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Formeln für Knicken von Stäben (Euler & Tetmajer)

Hier wird anhand eines allgemeinen Beispiels beschrieben, welche Schritte bzw. Formeln nötig sind, um die Sicherheit gegen Knicken berechnen zu können, wenn die Last und die Quer­schnitts­form bekannt sind. Es sind die vier klassischen Euler­fälle zu berücksichtigen, wobei entweder nach Tetmajer (unelastischer Bereich) oder Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich) gerechnet wird. Benötigte Werte findet man in Tabellen.

 

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Wie geht man bei der Berechnung gegen Knicken vor?

In den folgenden Abschnitten werden alle benötigten Formeln zur Berechnung dieser Größen angegeben:

  • Knicklänge lk
  • Schlank­heits­grad λ
  • Grenz­schlankheit λg
  • Knick­spannung σK
  • Knick­druck­kraft FK
  • Knick­sicher­heit S

Die vier Eulerfälle - Faktor β zur Berechnung der Knick­länge lk

Zuerst muss man entscheiden, welcher der vier Euler­fälle vorliegt. Das folgende Bild zeigt die vier Eulerschen Knick­fälle, wobei der dazugehörende Faktor β angegeben wird:

Die vier Eulerschen Knickfälle, kurz Eulerfälle genannt.
Die vier Eulerschen Knickfälle
  • Fall 1: Der Stab ist am Boden fest ein­ge­spannt und das obere Ende ist komplett frei beweg­lich. Für diese Anord­nung gilt: β = 2.
  • Fall 2: Am unteren Ende befindet sich ein Fest­lager, oben ein Los­lager: β = 1. Das ist der in Praxis am häufigsten vor­kom­mende Fall.
  • Fall 3: Am Boden wird der Stab fest ein­ge­spannt, während oben ein Los­lager ver­wendet wird. Hier gilt: β = 0.699.
  • Fall 4: Auch hier befindet sich unten eine feste Ein­spannung. Das obere Ende wird hin­gegen in einem Längs­schlitz ge­führt: β = 0.5.

Die Knick­länge lk wird durch Multi­plikation von Faktor β und Stab­länge l berechnet. Es gilt also der folgende Zusammen­hang:

Formel zur Berechnung der Knicklänge
Knicklänge
l Länge des Stabes in mm
β Faktor zur Berechnung von lk

 

Abhängig von den Lagerungs­bedingungen ergeben sich daher unter­schiedliche Knick­längen.

Formel für Schlankheitsgrad λ

Zunächst berechnet man sich den Schlank­heits­grad λ, wobei neben den schon bekannten Größen auch die Fläche und das Flächen­träg­heits­moment des Stabes benötigt werden:

 

Formel zur Berechnung des Schlankheitsgrades
Schlankheitsgrad
A Querschnittsfläche des Stabes in mm2;
Imin Kleinstes axiales Flächenträgheitsmoment in mm4

 

Der Schlankheits­grad λ ist eine dimensions­lose Größe (korrekt: Größe der Dimension 1) und wird daher nur als Zahlen­wert ohne Ein­heit ange­geben.

Formel für Grenzschlankheit

Die Grenz­schlankheit λg des verwendeten Werk­stoffes kann mit der nächsten Formel bestimmt werden:

 

Formel zur Berechnung der Grenzschlankheit
Grenzschlankheit
E E-Modul in N/mm²
Rp0.2 Elastizitätsgrenze bw. Streck­grenze in N/mm²

 

Durch Einsetzen der werk­stoff­spezifischen Werte in die obige Formel erhält man die in der folgenden Tabelle zu findenden Grenz­schlank­heiten λg für die wichtigsten Werk­stoffe:

 

 Werkstoff  Grenz­schlankheit λg
 S235 (früher St37)  105
 S355 (früher St52)  85
Grauguss (EN-GJL-200)  80*
Fichtenholz  100*

* Werte berechnet durch Gleichsetzen der Knick­spannung nach Euler und Tetmajer

Diagramm und Formeln für Knickspannung & Knickdruckkraft (Knicklast)

Falls der errechnete Schlank­heits­grad λ über der Grenz­schlank­heit λg liegt, wird nach Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich), andern­falls nach Tetmajer (unelastischer Bereich) gerechnet.

 

 

Schlankheitsgrad-Knickspannung-Diagramm

Im folgenden Diagramm ist der Zusammen­hang zwischen dem Schlank­heits­grad λ und der Knick­spannung σK für den Bau­stahl S235 darge­stellt. Für andere Werk­stoffe würde solch ein Dia­gramm recht ähnlich aus­sehen:

Schlankheitsgrad-Knickspannung-Diagramm
Schlankheitsgrad-Knickspannung-Diagramm

 

Die Formeln für die Knick­spannung σK und für die Knick­druck­kraft FK (= Knicklast) lauten:

 

Streckgrenze

Konstante

 

0 < λ < λp

 

Die Knick­spannung liegt über der Streck­grenze bzw. Elasti­zitäts­grenze, somit liegt kein Stabili­täts­problem vor!

 

σK > σmax = Rp0.2

 

Fmax = σmax * A

Tetmajer (unelastischer Bereich)

Tetmajer-Gerade

 

λp < λ < λg

 

 

Formel zur Berechnung der Knickspannung nach Tetmajer (unelastischer Bereich)
Knickspannung
Formel zur Berechnung der Knickdruckkraft nach Tetmajer (unelastischer Bereich)
Knickdruckkraft

Euler (elastischer Bereich)

Euler-Hyperbel

 

λg < λ < λmax = 250

 

Formel zur Berechnung der Knickspannung nach Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich)
Knickspannung
Formel zur Berechnung der Knickdruckkraft nach Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich)
Knickdruckkraft

σK Druckspannung, bei der der Stab seitlich ausknickt; in N/mm²
FK Kraft, bei der der Stab seitlich ausknickt; in kN
Rp0.2 Elastizitätsgrenze bzw. Streck­grenze in N/mm²
σmax Üblicherweise maximal zulässige Spannung
E E-Modul in N/mm²; passende Werte findet man z. B. in Wikipedia
λ Schlankheitsgrad
lk = β · l Knicklänge
β Faktor aufgrund der Lagerung des Stabes
l Länge des Stabes in mm
Imin Kleinstes axiales Flächenträgheitsmoment in cm4
A Querschnittsfläche des Stabes in mm²
a, b, c Koeffizienten für die Tetmajer-Gleichung

 

 

Werte für die Koeffizienten der Tetmajer­gleichung:

(negative Vorzeichen bei b beachten!)

 

 Werkstoff Koeffizient a Koeffizient b Koeffizient c
S235 (früher St37) 310 -1.14 0
S355 (früher St52) 335 -0.62 0
Grauguss 776 -12.0 0.053
Fichtenholz 29.3 -0.194 0

Quelle: Wikipedia

 

 

Achtung:

Im Euler-Bereich knicken bei identer Lagerung und Querschnitts­form alle Stähle unter dergleichen Last, da sie denselben E-Modul besitzen!

Sicherheit gegen Knicken

Zuletzt wird die Knicksicherheit S berechnet:

 

Formel zur Berechnung der Knicksicherheit
Knicksicherheit
FK Kraft, bei der der Stab seitlich ausknickt; in kN
F gegebene Kraft in kN

 

Es sind immer relativ große Sicher­heiten einzuplanen, da die Berechnungen eigentlich nur für einen idealen Stab gelten:

  • Der Stab muss homogen sein.
  • Die Kraft hat genau in der Stab­achse anzugreifen und das im rechten Winkel zum Quer­schnitt.
  • Es dürfen keine anderen Kräfte oder Momente vorhanden sein (zum Beispiel Wind­lasten).

 

 

In welchem Bereich die Sicherheit gegen Knicken liegen sollte, kann man der folgenden Tabelle entnehmen:

 

  Sicherheit
Maschinenbau Stahlbau
Euler 5 - 10 3
Tetmajer 3 - 7.5 1.5

Seite erstellt am 10.06.2019. Zuletzt geändert am 31.05.2020.