Trigonometrie: Formeln für Vermessungsaufgaben
Auf dieser Seite finden Sie alle Formeln, die man unter anderem zur Lösung von sogenannten Vermessungsaufgaben benötigt. Man unterscheidet dabei zwischen rechtwinkeligen und gewöhnlichen, allgemeinen Dreiecken. Zudem werden die Formeln zur Berechnung der Fläche angegeben.
Für jedes Dreieck gilt, dass die Winkelsumme 180° beträgt:
$$\alpha+\beta+\gamma=180°$$
Kennt man also zwei Winkel eines Dreiecks, kann der dritte Winkel durch Umformen sofort berechnet werden.
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Formeln für rechtwinkelige Dreiecke
Bei einem rechtwinkeligen Dreieck hat einer der drei Innenwinkel einen Winkel von 90°. Die längste Seite heißt Hypotenuse H und liegt gegenüber dem rechten Winkel, die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Jene Seite, die dem betrachteten Winkel gegenüber liegt, heißt Gegenkathete GK. Die andere Seite nennt man Ankathete AK.
Alle hier angegebenen Formeln gelten nur für rechtwinkelige Dreiecke!
Winkelfunktionen
Sind entweder eine der drei Seiten des Dreiecks - also Ankathete, Gegenkathete oder Hypotenuse - und ein Winkel gegeben oder auch zwei der Seiten, verwendet man eine der folgenden Formeln. Diese Formeln werden Winkelfunktionen genannt:
$$sin(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$$
$$cos(\alpha)=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$$
$$tan(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$$
$$tan(\alpha)=\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$$
$$cot(\alpha)=\frac{Ankathete}{Gegenkathete}$$
$$cot(\alpha)=\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}=\frac{1}{tan(\alpha)}$$
Zudem gilt folgender Zusammenhang:
$$sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1$$
Die oben angeführten Winkelfunktionen werden nur selten in dieser Form verwendet: Für viele Vermessungsaufgaben müssen die Gleichungen nämlich noch umgeformt werden, da eine der Seiten oder auch der Winkel gesucht ist. In den folgenden Formeln werden für die drei Seiten aus Platzgründen die Abkürzungen gebraucht:
$$\alpha=arcsin\left(\frac{GK}{H}\right)$$
$$\alpha=arccos\left(\frac{AK}{H}\right)$$
$$\alpha=arctan\left(\frac{GK}{AK}\right)$$
$$AK=H·cos(\alpha)$$
$$AK=\frac{GK}{tan(\alpha)}$$
$$GK=H·sin(\alpha)$$
$$GK=AK·tan(\alpha)$$
$$H=\frac{GK}{sin(\alpha)}$$
$$H=\frac{AK}{cos(\alpha)}$$
Satz des Pythagoras & Flächenformel
Kennt man schon zwei Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks, ist auch der Satz von Pythagoras sehr praktisch:
$$H^2=AK^2+GK^2$$
$$AK=\sqrt{H^2-GK^2}$$
$$GK=\sqrt{H^2-AK^2}$$
Der Vollständigkeit halber wird hier noch die Formel zur Berechnung der Fläche angegeben:
$$A=\frac{AK·GK}{2}$$
Formeln für allgemeine Dreiecke
Die Formeln für allgemeine Dreiecke sind etwas komplizierter als die Formeln für rechtwinkelige Dreiecke. Es ist zu beachten, dass die Seite c gegenüber dem Eckpunkt C liegt. Ähnliches gilt für die anderen beiden Seiten. Diese Skizze liegt allen weiteren Formeln zugrunde.
Man unterscheidet Sinussatz und Kosinussatz. Diese Formeln können durch das Aufteilen eines allgemeines Dreieckes in zwei rechtwinkelige Dreiecke hergeleitet werden.
Sinussatz
Den Sinussatz verwendet man, wenn man zwei Seiten und einen Winkel kennt oder, wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind:
$$\frac{a}{sin(\alpha)}=\frac{b}{sin(\beta)}=\frac{c}{sin(\gamma)}$$
Man verwendet prinzipiell immer nur einen Teil des Sinussatz. Sind zum Beispiel die Seiten a und c und der Winkel α gegeben, benötigt man den ersten und den letzten Teil und formt dann nach dem gesuchten Winkel γ um:
$$\frac{a}{sin(\alpha)}=\frac{c}{sin(\gamma)}\Rightarrow\gamma=arcsin\left(\frac{c·sin(\alpha)}{a}\right)$$
Kosinussatz
Der Kosinussatz kann für jede der drei Seiten eines allgemeinen Dreiecks angeschrieben werden. Man verwendet ihn vor allem, wenn zwei Seiten und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel bekannt sind, um die gegenüber diesem Winkel befindliche Seite zu berechnen:
$$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cos(\alpha)$$
$$b^2=a^2+c^2-2·a·c·cos(\beta)$$
$$c^2=a^2+b^2-2·a·b·cos(\gamma)$$
Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks
Die Fläche eines gewöhnlichen Dreiecks kann mit einer der sechs folgenden Formeln berechnet werden:
$$A=\frac{b·c·sin(\alpha)}{2}=\frac{a·c·sin(\beta)}{2}=\frac{a·b·sin(\gamma)}{2}$$
$$A=\frac{a·h_a}{2}=\frac{b·h_b}{2}=\frac{c·h_c}{2}$$
Mit ha, hb und hc sind die Höhen auf die jeweiligen Seiten gemeint. Zum Beispiel ist die Höhe ha eine Strecke, die normal auf die Seite a steht und durch den Eckpunkt A verläuft.
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Seite erstellt im Jänner 2021. Zuletzt geändert am 23.06.2021.