This page in English: Buckling of Columns (calculator and formulas)
Formeln für Knicken von Stäben (Euler & Tetmajer)
Hier wird anhand eines allgemeinen Beispiels beschrieben, welche Schritte bzw. Formeln nötig sind, um die Sicherheit gegen Knicken berechnen zu können, wenn die Last und die Querschnittsform bekannt sind. Es sind die vier klassischen Eulerfälle zu berücksichtigen, wobei entweder nach Tetmajer (unelastischer Bereich) oder Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich) gerechnet wird. Benötigte Werte findet man in Tabellen.
Wie geht man bei der Berechnung gegen Knicken vor?
In den folgenden Abschnitten werden alle benötigten Formeln zur Berechnung dieser Größen angegeben:
- Knicklänge
- Schlankheitsgrad
- Grenzschlankheit
- Knickspannung
- Knickdruckkraft
- Knicksicherheit
Die vier Eulerfälle - Faktor β zur Berechnung der Knicklänge lk
Zuerst muss man entscheiden, welcher der vier Eulerfälle vorliegt. Das folgende Bild zeigt die vier Eulerschen Knickfälle, wobei der dazugehörende Faktor β angegeben wird:
- Fall 1: am Boden feste Einspannung, oberes Ende komplett frei beweglich; β = 2
- Fall 2: unten Festlager, oben Loslager; β = 1; das ist in der Praxis der häufigste Fall
- Fall 3: am Boden feste Einspannung, oben Loslager; β = 0.699
- Fall 4: unten feste Einspannung, oberes Ende in Längsschlitz geführt; β = 0.5
Für die Knicklänge lk gilt folgender Zusammenhang:
| l | Länge des Stabes in mm |
| β | Faktor zur Berechnung von lk |
Abhängig von den Lagerungsbedingungen ergeben sich daher unterschiedliche Knicklängen.
Formel für Schlankheitsgrad
Zunächst berechnet man sich den Schlankheitsgrad λ:
| A | Querschnittsfläche des Stabes in mm² |
| Imin | Kleinstes axiales Flächenträgheitsmoment in cm4 |
Formel für Grenzschlankheit
Die Grenzschlankheit λg des verwendeten Werkstoffes kann mit der nächsten Formel berechnet werden:
| E | E-Modul |
| Rp0.2 | Elastizitätsgrenze in N/mm² |
Durch Einsetzen von Werten in obige Formel erhält man die folgende Tabelle:
| Werkstoff | Grenzschlankheit λg |
| S235 (früher St37) | 105 |
| S355 (früher St52) | 85 |
Formeln für Knickspannung und Knickdruckkraft (Knicklast)
Falls der errechnete Schlankheitsgrad λ über der Grenzschlankheit λg liegt, wird nach Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich), andernfalls nach Tetmajer (unelastischer Bereich) gerechnet.
Achtung:
Im Euler-Bereich knicken bei identer Lagerung und Querschnittsform alle Stähle unter dergleichen Last!!
Die Formeln für die Knickspannung σK und für die Knickdruckkraft FK (= Knicklast) lauten:
Euler (elastischer Bereich)
λ > λg
Tetmajer (unelastischer Bereich)
λ < λg
| σK | Druckspannung, bei der der Stab seitlich ausknickt; in N/mm² |
| FK | Kraft, bei der der Stab seitlich ausknickt; in kN |
| E | E-Modul in N/mm² |
| λ |
Schlankheitsgrad |
| β · l = lk |
Knicklänge |
| Imin | Kleinstes axiales Flächenträgheitsmoment in cm4 |
| A | Querschnittsfläche des Stabes in mm² |
| a, b, c | Koeffizienten für die Tetmajer-Gleichung |
Werte für die Koeffizienten der Tetmajergleichung:
(negative Vorzeichen bei b beachten!)
| Werkstoff | Koeffizient a | Koeffizient b | Koeffizient c |
| S235 (früher St37) | 310 | -1.14 | 0 |
| S355 (früher St52) | 335 | -0.62 | 0 |
Sicherheit gegen Knicken
Zuletzt wird die Knicksicherheit S berechnet:
| FK | Kraft, bei der der Stab seitlich ausknickt; in kN |
| F | gegebene Kraft in kN |
Es sind immer relativ große Sicherheiten einzuplanen, da die Berechnungen eigentlich nur für einen idealen Stab gelten:
- Der Stab muss homogen sein.
- Die Kraft hat genau in der Stabachse anzugreifen und das im rechten Winkel zum Querschnitt.
- Es dürfen keine anderen Kräfte oder Momente vorhanden sein (zum Beispiel Windlasten).
Im welchen Bereich die Sicherheit gegen Knicken liegen sollte, kann man der folgenden Tabelle entnehmen:
| Sicherheit | ||
| Maschinenbau | Stahlbau | |
| Euler | 5 - 10 | 2.5 |
| Tetmajer | 3 - 7.5 | 1.5 |
Seite erstellt am 10.06.2019. Zuletzt geändert am 11.06.2019.