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Formeln für Knicken von Stäben (Euler & Tetmajer)

Hier wird anhand eines allgemeinen Beispiels beschrieben, welche Schritte bzw. Formeln nötig sind, um die Sicherheit gegen Knicken berechnen zu können, wenn die Last und die Quer­schnitts­form bekannt sind. Es sind die vier klassischen Euler­fälle zu berücksichtigen, wobei entweder nach Tetmajer (unelastischer Bereich) oder Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich) gerechnet wird. Benötigte Werte findet man in Tabellen.

 

>> Rechner für Knicken von Stäben

Wie geht man bei der Berechnung gegen Knicken vor?

In den folgenden Abschnitten werden alle benötigten Formeln zur Berechnung dieser Größen angegeben:

  • Knicklänge lk
  • Schlank­heits­grad λ
  • Grenz­schlankheit λg
  • Knick­spannung σK
  • Knick­druck­kraft FK
  • Knick­sicher­heit S

Die vier Eulerfälle - Faktor β zur Berechnung der Knick­länge lk

Zuerst muss man entscheiden, welcher der vier Euler­fälle vorliegt. Das folgende Bild zeigt die vier Eulerschen Knick­fälle, wobei der dazugehörende Faktor β angegeben wird:

Die vier Eulerschen Knickfälle, kurz Eulerfälle genannt.
Die vier Eulerschen Knickfälle
  • Fall 1: Der Stab ist am Boden fest ein­ge­spannt und das obere Ende ist komplett frei beweg­lich. Für diese Anord­nung gilt: β = 2.
  • Fall 2: Am unteren Ende befindet sich ein Fest­lager, oben ein Los­lager: β = 1. Das ist der in Praxis am häufigsten vor­kom­mende Fall.
  • Fall 3: Am Boden wird der Stab fest ein­ge­spannt, während oben ein Los­lager ver­wendet wird. Hier gilt: β = 0.699.
  • Fall 4: Auch hier befindet sich unten eine feste Ein­spannung. Das obere Ende wird hin­gegen in einem Längs­schlitz ge­führt: β = 0.5.

Die Knick­länge lk wird durch Multi­plikation von Faktor β und Stab­länge l berechnet. Es gilt also der folgende Zusammen­hang:

Formel zur Berechnung der Knicklänge
Knicklänge
l Länge des Stabes in mm
β Faktor zur Berechnung von lk

 

Abhängig von den Lagerungs­bedingungen ergeben sich daher unter­schiedliche Knick­längen.

Formel für Schlankheitsgrad λ

Zunächst berechnet man sich den Schlank­heits­grad λ, wobei neben den schon bekannten Größen auch die Fläche und das Flächen­träg­heits­moment des Stabes benötigt werden:

 

Formel zur Berechnung des Schlankheitsgrades
Schlankheitsgrad
A Querschnittsfläche des Stabes in mm2;
Imin Kleinstes axiales Flächenträgheitsmoment in mm4

 

Der Schlankheits­grad λ ist eine dimensions­lose Größe (korrekt: Größe der Dimension 1) und wird daher nur als Zahlen­wert ohne Ein­heit ange­geben.

Formel für Grenzschlankheit

Die Grenz­schlankheit λg des verwendeten Werk­stoffes kann mit der nächsten Formel bestimmt werden:

 

Formel zur Berechnung der Grenzschlankheit
Grenzschlankheit
E E-Modul in N/mm²
Rp0.2 Elastizitätsgrenze in N/mm²

 

Durch Einsetzen der werk­stoff­spezifischen Werte in die obige Formel erhält man die in der folgenden Tabelle zu findenden Grenz­schlank­heiten λg für die wichtigsten Werk­stoffe:

 

 Werkstoff  Grenz­schlankheit λg
 S235 (früher St37)  105
 S355 (früher St52)  85
Grauguss (EN-GJL-200)  ~ 80*
Fichtenholz  ~ 100*

* Werte berechnet durch Gleichsetzen der Knick­spannung nach Euler und Tetmajer

Formeln für Knickspannung und Knickdruckkraft (Knicklast)

Falls der errechnete Schlankheits­grad λ über der Grenzschlankheit λg liegt, wird nach Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich), andernfalls nach Tetmajer (unelastischer Bereich) gerechnet.

  

Achtung:

Im Euler-Bereich knicken bei identer Lagerung und Querschnitts­form alle Stähle unter dergleichen Last!

 

 

Die Formeln für die Knick­spannung σK und für die Knick­druck­kraft FK (= Knicklast) lauten:

 

Euler (elastischer Bereich)

λ > λg

 

Formel zur Berechnung der Knickspannung nach Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich)
Knickspannung
Formel zur Berechnung der Knickdruckkraft nach Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich)
Knickdruckkraft

Tetmajer (unelastischer Bereich)

λ < λg

 

 

Formel zur Berechnung der Knickspannung nach Tetmajer (unelastischer Bereich)
Knickspannung
Formel zur Berechnung der Knickdruckkraft nach Tetmajer (unelastischer Bereich)
Knickdruckkraft

σK Druckspannung, bei der der Stab seitlich ausknickt; in N/mm²
FK Kraft, bei der der Stab seitlich ausknickt; in kN
E E-Modul in N/mm²
λ Schlankheitsgrad
lk = β · l Knicklänge
β Faktor aufgrund der Lagerung des Stabes
l Länge des Stabes in mm
Imin Kleinstes axiales Flächenträgheitsmoment in cm4
A Querschnittsfläche des Stabes in mm²
a, b, c Koeffizienten für die Tetmajer-Gleichung

 

 

Werte für die Koeffizienten der Tetmajer­gleichung:

(negative Vorzeichen bei b beachten!)

 

 Werkstoff Koeffizient a Koeffizient b Koeffizient c
S235 (früher St37) 310 -1.14 0
S355 (früher St52) 335 -0.62 0
Grauguss 776 -12.0 0.053
Fichtenholz 29.3 -0.194 0

Quelle: Wikipedia

Sicherheit gegen Knicken

Zuletzt wird die Knicksicherheit S berechnet:

 

Formel zur Berechnung der Knicksicherheit
Knicksicherheit
FK Kraft, bei der der Stab seitlich ausknickt; in kN
F gegebene Kraft in kN

 

Es sind immer relativ große Sicher­heiten einzuplanen, da die Berechnungen eigentlich nur für einen idealen Stab gelten:

  • Der Stab muss homogen sein.
  • Die Kraft hat genau in der Stab­achse anzugreifen und das im rechten Winkel zum Quer­schnitt.
  • Es dürfen keine anderen Kräfte oder Momente vorhanden sein (zum Beispiel Wind­lasten).

 

 

Im welchen Bereich die Sicherheit gegen Knicken liegen sollte, kann man der folgenden Tabelle entnehmen:

 

  Sicherheit
Maschinenbau Stahlbau
Euler 5 - 10 3
Tetmajer 3 - 7.5 1.5

Seite erstellt am 10.06.2019. Zuletzt geändert am 23.03.2020.