Satz von Castigliano & Menabrea

Auf dieser Seite finden Sie Theorie, Formeln und ein umfang­reiches Beispiel zum Satz von Castigliano und Menabrea. Es werden die Auflager­reaktionen eines 3-fach statisch unbe­stimmten Systems und die maximale Durch­biegung berechnet.

 

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Satz von Castigliano

Mit dem Satz von Castigliano werden die Verschiebungen (Durch­biegung) bzw. Ver­drehungen (Neigungs­winkel) berechnet. Wenn an der unter­suchten Stelle keine Kraft bzw. kein Moment wirkt, setzt man dort eine Hilfs­kraft bzw. ein Hilfs­moment an.

 

Satz von Castigliano (Verschiebung)
Gleichung 1: Verschiebung
Satz von Castigliano (Verdrehung)
Gleichung 2: Verdrehung

 

Dabei  bedeuten:

ui bzw. u0 Verschiebung
αi bzw. α0 Verdrehung, in Radiant (rad)
U# Formänderungsenergie
Fi äußere Kraft
Mi äußeres Moment
F# Hilfskraft
M# Hilfsmoment

Formänderungsenergie

Die Formänderungsenergie U# bekommt man mit folgender Gleichung (ohne Anteile von Temperatur und Federn):

 

Gleichung für die Formänderungsenergie
Gleichung 4

 

Dabei  bedeuten:

U# Formänderungsenergie
0 bis l Länge des Abschnitts, für den My und N gelten
My Biegemoment
N Normalkraft
E E-Modul
J Flächenträgheitsmoment
A Querschnittsfläche

Der Satz von Menabrea

Der Satz von Menabrea kann zur Berechnung der Auf­lager­reaktionen von statisch unbe­stimmten Systemen angewandt werden. Er ist ein Spezial­fall des Satzes von Castigliano, da in einem Fest­lager die Ver­schiebungen bzw. bei einer festen Ein­spannung auch die Ver­drehungen null sein müssen:

 

Satz von Menabrea
Gl. 3

 

Dabei bedeuten:

U#     Formänderungsenergie

Xi      statisch unbestimmte Größen

 

 

Die Formänderungsenergie erhält man mit der­selben Formel wie beim Satz von Castigliano:

 

Gleichung füe die Formänderungsenergie
Gleichung 4

Sonderfall: Normalkraft N = 0

Ist die Normal­kraft N gleich null bzw. wird sie ver­nach­lässigt, können die Gleichungen 1, 2 und 3 verein­facht ange­schrieben werden, was am Beispiel von Gleichung 1 gezeigt wird:

Gleichung  für die Verschiebung ohne Normalkraft
Gleichung 5: Verschiebung ohne Normalkraft N

Beispiel: Beidseitig eingespannter Träger mit Gleichlast

In dieser Aufgabe soll für den folgenden, 3-fach statisch unbe­stimmten Träger berechnet werden:

  • die Auflager­reaktionen in A
  • maximales Biegemoment
  • die Auflager­reaktionen in B
  • die maximale Durchbiegung

 

Feste Einspannung in beiden Lagern, Gleichlast; mehrfach statisch unbestimmte Aufgabenstellung
Feste Einspannung in beiden Lagern, Gleichlast; mehrfach statisch unbestimmte Aufgabenstellung

Berechnung des Biegemoments - allgemein

Als Erstes macht man das Lager A frei und durch­trennt den Balken, damit die gesuchten Schnitt­größen sicht­bar und somit berechnet werden können:

 

Auflagerkräfte und Einspannmoment in A und Schnittgrößen
Auflagerkräfte & Einspannmoment in A, Schnittgrößen

 

Nun kann das Biegemoment My bestimmt werden, wobei die Größen MA und A vorerst unbekannt sind:

durch Umformen erhält man:

Gleichung 6
Gleichung 6

Einspannmoment M.A - 1. Anwendung des Satzes von Menabrea

Die benötigte Gleichung 4 vereinfacht sich in diesem Fall etwas, da die Normalkraft N gleich 0 ist:

 

Anschließend wird der Satz von Menabrea (Gleichung 3) angewandt, wobei zunächst nach MA abzuleiten ist. Anwendung der Kettenregel und Vereinfachen ergibt (vgl. auch Gleichung 5):

 

Mit der partiellen Ableitung des Biege­moments nach MA

 

ergibt sich nach Einsetzen des zuvor berechneten Biegemoments und anschließendem Vereinfachen:

 

Diese Gleichung wird nun nach x integriert (die Konstanten vor dem Integral kann man gleich weglassen), dann werden die beiden Integrationsgrenzen eingesetzt:

 

Nach dem Umformen bekommt man für das Moment MA

Gleichung 7
Gleichung 7

 

Das Problem ist, dass man die Auflager­kraft A noch nicht kennt. Auf­grund der Symmetrie kann man die Kraft in A jedoch sofort anschreiben, sie beträgt q*l/2 und ist natürlich genauso groß wie im Lager B.

Auflagerkraft A - 2. Anwendung des Satzes von Menabrea

Falls man das nicht erkennen sollte, kann die Kraft A wieder mit dem Satz von Menabrea berechnet werden, wobei diesmal nach A abge­leitet wird. Man erhält:

 

Mit 

 

erhält man unter Anwendung der Ketten­regel und mit anschließendem Verein­fachen:

 

Diese Gleichung wird wieder nach x integriert, danach werden die beiden Integrations­grenzen eingesetzt: 

Berechnung der Auflagerreaktionen in A

Nun wird in die obige Gleichung das zuvor berechnete MA (Gleichung 7) eingesetzt: 

Man erhält durch Umformen für die Auflagerkraft A:

Gl. 8
Gl. 8

 

Durch Einsetzen von A (Gleichung 8) in Gleichung 7 kann auch das Moment MA bestimmt werden:

Berechnung des maximalen Biegemoments

Zuletzt wird das Biegemoment My(x) berechnet, indem man alle bekannten Größen in Gleichung 6 einsetzt: 

Gleichung 8
Gleichung 8

 

Die Stelle des maximalen Biegemoments bekommt man durch einmaliges Ableiten des Biegemoments nach x und Nullsetzen. Es tritt natürlich in der Mitte des Balkens auf:

 

Das maximale Biegemoment in Balkenmitte erhält man, indem man l/2 für x einsetzt:

Berechnung der Auflagerreaktionen in B

Um die Auflagerreaktionen in B zu bekommen, muss man zunächst den Balken freimachen:

 

Freigemachter Balken
Freigemachter Balken

 

 

Anschließend werden das Kräfte­gleich­gewicht in z-Richtung und das Momenten­gleich­gewicht um den Punkt B aufgestellt:

 

Durch Einsetzen für A bzw. B bekommt man die gesuchten Auflager­reaktionen in B:


 

Aufgrund der Symmetrie gilt also: MA = MB und A = B.

Maximale Durchbiegung - Anwendung des Satzes von Castigliano

Die maximale Durch­biegung tritt an der Stelle x = l/2, also in der Mitte des Balkens, auf. Zur Berechnung benötigt man den Satz von Castigliano (Gleichung 1), die Hilfs­kraft F# zeichnet man an der Stelle mit der maximalen Durch­biegung ein:

 

Balken mit Hilfskraft F# in Balkenmitte bei l/2
Balken mit Hilfskraft F# in Balkenmitte bei l/2

 

Zunächst müssen die Biege­momente berechnet werden, wobei zwei Bereiche zu untersuchen sind. In diese Gleichungen sind die zuvor berechneten Größen einzusetzen:

 

Abschnitt 1: 0 ≤ x ≤ l/2

 

Abschnitt 1: Auflagerkräfte und Einspannmoment in A und Schnittgrößen
Auflagerkräfte & Einspannmoment in A, Schnittgrößen

Abschnitt 2: l/2 ≤ x ≤ l

 

Abschnitt 2: Auflagerkräfte und Einspannmoment in A und Schnittgrößen
Auflagerkräfte & Einspannmoment in A, Schnittgrößen

Die zuvor berechneten Biegemomente setzt man nun in die Gleichung der Formänderungsenergie ein. Anschließend wird der Satz von Castigliano (Gleichung 1) angewandt, wobei nach der Hilfskraft F# abzuleiten ist. Man erhält: 

 

Mit den beiden partiellen Ableitungen der Biege­momente nach F#

 

ergibt sich unter Anwendung der Ketten­regel und mit anschließendem Verein­fachen, weil die partielle Ableitung für den 1. Abschnitt 0 ist und damit der gesamte 1. Term wegfällt:

 

Durch Vorziehen des Minus und Weglassen des Terms mit F#, da F# eigentlich 0 ist, kann obiger Ausdruck etwas vereinfacht werden:

 

Zum Lösen dieses Integrals multipliziert man zunächst die beiden inneren Klammern aus:

 

Diese Gleichung wird nun nach x integriert:

 

Anschließend werden die beiden Integrations­grenzen eingesetzt:

 

Vereinfachen ergibt:

 

Durch weiteres Vereinfachen bekommt man die Verschiebung, also die gesuchte Durchbiegung in Balkenmitte:

Seite erstellt wahrscheinlich im März 2018. Zuletzt geändert am 16.09.2020.