Satz von Castigliano & Menabrea

Auf dieser Seite finden Sie Theorie, Formeln und drei recht umfang­reiche Bei­spiele zum Satz von Castigliano und Mena­brea: Es werden die Durch­biegung bzw. der Neigungs­winkel eines ein­seitig einge­spannten Balkens mit Gleich­last, die Auf­lager­reaktionen eines 3-fach statisch unbe­stimmten Systems und eine Auf­lager­kraft eines 1-fach statisch unbe­stimmt ge­lagerten Balkens be­rechnet.

 

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Satz von Castigliano

Mit dem Satz von Castigliano werden die Verschiebungen (Durch­biegung) bzw. Ver­drehungen (Neigungs­winkel) berechnet. Wenn an der unter­suchten Stelle keine Kraft bzw. kein Moment wirkt, setzt man dort eine Hilfs­kraft bzw. ein Hilfs­moment an.

 

Satz von Castigliano (Verschiebung)
Gleichung 1: Verschiebung
Satz von Castigliano (Verdrehung)
Gleichung 2: Verdrehung

 

Dabei  bedeuten:

ui bzw. u0 Verschiebung
αi bzw. α0 Verdrehung, in Radiant (rad)
U# Formänderungsenergie
Fi äußere Kraft
Mi äußeres Moment
F# Hilfskraft
M# Hilfsmoment

Formänderungsenergie

Die Formänderungsenergie U# bekommt man mit folgender Gleichung (ohne Anteile von Temperatur und Federn):

 

Gleichung für die Formänderungsenergie
Gleichung 4

 

Dabei  bedeuten:

U# Formänderungsenergie
0 bis l Länge des Abschnitts, für den My und N gelten
My Biegemoment
N Normalkraft
E E-Modul
J Flächenträgheitsmoment
A Querschnittsfläche

Der Satz von Menabrea

Der Satz von Menabrea kann zur Berechnung der Auf­lager­reaktionen von statisch unbe­stimmten Systemen angewandt werden. Er ist ein Spezial­fall des Satzes von Castigliano, da in einem Fest­lager die Ver­schiebungen bzw. bei einer festen Ein­spannung auch die Ver­drehungen null sein müssen:

 

Satz von Menabrea
Gl. 3

 

Dabei bedeuten:

U#     Formänderungsenergie

Xi      statisch unbestimmte Größen

 

 

Die Formänderungsenergie erhält man mit der­selben Formel wie beim Satz von Castigliano:

 

Gleichung füe die Formänderungsenergie
Gleichung 4

Sonderfall: Normalkraft N = 0

Ist die Normal­kraft N gleich null bzw. wird sie ver­nach­lässigt, können die obigen Gleichungen verein­facht ange­schrieben werden, was am Beispiel von Gleichung 1 gezeigt wird:

Gleichung I für die Verschiebung ohne Normalkraft
Gleichung 5a
Gleichung II für die Verschiebung ohne Normalkraft
Gleichung 5b

Beispiel 1: Einseitig eingespannter Träger mit Gleichlast

In dieser Aufgabe ist für einen statisch be­stimmten Balken Folgendes zu berechnen:

  • die maximale Durchbiegung
  • der Neigungswinkel in B
Feste Einspannung im linken Lager, Gleichlast; statisch bestimmte Aufgabenstellung
Feste Einspannung im linken Lager, Gleichlast; statisch bestimmte Aufgabenstellung

Maximale Durchbiegung - 1. Anwendung des Satzes von Castigliano

Als Erstes durch­trennt man den Balken, damit das zur Berech­nung der maximalen Durch­biegung benötigte Biege­moment sicht­bar wird. Die maximale Durch­biegung tritt am Ende des Balkens, also in B auf. Weil dort keine Kraft wirkt, setzt man an dieser Stelle eine Hilfs­kraft F# an:

 

Hilfskraft F und Schnittgrößen
Hilfskraft F und Schnittgrößen

 

Nun bildet man die Summe der Momente an der Stelle des Schnittes. Durch Umformen erhält man das gesuchte Biege­moment, wobei die Resultierende R der Gleich­last durch q*x ersetzt werden kann:

 

Die benötigte Gleichung 4 ver­ein­facht sich in diesem Fall etwas, da die Normal­kraft N gleich 0 ist:

 

Anschließend wird der Satz von Castigliano (Gleichung 1) ange­wandt, wobei nach F# abzu­leiten ist. An­wendung der Ketten­regel und Ver­ein­fachen ergibt Gleichung 5a:

 

Mit der partiellen Ab­leitung des Biege­moments nach F#

 

erhält man nach Ein­setzen des zuvor aufge­stellten Biege­moments und an­schließendem Ver­ein­fachen:

 

F# kann man nun 0 setzen. Dann wird diese Gleichung nach x inte­griert und an­schließend setzt man die beiden Inte­grations­grenzen ein:

Neigungswinkel in B - 2. Anwendung des Satzes von Castigliano

Bei der Berechnung des Neigungs­winkels in B geht man ähnlich wie bei der Ermittlung der maximalen Durch­biegung vor. Aller­dings wird statt der Hilfs­kraft F# ein Hilfs­moment M# benötigt:

 

Hilfsmoment M und Schnittgrößen
Hilfsmoment M und Schnittgrößen

 

Das Biegemoment bekommt man wie schon zuvor mithilfe der Summe der Momente:

 

Die partielle Ableitung des Biege­moments nach M# lautet:

 

Anwenden des Satz von Castigliano ergibt:

 

M# setzt man nun 0. Anschließend wird diese Gleichung nach x inte­griert und dann setzt man die beiden Inte­grations­grenzen ein. Man bekommt den Winkel in Radiant:

Beispiel 2: Beidseitig eingespannter Träger mit Gleichlast

In dieser Aufgabe soll für den folgenden, 3-fach statisch unbe­stimmten Träger berechnet werden:

  • die Auflager­reaktionen in A
  • maximales Biegemoment
  • die Auflager­reaktionen in B

 

Feste Einspannung in beiden Lagern, Gleichlast; mehrfach statisch unbestimmte Aufgabenstellung
Feste Einspannung in beiden Lagern, Gleichlast; mehrfach statisch unbestimmte Aufgabenstellung

Berechnung des Biegemoments - allgemein

Als Erstes macht man das Lager A frei und durch­trennt den Balken, damit die gesuchten Schnitt­größen sicht­bar und somit berechnet werden können:

 

Auflagerkräfte und Einspannmoment in A und Schnittgrößen
Auflagerkräfte & Einspannmoment in A, Schnittgrößen

 

Nun kann das Biegemoment My bestimmt werden, wobei die Größen MA und A vorerst unbekannt sind:

durch Umformen erhält man:

Gleichung 6
Gleichung 6

Einspannmoment M.A - 1. Anwendung des Satzes von Menabrea

Gleichung 4 vereinfacht sich wie schon bei der vorigen Aufgabe, da die Normalkraft N gleich 0 ist:

 

Anschließend wird der Satz von Menabrea (Gleichung 3) angewandt, wobei zunächst nach MA abzuleiten ist. Anwendung der Kettenregel und Vereinfachen ergibt (vgl. auch Gleichung 5b):

 

Mit der partiellen Ableitung des Biege­moments nach MA

 

ergibt sich nach Einsetzen des zuvor berechneten Biegemoments und anschließendem Vereinfachen:

 

Diese Gleichung wird nun nach x integriert (die Konstanten vor dem Integral kann man gleich weglassen), dann werden die beiden Integrationsgrenzen eingesetzt:

 

Nach dem Umformen bekommt man für das Moment MA

Gleichung 7
Gleichung 7

 

Das Problem ist, dass man die Auflager­kraft A noch nicht kennt. Auf­grund der Symmetrie kann man die Kraft in A jedoch sofort anschreiben, sie beträgt q*l/2 und ist natürlich genauso groß wie im Lager B.

Auflagerkraft A - 2. Anwendung des Satzes von Menabrea

Falls man das nicht erkennen sollte, kann die Kraft A wieder mit dem Satz von Menabrea berechnet werden, wobei diesmal nach A abge­leitet wird. Man erhält:

 

Mit 

 

erhält man unter Anwendung der Ketten­regel und mit anschließendem Verein­fachen:

 

Diese Gleichung wird wieder nach x integriert, danach werden die beiden Integrations­grenzen eingesetzt: 

Berechnung der Auflagerreaktionen in A

Nun wird in die obige Gleichung das zuvor berechnete MA (Gleichung 7) eingesetzt: 

Man erhält durch Umformen für die Auflagerkraft A:

Gl. 8
Gl. 8

 

Durch Einsetzen von A (Gleichung 8) in Gleichung 7 kann auch das Moment MA bestimmt werden:

Berechnung des maximalen Biegemoments

Zuletzt wird das Biegemoment My(x) berechnet, indem man alle bekannten Größen in Gleichung 6 einsetzt: 

Gleichung 8
Gleichung 8

 

Die Stelle des maximalen Biegemoments bekommt man durch einmaliges Ableiten des Biegemoments nach x und Nullsetzen. Es tritt natürlich in der Mitte des Balkens auf:

 

Das maximale Biegemoment in Balkenmitte erhält man, indem man l/2 für x einsetzt:

Berechnung der Auflagerreaktionen in B

Um die Auflagerreaktionen in B zu bekommen, muss man zunächst den Balken freimachen:

 

Freigemachter Balken
Freigemachter Balken

 

 

Anschließend werden das Kräfte­gleich­gewicht in z-Richtung und das Momenten­gleich­gewicht um den Punkt B aufgestellt:

 

Durch Einsetzen für A bzw. B bekommt man die gesuchten Auflager­reaktionen in B:


 

Aufgrund der Symmetrie gilt also: MA = MB und A = B.

Beispiel 3: Einseitig eingespannter Träger mit Loslager

Es ist die Auflagerkraft im Los­lager B des 1-fach statisch unbe­stimmten Balkens mit Gleich­last zu berechnen.

 

Hinweis:

Dieses Beispiel wird auch mittels Superpositions­prinzip gelöst!

 

Feste Einspannung und Loslager, Gleichlast; 1-fach statisch unbestimmte Aufgabenstellung
Feste Einspannung und Loslager, Gleichlast; 1-fach statisch unbestimmte Aufgabenstellung

Berechnung des Biegemoments

Man betrachtet nur den rechten Teil des Balkens:

1-fach statisch bestimmtes System freigemacht

 

Das Biegemoment lautet:

$$M_y=B⋅x-\frac{q⋅x^2}{2}$$

Auflagerkraft B - Anwendung des Satzes von Menabrea

Wie schon zuvor verwendet man die vereinfachte Gleichung 5b. Die Verschiebung muss in diesem Fall 0 sein, da in vertikaler Richtung keine Verschiebung auftreten kann:

$$u_i=\frac{\partial U ^{\#}}{\partial B}=\frac{1}{E⋅J} \int_0^l \left (M_y⋅\frac{\partial M_y}{\partial B} \right )dx=0$$

Mit der partiellen Ableitung

$$\frac{∂M_y}{∂B}=x$$

und einsetzen erhält man:

$$\frac{1}{E⋅J}\int_0^l\left [\left( B⋅x−\frac {q⋅x^2}{2}\right )⋅x \right]dx=0$$

Da die Verschiebung 0 ist, kann man die Konstanten vor dem Integral weg­lassen. Aus­multi­plizieren ergibt:

$$\int_0^l \left( B⋅x^2−\frac {q⋅x^3}{2}\right )dx=0$$

Durch Integrieren und Einsetzen der Grenzen bekommt man:

$$\left[\frac {B⋅x^3}{3}−\frac{q⋅x^4}{8}\right]_0^l=0⇒\frac{B⋅l^3}{3}−\frac{q⋅l^4}{8}=0$$

Kürzen und umformen ergibt die gesuchte Auflagerkraft B:

$$B=\frac{3⋅q⋅l}{8}$$

Seite erstellt wahrscheinlich im November 2017. Zuletzt geändert am 20.07.2021.