Lineare Funktionen: Wachs­tum & Abnahme

Mit diesem Online-Rechner kannst du lineare Pro­zesse (Wachs­tum und Ab­nahme) berechnen und auch die zu­grunde liegende Funktions­gleichung aus­geben lassen. Der Graph einer line­aren Funktion wird Gerade ge­nannt und wird von diesem Rechner auch darge­stellt. Nach dem Rechner findest du Hinter­grund­informationen, die vom Rechner ver­wendeten Formeln und ein An­wendungs­bei­spiel, bei dem die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte mit diesem Rechner er­mittelt wird.

 

Es ist mög­lich, ent­weder

  • die Stei­gung k, die Kons­tante d, die x-Koor­dinate des Punktes 1 und die y-Koor­dinate des Punktes 2
  • die Steigung k und die zwei Koor­dinaten des Punkts 1
  • die Konstante d und die beiden Koor­dinaten des Punkts 1
  • oder die beiden Koor­dinaten der Punkte 1 und 2 einzu­geben.

 

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Rechner für lineare Funktionen & Funktionsgraph

Mit der Vorein­stellung wird die Funk­tions­gleichung er­mittelt, wenn die x-Koor­dinate und die y-Koor­dinate von zwei Punkten einer Geraden be­kannt sind. Es werden also k und d und die Funk­tions­gleichung be­rechnet.

 

Auswahl treffen:  


Punkt 1
x1
f(x1) = y1
Punkt 2
x2
f(x2) = y2
Parameter k & d
Steigung k
Konstante d

Die Funktionsgleichung lautet:

  


xmin
     
xmax
 

Mit xmin und xmax wird der minimale bzw. der maxi­male Wert auf der x-Achse bestimmt, also der darzu­stellende Bereich des Funk­tions­graphen. Natür­lich sind auch nega­tive Ein­gaben zulässig!

 

Hinweis:

Bei Auswahl von "Steigung k & Konstante d" können bei Bedarf die x-Koor­dinate und die y-Koor­dinate von Punkt 1 bzw. von Punkt 2 einge­geben werden. Die jeweiligen anderen Koor­dinaten werden be­rechnet.

Erklärung der Abkürzungen

k Steigung der Geraden; ist bei Zunahme positiv, bei Abnahme negativ
d Konstante; entspricht dem Funktionswert bei x = 0: d = f(0)

Hintergrundwissen & Formeln für lineare Funktionen

Lineare Vorgänge sind recht häufig anzu­treffen. Zudem ver­laufen oft viele Pro­zesse zumin­dest in Teilen linear bzw. können ganz gut linearisiert werden. In der folgenden Auf­zählung sind ein paar Bei­spiele angeführt:

  • Ein Kind bekommt monatlich 50 € Taschen­geld: Das gesamte Gut­haben nach einer beliebigen An­zahl von Monaten kann durch eine lineare Funk­tion darge­stellt werden, falls keine Aus­gaben getätigt werden. Die Steigung k be­trägt in diesem Fall 50 und die Konstante d wäre 0, wenn das Kind zu Be­ginn kein Geld besitzt.
  • In ein quader­förmiges Becken fließt pro Sekunde 1 Liter Wasser. Beim Wasser­stand han­delt es sich um einen lineare Zu­nahme.

 

Man unter­scheidet zwei Arten von linearen Funk­tionen: homogene und inhomo­gene line­are Funk­tionen. Die homo­gene lineare Funk­tion ist eine Spezial­form der inho­mo­genen linearen Funk­tion, bei der die Kons­tante d null ist. Sie ist auch als direkte Pro­portio­nalität bekannt.

Formel für inhomogene Funktion

$$f(x)=k⋅x+d$$

 

Formel für homogene Funktion

$$f(x)=k⋅x$$

 


Steigung k

Die Steigung k kann sowohl nega­tiv als auch positiv sein. Ist die Stei­gung negativ, handelt es sich um eine lineare Ab­nahme. Ist k positiv, spricht man von einer linearen Zu­nahme. Beträgt die Stei­gung null, ver­läuft die Gerade parallel zur x-Achse im Abstand der Konstanten d. Die Stei­gung k wird mit dem Differenzen­quotienten berechnet:

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Es werden zur Berech­nung von k also die x- und die y-Koor­dinaten von zwei ver­schiedenen Punkten be­nötigt, die auf der Geraden liegen.

Konstante d

Die Konstante d ent­spricht dem y-Wert bei x = 0, folg­lich gilt: d = f(0). Die Gerade schneidet die y-Achse daher im Punkt (0/d). Die Konstante d kann auch null sein. In diesem Fall ver­läuft die Gerade durch den Ur­sprung, also durch den Punkt (0/0). Es handelt sich dann um eine homo­gene lineare Funk­tion.

Beispiel: Berechnung der Gleichung einer Geraden

Gerade durch zwei Punkte

Eine Gerade soll durch die beiden Punkte A (2/5) und B (8/-1) verlaufen. Wie lautet die Funktionsgleichung?

 

Lösung

Man wählt beim Rechner als Erstes "Koor­dinaten von 2 Punkten" aus. Dabei handelt es sich um die Vor­ein­stellung. Dann trägt man unter Punkt 1 und Punkt 2 die jeweiligen Koor­dinaten ein. Den richtig aus­ge­füllten Rechner zeigt der folgende Screen­shot:

Screenshot des ausgefüllten Rechners - es sind zwei Punkte der Geraden gegeben
Screenshot des ausgefüllten Rechners - es sind zwei Punkte der Geraden gegeben

Seite erstellt am 26.05.2021. Zuletzt geändert am 19.06.2021.