waag­rechte Ent­fernung und der Höhen­unter­schied bekannt sind:

 

Steigung in %

$$Steigung\nobreakspace in \nobreakspace \% =\frac{h}{a}⋅100$$

 

Steigung in ‰

$$Steigung\nobreakspace in\nobreakspace ‰=\frac{h}{a}⋅1000$$

 

Umrechnung % in ‰

Mit diesen zwei Formeln kann die Steigung von Prozent in Promille umgerechnet werden und umgekehrt:

$$Steigung\nobreakspace in\nobreakspace ‰=(Steigung\nobreakspace in\nobreakspace \%)⋅10$$

$$Steigung\nobreakspace in\nobreakspace \%=\frac {Steigung\nobreakspace in\nobreakspace ‰}{10}$$


 

Dabei bedeuten:

a horizontaler Abstand
h Höhe (= vertikaler Abstand)

 

Bis zu einer Steigung von unge­fähr 10 % bzw. 5.7° kann man statt der waag­rechten Länge a auch die tat­sächlich zurück­gelegte, schräge Strecke l ver­wenden. Je kleiner die Stei­gung, desto geringer wird der Fehler. Bei einer Steigung von 10 % und einer waag­rechten Ent­fernung von 100 m ist der tat­sächlich zurück­gelegte Weg nur um 0.5 m länger als die waag­rechte Ent­fernung.

Sind bei größeren Stei­gungen die Länge l und der hori­zontale Abstand a oder die Höhe h be­kannt, wendet man zur Be­rechnung der Stei­gung zunächst den Satz des Pytha­goras an, siehe neben­stehende Formeln. Hat man sich a bzw. h be­rechnet, kann danach die Stei­gung mit den obigen Formeln er­mittelt werden.

$$l^2=a^2+h^2$$

$$a^2=\sqrt{l^2-h^2}$$

$$h^2=\sqrt{l^2-a^2}$$


Zahlenwerte für Steigungen bzw. Gefälle

In der folgenden Tabelle finden Sie aus­ge­wählte Zahlen­werte für die Stei­gung von Straßen und Bahn­strecken. Die Stei­gung wird so­wohl in Pro­zent als auch in Pro­mille ange­geben:

 

Beispiele Straße
Steigung in %
Steigung in ‰
Großglockner-Hochalpenstraße 12 120
Turracher Höhe 23  230
Straße neben Markwardstiege (Wien) > 30   > 300
typische Stiege/Treppe 50 500
Beispiele Eisenbahn    
Semmeringbahn 2.8 28
Straßenbahn Wien 6.2 62
Pöstlingbergbahn (in Linz) 11.6 116
Straßenbahn Lissabon 13.5 135
Schafbergbahn (Zahnradbahn) 25.5 255
Pilatusbahn (Zahnradbahn) 48 480

 

Straßen können etwas steiler als Bahn­strecken gebaut werden, da die Haftreibungs­zahl zwischen Gummi und Asphalt normaler­weise größer ist als die Haft­reibungs­zahl zwischen Eisen­bahn­rad und Schiene. Im Winter, wenn die Fahr­bahn durch Schnee oder auch Eis be­deckt ist, kann jedoch die Haft­reibungs­zahl sogar unter den Wert von Stahl auf Stahl sinken. So kommt es vor, dass immer wieder vor allem LKWs auf doch relativ flachen Straßen hängen bleiben.

Interessanterweise ist die Straßen­bahn Lissabon steiler als die Groß­glockner-Hoch­alpen­straße. In der Regel werden jedoch Bahn­strecken mit Stei­gungen über 7 % als Zahn­rad­bahn aus­geführt.

Umrechnung von Prozent in Grad

Formeln

Mit den folgenden beiden Formeln erfolgt die Umrechnung von Prozent in Grad und umgekehrt:

$$\alpha=arctan\left(\frac{Steigung\nobreakspace in \nobreakspace \%}{100}\right)$$

$$Steigung\nobreakspace in \nobreakspace \%=tan(\alpha)⋅100$$


 

Dabei bedeuten:

α Steigungswinkel in Grad (°)
Steigung Steigung in %

Umrechnungstabelle von % in Grad

Grad ist die alltägliche Einheit für einen Winkel und wird mit dem Zeichen ° ange­schrieben. Vor allem in der Technik ist auch die Ein­heit rad (= Radiant) sehr gebräuch­lich.

 

Eine Stei­gung von 100 % ist ent­gegen der weit ver­breiteten Meinung keine Senk­rechte, sondern hat einen Winkel von "nur" 45 Grad. Für eine senk­rechte Wand be­trägt der Winkel 90°, während die Steigung in % unend­lich ist. Zu­dem kann eine Stei­gung 100 % über­schreiten. Aller­dings werden Stei­gungen über 100 % fast immer in Grad ange­geben.

 

Die nächste Tabelle zeigt, wie viel % Steigung einem Stei­gungs­winkel in Grad ent­sprechen.

 

Steigung in % Winkel in Grad
0 0
5 2.86
10 5.71
20 11.3
25 14.0
50 26.6
100 45
200 63.4

1000

84.3

unendlich

90

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Seite erstellt im Jänner 2021. Zuletzt geändert am 22.02.2021.