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Formeln für Knicken von Stäben (Euler & Tetmajer)

Hier wird anhand eines allgemeinen Beispiels beschrieben, welche Schritte bzw. Formeln nötig sind, um die Sicherheit gegen Knicken berechnen zu können, wenn die Last und die Querschnittsform bekannt sind. Es sind die vier klassischen Eulerfälle zu berücksichtigen, wobei entweder nach Tetmajer (unelastischer Bereich) oder Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich) gerechnet wird. Benötigte Werte findet man in Tabellen.

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Rechner für Knicken von Stäben

Wie geht man bei der Berechnung gegen Knicken vor?

In den folgenden Abschnitten werden alle benötigten Formeln zur Berechnung dieser Größen angegeben:

Knicklänge l_k
Schlankheitsgrad λ
Grenzschlankheit λ_g

Knickspannung σ_K
Knickdruckkraft F_K
Knicksicherheit S

Die vier Eulerfälle - Faktor β zur Berechnung der Knicklänge l_k

Zuerst muss man entscheiden, welcher der vier Eulerfälle vorliegt. Das folgende Bild zeigt die vier Eulerschen Knickfälle, wobei der dazugehörende Faktor β angegeben wird:

Die vier Eulerschen Knickfälle, kurz Eulerfälle genannt. — Die vier Eulerschen Knickfälle

Fall 1: Der Stab ist am Boden fest eingespannt und das obere Ende ist komplett frei beweglich. Für diese Anordnung gilt: β = 2.
Fall 2: Am unteren Ende befindet sich ein Festlager, oben ein Loslager: β = 1. Das ist der in Praxis am häufigsten vorkommende Fall.
Fall 3: Am Boden wird der Stab fest eingespannt, während oben ein Loslager verwendet wird. Hier gilt: β = 0.699.
Fall 4: Auch hier befindet sich unten eine feste Einspannung. Das obere Ende wird hingegen in einem Längsschlitz geführt: β = 0.5.

Die Knicklänge l_k wird durch Multiplikation von Faktor β und Stablänge l berechnet. Es gilt also der folgende Zusammenhang:

Formel zur Berechnung der Knicklänge — Knicklänge

l	Länge des Stabes in mm
β	Faktor zur Berechnung von l_k

Abhängig von den Lagerungsbedingungen ergeben sich daher unterschiedliche Knicklängen.

Formel für Schlankheitsgrad λ

Zunächst berechnet man sich den Schlankheitsgrad λ, wobei neben den schon bekannten Größen auch die Fläche und das Flächenträgheitsmoment des Stabes benötigt werden:

Formel zur Berechnung des Schlankheitsgrades — Schlankheitsgrad

A	Querschnittsfläche des Stabes in mm²;
I_min	Kleinstes axiales Flächenträgheitsmoment in mm⁴

Der Schlankheitsgrad λ ist eine dimensionslose Größe (korrekt: Größe der Dimension 1) und wird daher nur als Zahlenwert ohne Einheit angegeben.

Formel für Grenzschlankheit

Die Grenzschlankheit λ_g des verwendeten Werkstoffes kann mit der nächsten Formel bestimmt werden:

Formel zur Berechnung der Grenzschlankheit — Grenzschlankheit

E	E-Modul in N/mm²
R_p0.2	Elastizitätsgrenze bw. Streckgrenze in N/mm²

Durch Einsetzen der werkstoffspezifischen Werte in die obige Formel erhält man die in der folgenden Tabelle zu findenden Grenzschlankheiten λ_g für die wichtigsten Werkstoffe:

Werkstoff	Grenzschlankheit λ_g
S235 (früher St37)	105
S355 (früher St52)	85
Grauguss (EN-GJL-200)	80*
Fichtenholz	100*

* Werte berechnet durch Gleichsetzen der Knickspannung nach Euler und Tetmajer

Diagramm und Formeln für Knickspannung & Knickdruckkraft (Knicklast)

Falls der errechnete Schlankheitsgrad λ über der Grenzschlankheit λ_g liegt, wird nach Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich), andernfalls nach Tetmajer (unelastischer Bereich) gerechnet.

Schlankheitsgrad-Knickspannung-Diagramm

Im folgenden Diagramm ist der Zusammenhang zwischen dem Schlankheitsgrad λ und der Knickspannung σ_K für den Baustahl S235 dargestellt. Für andere Werkstoffe würde solch ein Diagramm recht ähnlich aussehen:

Die Formeln für die Knickspannung σ_K und für die Knickdruckkraft F_K (= Knicklast) lauten:

Streckgrenze

Konstante

0 < λ < λ_p

Die Knickspannung liegt über der Streckgrenze bzw. Elastizitätsgrenze, somit liegt kein Stabilitätsproblem vor!

σ_K > σ_max = R_p0.2

F_max = σ_max * A

Tetmajer (unelastischer Bereich)

Tetmajer-Gerade

λ_p < λ < λ_g

Formel zur Berechnung der Knickspannung nach Tetmajer (unelastischer Bereich) — Knickspannung

Formel zur Berechnung der Knickdruckkraft nach Tetmajer (unelastischer Bereich) — Knickdruckkraft

Euler (elastischer Bereich)

Euler-Hyperbel

λ_g < λ < λ_max = 250

Formel zur Berechnung der Knickspannung nach Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich) — Knickspannung

Formel zur Berechnung der Knickdruckkraft nach Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich) — Knickdruckkraft

σ_K	Druckspannung, bei der der Stab seitlich ausknickt; in N/mm²
F_K	Kraft, bei der der Stab seitlich ausknickt; in kN
R_p0.2	Elastizitätsgrenze bzw. Streckgrenze in N/mm²
σ_max	Üblicherweise maximal zulässige Spannung
E	E-Modul in N/mm²; passende Werte findet man z. B. in Wikipedia
λ	Schlankheitsgrad
l_k = β · l	Knicklänge
β	Faktor aufgrund der Lagerung des Stabes
l	Länge des Stabes in mm
I_min	Kleinstes axiales Flächenträgheitsmoment in cm⁴
A	Querschnittsfläche des Stabes in mm²
a, b, c	Koeffizienten für die Tetmajer-Gleichung

Werte für die Koeffizienten der Tetmajergleichung:

(negative Vorzeichen bei b beachten!)

Werkstoff	Koeffizient a	Koeffizient b	Koeffizient c
S235 (früher St37)	310	-1.14	0
S355 (früher St52)	335	-0.62	0
Grauguss	776	-12.0	0.053
Fichtenholz	29.3	-0.194	0

Quelle: Wikipedia

Achtung:

Im Euler-Bereich knicken bei identer Lagerung und Querschnittsform alle Stähle unter dergleichen Last, da sie denselben E-Modul besitzen!

Sicherheit gegen Knicken

Zuletzt wird die Knicksicherheit S berechnet:

Formel zur Berechnung der Knicksicherheit — Knicksicherheit

F_K	Kraft, bei der der Stab seitlich ausknickt; in kN
F	gegebene Kraft in kN

Es sind immer relativ große Sicherheiten einzuplanen, da die Berechnungen eigentlich nur für einen idealen Stab gelten:

Der Stab muss homogen sein.
Die Kraft hat genau in der Stabachse anzugreifen und das im rechten Winkel zum Querschnitt.
Es dürfen keine anderen Kräfte oder Momente vorhanden sein (zum Beispiel Windlasten).

In welchem Bereich die Sicherheit gegen Knicken liegen sollte, kann man der folgenden Tabelle entnehmen: