Trigonometrie: Formeln für Ver­messungs­auf­gaben

Auf dieser Seite finden Sie alle Formeln, die man unter anderem zur Lösung von soge­nannten Ver­messungs­aufgaben be­nötigt. Man unter­scheidet dabei zwischen recht­winkeligen und gewöhn­lichen, all­gemeinen Drei­ecken. Zudem werden die Formeln zur Berechnung der Fläche ange­geben.

 

Für jedes Dreieck gilt, dass die Winkel­summe 180° beträgt:

$$\alpha+\beta+\gamma=180°$$

Kennt man also zwei Winkel eines Drei­ecks, kann der dritte Winkel durch Um­formen sofort be­rechnet werden.

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Formeln für rechtwinkelige Dreiecke

Bei einem rechtwinkeligen Dreieck hat einer der drei Innen­winkel einen Winkel von 90°. Die längste Seite heißt Hypo­tenuse H und liegt gegenüber dem rechten Winkel, die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Jene Seite, die dem be­trachteten Winkel gegen­über liegt, heißt Gegen­kathete GK. Die andere Seite nennt man An­kathete AK.

 

Alle hier ange­gebenen Formeln gelten nur für recht­winkelige Dreiecke!

 

rechtwinkeliges Dreieck

Winkelfunktionen

Sind entweder eine der drei Seiten des Drei­ecks - also An­kathete, Gegen­kathete oder Hypo­tenuse - und ein Winkel ge­geben oder auch zwei der Seiten, ver­wendet man eine der folgenden Formeln. Diese Formeln werden Winkel­funktionen genannt:

$$sin(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$$

$$cos(\alpha)=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$$

$$tan(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$$


Die oben angeführten Winkel­funk­tionen werden nur selten in dieser Form verwendet: Für viele Ver­messungs­auf­gaben müssen die Gleichungen nämlich noch umge­formt werden, da eine der Seiten oder auch der Winkel ge­sucht ist. In den folgenden Formeln werden für die drei Seiten aus Platz­gründen die Ab­kürzungen ge­braucht:

$$\alpha=arcsin\left(\frac{GK}{H}\right)$$

$$\alpha=arccos\left(\frac{AK}{H}\right)$$

$$\alpha=arctan\left(\frac{GK}{AK}\right)$$

$$AK=H·cos(\alpha)$$

$$AK=\frac{GK}{tan(\alpha)}$$

$$GK=H·sin(\alpha)$$

$$GK=AK·tan(\alpha)$$

$$H=\frac{GK}{sin(\alpha)}$$

$$H=\frac{AK}{cos(\alpha)}$$


Satz des Pythagoras & Flächenformel

Kennt man schon zwei Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks, ist auch der Satz von Pythagoras sehr praktisch:

$$H^2=AK^2+GK^2$$

$$AK=\sqrt{H^2-GK^2}$$

$$GK=\sqrt{H^2-AK^2}$$


 

Der Vollständigkeit halber wird hier noch die Formel zur Berechnung der Fläche angegeben:

$$A=\frac{AK·GK}{2}$$

Formeln für allgemeine Dreiecke

Die Formeln für allgemeine Drei­ecke sind etwas kompli­zierter als die Formeln für recht­winkelige Drei­ecke. Es ist zu beachten, dass die Seite c gegen­über dem Eckpunkt C liegt. Ähn­liches gilt für die anderen beiden Seiten. Diese Skizze liegt allen weiteren Formeln zugrunde.

 

Man unter­scheidet Sinus­satz und Kosinus­satz. Diese Formeln können durch das Auf­teilen eines all­gemeines Drei­eckes in zwei recht­winkelige Drei­ecke her­geleitet werden.

allgemeines Dreieck

Sinussatz

Den Sinussatz verwendet man, wenn man zwei Seiten und einen Winkel kennt oder, wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind:

$$\frac{a}{sin(\alpha)}=\frac{b}{sin(\beta)}=\frac{c}{sin(\gamma)}$$

Man ver­wendet prinzipiell immer nur einen Teil des Sinussatz. Sind zum Bei­spiel die Seiten a und c und der Winkel α gegeben, benötigt man den ersten und den letzten Teil und formt dann nach dem ge­suchten Winkel γ um:

$$\frac{a}{sin(\alpha)}=\frac{c}{sin(\gamma)}\Rightarrow\gamma=arcsin\left(\frac{c·sin(\alpha)}{a}\right)$$

Kosinussatz

Der Kosinussatz kann für jede der drei Seiten eines all­gemeinen Drei­ecks ange­schrieben werden. Man ver­wendet ihn vor allem, wenn zwei Seiten und der von diesen Seiten ein­ge­schlossene Winkel be­kannt sind, um die gegen­über diesem Winkel befind­liche Seite zu be­rechnen:

$$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cos(\alpha)$$

$$b^2=a^2+c^2-2·a·c·cos(\beta)$$

$$c^2=a^2+b^2-2·a·b·cos(\gamma)$$

Flächeninhalt eines all­gemeinen Drei­ecks

Die Fläche eines gewöhn­lichen Drei­ecks kann mit einer der sechs folgenden Formeln berechnet werden:

$$A=\frac{b·c·sin(\alpha)}{2}=\frac{a·c·sin(\beta)}{2}=\frac{a·b·sin(\gamma)}{2}$$

$$A=\frac{a·h_a}{2}=\frac{b·h_b}{2}=\frac{c·h_c}{2}$$

Mit ha, hb und hc sind die Höhen auf die je­weiligen Seiten ge­meint. Zum Bei­spiel ist die Höhe ha eine Strecke, die normal auf die Seite a steht und durch den Eck­punkt A ver­läuft.

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Seite erstellt im Jänner 2021. Zuletzt geändert am 20.06.2021.