Satz von Castigliano & Menabrea

Auf dieser Seite findet man Theorie, Formeln und ein umfang­reiches Beispiel zum Satz von Castigliano und Menabrea. Es werden die Auflager­reaktionen eines 3-fach statisch unbestimmten Systems und die maximale Durch­biegung berechnet. 

 

Zu diesem Thema passend sei auf den Rechner zur

Bestimmung der Auflagerreaktionen eines Trägers hingewiesen.

Satz von Castigliano

Mit dem Satz von Castigliano werden die Verschiebungen (Durchbiegung) bzw. Ver­drehungen (Neigungswinkel) berechnet. Wenn an der unter­suchten Stelle keine Kraft bzw. kein Moment wirkt, setzt man an dort eine Hilfs­kraft bzw. ein Hilfs­moment an.

 

Satz von Castigliano (Verschiebung)
Gleichung 1: Verschiebung
Satz von Castigliano (Verdrehung)
Gleichung 2: Verdrehung

 

Dabei  bedeuten:

ui bzw. u0 Verschiebung
αi bzw. α0 Verdrehung, in Radiant (rad)
U# Formänderungsenergie
Fi äußere Kraft
Mi äußeres Moment
F# Hilfskraft
M# Hilfsmoment

Formänderungsenergie

Die Formänderungsenergie bekommt man mit Gleichung 4 (ohne Anteile der Temperatur und Federn):

 

Formänderungsenergie
Gleichung 4

Der Satz von Menabrea

Der Satz von Menabrea kann zur Berechnung der Auflagerreaktionen von statisch unbestimmten Systemen angewandt werden. Er ist ein Spezialfall des Satzes von Castigliano, da in den festen Auflagern die Verschiebungen und Verdrehungen null sein müssen:

 

Satz von Menabrea
Gl. 3

 

Dabei bedeuten:

U#   Formänderungsenergie

Xi    statisch unbestimmte Größen

 

 

Die Formänderungsenergie erhält man mit derselben Formel wie beim Satz von Castigliano:

 

Formänderungsenergie
Gleichung 4

Beispiel: Beidseitig eingespannter Träger mit Gleichlast

In dieser Aufgabe soll für den folgenden, 3-fach statisch unbe­stimmten Träger berechnet werden:

  • die Auflager­reaktionen in A
  • maximales Biegemoment
  • die Auflager­reaktionen in B
  • die maximale Durchbiegung

 

Feste Einspannung in beiden Lagern, Gleichlast; mehrfach statisch unbestimmte Aufgabenstellung
Feste Einspannung in beiden Lagern, Gleichlast; mehrfach statisch unbestimmte Aufgabenstellung

Berechnung des Biegemoments - allgemein

Als Erstes macht man das Lager A frei und durchtrennt den Balken, damit die gesuchten Schnittgrößen sichtbar und somit berechnet werden können:

 

Auflagerkräfte und Einspannmoment in A und Schnittgrößen
Auflagerkräfte & Einspannmoment in A, Schnittgrößen

 

Nun kann das Biegemoment My bestimmt werden, wobei die Größen MA und A vorerst unbekannt sind:

durch Umformen erhält man:

Gleichung 5
Gleichung 5

Einspannmoment M.A - 1. Anwendung des Satzes von Menabrea

Die benötigte Gleichung 4 vereinfacht sich in diesem Fall etwas, da die Normalkraft N gleich 0 ist:

 

Das zuvor berechnete Biegemoment setzt man nun in die obige Gleichung der Formänderungsenergie ein. Anschließend wird der Satz von Menabrea (Gleichung 3) angewandt, wobei zunächst nach MA abzuleiten ist. Man erhält:

 

Mit der partiellen Ableitung des Biege­moments nach MA

 

ergibt sich unter Anwendung der Kettenregel und mit anschließendem Vereinfachen: 

 

Diese Gleichung wird nun nach x integriert (die Konstanten vor dem Integral kann man gleich weglassen), dann werden die beiden Integrationsgrenzen eingesetzt:

 

Nach dem Umformen bekommt man für das Moment MA

Gleichung 6
Gleichung 6

 

Das Problem ist, dass man die Auflager­kraft A noch nicht kennt. Aufgrund der Symmetrie kann man die Kraft in A jedoch sofort anschreiben, sie beträgt q*l/2 und ist natürlich genauso groß wie im Lager B.

Auflagerkraft A - 2. Anwendung des Satzes von Menabrea

Falls man das nicht erkennen sollte, kann die Kraft A wieder mit dem Satz von Menabrea berechnet werden, wobei diesmal nach A abgeleitet wird. Man erhält:

 

Mit 

 

erhält man unter Anwendung der Kettenregel und mit anschließendem Vereinfachen:

 

Diese Gleichung wird wieder nach x integriert, danach werden die beiden Integrationsgrenzen eingesetzt: 

Berechnung der Auflagerreaktionen in A

Nun wird in die obige Gleichung das zuvor berechnete MA (Gleichung 6) eingesetzt: 

Man erhält durch Umformen für die Auflagerkraft A:

Gl. 7
Gl. 7

 

Durch Einsetzen von A (Gleichung 7) in Gleichung 6 kann auch das Moment MA bestimmt werden:

Berechnung des maximalen Biegemoments

Zuletzt wird das Biegemoment My(x) berechnet, indem man alle bekannten Größen in Gleichung 5 einsetzt: 

Gleichung 8
Gleichung 8

 

Die Stelle des maximalen Biegemoments bekommt man durch einmaliges Ableiten des Biegemoments nach x und Nullsetzen. Es tritt natürlich in der Mitte des Balkens auf:

 

Das maximale Biegemoment in Balkenmitte erhält man, indem man l/2 für x einsetzt:

Berechnung der Auflagerreaktionen in B

Um die Auflagerreaktionen in B zu bekommen, muss man zunächst den Balken freimachen:

 

Freigemachter Balken
Freigemachter Balken

 

 

Anschließend werden das Kräfte­gleich­gewicht in z-Richtung und das Momenten­gleich­gewicht um den Punkt B aufgestellt:

 

Durch Einsetzen für A bzw. B bekommt man die gesuchten Auflager­reaktionen in B:


 

Aufgrund der Symmetrie gilt also: MA = MB und A = B.

Maximale Durchbiegung - Anwendung des Satzes von Castigliano

Die maximale Durch­biegung tritt an der Stelle x = l/2, also in der Mitte des Balkens, auf. Zur Berechnung benötigt man den Satz von Castigliano (Gleichung 1), die Hilfs­kraft F# zeichnet man an der Stelle mit der maximalen Durch­biegung ein:

 

Balken mit Hilfskraft F# in Balkenmitte bei l/2
Balken mit Hilfskraft F# in Balkenmitte bei l/2

 

Zunächst müssen die Biege­momente berechnet werden, wobei zwei Bereiche zu untersuchen sind. In die gefundenen Gleichungen sind die zuvor berechneten Größen einzusetzen - das Biege­moment in Abschnitt 1 entspricht Gleichung 8:

 

Abschnitt 1: 0 ≤ x ≤ l/2

 

Abschnitt 1: Auflagerkräfte und Einspannmoment in A und Schnittgrößen
Auflagerkräfte & Einspannmoment in A, Schnittgrößen

Abschnitt 2: l/2 ≤ x ≤ l

 

Abschnitt 2: Auflagerkräfte und Einspannmoment in A und Schnittgrößen
Auflagerkräfte & Einspannmoment in A, Schnittgrößen

Die zuvor berechneten Biegemomente setzt man nun in die Gleichung der Formänderungsenergie ein. Anschließend wird der Satz von Castigliano (Gleichung 1) angewandt, wobei nach der Hilfskraft F# abzuleiten ist. Man erhält: 

 

Mit den beiden partiellen Ableitungen der Biege­momente nach F#

 

ergibt sich unter Anwendung der Ketten­regel und mit anschließendem Verein­fachen, weil die partielle Ableitung für den 1. Abschnitt 0 ist und damit der gesamte 1. Term wegfällt:

 

Durch Vorziehen des Minus in der 2. eckigen Klammer und Weglassen des Terms mit F#, da F# eigentlich 0 ist, kann obiger Ausdruck etwas vereinfacht werden:

 

Zum Lösen dieses Integrals multipliziert man zunächst die beiden inneren Klammern aus:

 

Diese Gleichung wird nun nach x integriert:

 

Anschließend werden die beiden Integrations­grenzen eingesetzt:

 

Vereinfachen ergibt:

 

Durch weiteres Vereinfachen bekommt man die Verschiebung, also die gesuchte Durchbiegung in Balkenmitte:

Seite erstellt wahrscheinlich im März 2018. Zuletzt geändert am 18.07.2019.