Auf dieser Seite erfährst du, wie einfache lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten aussehen und wie man solche Gleichungen theoretisch lösen kann. Es gibt homogene und inhomogene Differentialgleichungen, wobei du hier für jeden Gleichungstyp ein vollständig durchgerechnetes Beispiel findest. Bei homogenen Differentialgleichungen ist die sogenannte Störfunktion r(x) nicht vorhanden bzw. gleich 0.
Homogene lineare Differentialgleichung
Eine homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten muss stets die folgende Form haben:
$$y^{(n)}+a_{n-1}·y^{(n-1)}+…+a_2·y^{“}+a_1·y’+a_0·y=0$$
Der Ausdruck in der 1. hochgestellten Klammer gibt den Grad der Ableitung und zugleich die Ordnung an. Die konstanten Koeffizienten werden mit a0, a1, a2, … , an bezeichnet.
Charakteristische Gleichung
Als Erstes führt man die Differentialgleichung in die sogenannte charakteristische Gleichung über:
$$\lambda^n+a_{n-1}·\lambda^{n-1}+…+a_2·\lambda^{2}+a_1·\lambda+a_0=0$$
Dann bestimmt man die Lösungen λ – also die Nullstellen – dieser charakteristischen Gleichung. Das kann z. B. mit dem Taschenrechner oder dem kostenlos und frei verfügbaren Computerprogramm Geogebra erfolgen. Die Nullstellen der charakteristischen Gleichung von Differentialgleichungen 2. Ordnung können auch mit einer der Lösungsformeln für quadratische Gleichungen gefunden werden.
Lösungen der Differentialgleichung
Mithilfe der folgenden Tabelle bekommt man dann aus den Lösungen λ der charakteristischen Gleichung die gesuchten Lösungen der Differentialgleichung. Tritt eine Lösung bzw. Nullstelle λ mehrfach – also k-fach – auf, spricht man auch von einer sogenannten inneren Resonanz.
| Lösungen der charakterischischen Gleichung (= Nullstellen) |
Lösungen yn der Differentialgleichung |
| λ = a (1-fach reell) |
$$e^{a·x}$$ |
| λ1,2,…,k = a (k-fach reell) |
$$e^{a·x},\ x·e^{a·x},\ x^2·e^{a·x},…,\ x^{k-1}·e^{a·x}$$ |
| λ = a ± b·i (1-fach komplex) |
$$e^{a·x}·cos(b·x),\ e^{a·x}·sin(b·x)$$ |
| λ1,2,…,k = a ± b·i (k-fach komplex) |
$$e^{a·x}·cos(b·x),\ x·e^{a·x}·cos(b·x),…,\ x^{k-1}·e^{a·x}·cos(b·x)$$$$e^{a·x}·sin(b·x),\ x·e^{a·x}·sin(b·x),…,\ x^{k-1}·e^{a·x}·sin(b·x)$$ |
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet:
$$y=c_1·y_1+c_2·y_2+…+c_n·y_n$$
Sind Anfangsbedingungen gegeben, können auch die Parameter c1, c2, … , cn durch Einsetzen bestimmt werden. Je nach Anfangsbedingung kann dazu auch ein (eventuell mehrmaliges) Ableiten von der Lösung y erforderlich sein – es ist also y’, y”, usw. zu bilden.
Beispiel 1: Lösungen für verschiedene Nullstellen
In der nächsten Tabelle sind für willkürlich angenommene Nullstellen der charakteristischen Gleichung die dazugehörenden Lösungen der Differentialgleichung angegeben. Sie wurden anhand der vorigen Tabelle ermittelt:
| Lösungen der charakterischischen Gleichung (=Nullstellen) |
Lösungen der Differentialgleichung |
| $$λ_1 = -1,\ λ_2=2, \ λ_3=5$$ | $$y_1=e^{-x},\ y_2=e^{2·x},\ y_3=e^{5·x}$$$$\Rightarrow y=c_1·y_1+c_2·y_2+c_3·y_3$$$$\Rightarrow y=c_1·e^{-x}+c_2·e^{2·x}+c_3·e^{5·x}$$ |
| $$λ_1 = 0,\ λ_2=2, \ λ_3=2, \ λ_4=2$$ |
$$y_1=e^{0·x}=1,\ y_2=e^{2·x},\ y_3=x·e^{2·x},\ y_4=x^2·e^{2·x}$$ $$\Rightarrow y=c_1·1+c_2·e^{2·x}+c_3·x·e^{2·x}+c_4·x^2·e^{2·x}$$ |
| $$λ_1 = 3+2·i,\ λ_2=3-2·i, \ λ_3=3·i,$$$$λ_4=3·i, \ λ_5=-3·i, \ λ_6=-3·i$$ | $$y_1=e^{3·x}·cos(2·x),\ y_2=e^{3·x}·sin(2·x),\ y_3=cos(3·x),$$$$y_4=x·cos(3·x),\ y_5=sin(3·x),\ y_6=x·sin(3·x)$$$$\Rightarrow y=c_1·y_1+c_2·y_2+c_3·y_3+c_4·y_4+c_5·y_5+c_6·y_6$$ |
Beispiel 2: Einfache homogene lineare Differentialgleichung
Löse die folgende Differentialgleichung zunächst allgemein und dann mit den Anfangsbedingungen y(0)=0 und y'(0)=1:
$$y^{”}-4·y^{‘}+4·y=0$$
Charakteristische Gleichung
Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung, da die höchste Potenz der Gleichung 2 ist. Die charakteristische Gleichung lautet somit:
$$\lambda^2-4·\lambda+4=0$$
Die Lösungen dieser Gleichung kann man z. B. mit der kleinen Lösungsformel bestimmen. Man bekommt die beiden Nullstellen λ1=2 und λ2=2, wobei es sich offensichtlich um eine doppelte Nullstelle handelt. Mithilfe der Tabelle erhält man die allgemeinen Teillösungen dieser Differentialgleichung:
$$y_1=c_1·e^{2·x},\ y_2=c_2·x·e^{2·x}$$
Allgemeine Gesamtlösung der Differentialgleichung
Die allgemeine Gesamtlösung y der Differentialgleichung ist die Summe der Teillösungen, also:
$$y=c_1·e^{2·x}+c_2·x·e^{2·x}$$
Endgültige Gesamtlösung
Um die noch unbekannten Koeffizienten c1 und c2 zu bekommen, muss man die allgemeine Gesamtlösung aufgrund der gegebenen Anfangsbedingungen einmal differenzieren (siehe Ableitungsregeln!). Man erhält:
$$y’=c_1·e^{2·x}·2+c_2·\left[1·e^{2·x}+x·e^{2·x}·2\right]$$
Durch Einsetzen der beiden Anfangsbedingungen erhält man ein lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten:
$$y(0)=0\Rightarrow 0=c_1·e^{2·0}+c_2·0·e^{2·0}\Rightarrow 0=c_1$$
$$y'(0)=1\Rightarrow 1=c_1·e^{2·0}·2+c_2·\left[1·e^{2·0}+0·e^{2·0}·2\right]\Rightarrow 1=2·c_1+c_2$$
Einsetzen von c1=0 in das obige Endergebnis ergibt auch c2:
$$1=2·c_1+c_2 \Rightarrow 1=2·0+c_2\Rightarrow c_2=1$$
Die endgültige Gesamtlösung bekommt man schließlich durch Einsetzen von c1 und c2 in die allgemeine Gesamtlösung:
$$y=x·e^{2·x}$$
Kontrolle der Lösung
Ob die gefundene Lösung tatsächlich eine Lösung der Differentialgleichung ist, kann man mittels Kontrolle durch Einsetzen überprüfen. Dazu benötigt man noch die 1. und die 2. Ableitung der gefundenen Lösung:
$$y’=e^{2·x}+2·x·e^{2·x}$$
$$y^{”}=2·e^{2·x}+2·(e^{2·x}+2·x·e^{2·x})$$
Einsetzen in die Angabe ergibt eine wahre Aussage, also ist die gefundene Lösung tatsächlich eine Lösung der Differentialgleichung:
$$2·e^{2·x}+2·e^{2·x}+4·x·e^{2·x}-4·e^{2·x}-8·x·e^{2·x}+4·x·e^{2·x}=0\Rightarrow 0=0$$
Inhomogene lineare Differentialgleichung
Eine inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat zusätzlich noch eine sogenannte Störfunktion r(x) und muss immer die folgende Form haben:
$$y^{(n)}+a_{n-1}·y^{(n-1)}+…+a_2·y^{”}+a_1·y’+a_0·y=r(x)$$
Man geht zunächst wie beim homogenen Fall vor: Durch Nullsetzen der Störfunktion kann man die charakteristische Gleichung lösen. Man erhält die homogene Lösung yH der Differentialgleichung. Die Gesamtlösung y ist die Summe aus der homogenen Lösung yH und der speziellen Lösung yS der inhomogenen Differentialgleichung:
$$y=y_H+y_S$$
Störfunktionen, Superposition, Resonanz & Ansätze
Um die spezielle Lösung yS berechnen zu können, gibt es für bestimmte Störfunktionen Ansätze. Setzt sich die Störfunktion r(x) aus einer Summe von Funktionen zusammen, ist der Ansatz die Summe der einzelnen Teilansätze (Superposition).
Es muss zunächst stets unterschieden werden, ob eine sogenannte äußere Resonanz auftritt oder nicht. Dazu tut man so, als ob die Störfunktion die Lösungen yn einer Differentialgleichung wären. Mittels der obigen Tabellen kann man dann die Lösungen λr = a + bi der charakteristischen Gleichung der Störfunktion bestimmen (umgekehrte Vorgangsweise wie beim Finden der homogenen Lösung) oder man sucht sich die Lösungen aus der nächsten Tabelle heraus. Zuletzt vergleicht man, ob die Lösungen λr mit den Lösungen λ der ursprünglichen charakteristischen Gleichung übereinstimmen oder nicht und wenn ja, wie viele gleiche, übereinstimmende λ es gibt. Diese Zahl wird mit z bezeichnet.
- Stimmen sie nicht überein – es gilt also λr ≠ λ – gibt es keine äußere Resonanz und z = 0. Das ist der Normalfall, xz = x0 = 1 und es sind daher die Normalansätze aus der folgenden Tabelle zu nehmen.
- Um eine einfache äußere Resonanz handelt es sich, wenn λr = λ gilt. In diesem Fall sind die Normalansätze mit x zu multiplizieren, da xz = x1 = x.
- Gibt es z λ, die mit λr übereinstimmen, sind die Normalansätze mit xz zu multiplizieren.
Normalansätze für Störfunktionen (keine Resonanz)
In dieser Tabelle sind die Normalansätze und die Lösungen λr für die wichtigsten Störfunktionen angeführt, zunächst allgemein und dann ein Beispiel mit Zahlen. P(x) und Q(x) sind Polynomfunktionen, die beide denselben Grad haben müssen: Grad P = Grad Q. Das Polynom Q(x) muss immer alle Glieder besitzen, unabhängig vom Aussehen von P(x). Mit den Großbuchstaben (z. B. A, C, A1, A2) werden Konstanten bezeichnet.
| Störfunktion r(x) | λr | Normalansatz (keine Resonanz!) |
| $$C$$$$5$$ | $$0$$ | $$A$$ |
| $$P(x)$$$$C_m·x^m+…+C_1·x+C_0$$ $$5·x^2-4$$ | $$0$$ | $$Q(x)$$$$A_m·x^m+…+A_1·x+A_0$$ $$A_2·x^2+A_1·x+A_0$$ |
| $$C·e^{n·x}$$ $$P(x)·e^{n·x}$$$$4·x·e^{3·x}$$ | $$n$$ $$n$$$$3$$ | $$A·e^{n·x}$$ $$Q(x)·e^{n·x}$$$$(A_1·x+A_0)·e^{3·x}$$ |
| $$C·sin(m·x), \quad C·cos(m·x),$$ $$C_1·sin(m·x)+C_2·cos(m·x)$$ | $$mi$$ | $$A_1·sin(m·x)+A_2·cos(m·x)$$ |
| $$5·sin(3·x)$$ | $$3i$$ | $$A_1·sin(3·x)+A_2·cos(3·x)$$ |
| $$P(x)·sin(m·x), \quad P(x)·cos(m·x)$$ $$4·x·sin(2·x)$$ | $$mi$$$$2i$$ | $$Q_1(x)·sin(m·x)+Q_2(x)·cos(m·x)$$ $$[A_3·x+A_2]·sin(m·x)+[A_1·x+A_0]·cos(m·x)$$ |
| $$C·e^{n·x}·cos(m·x),$$ $$C·e^{n·x}·sin(m·x),$$ $$e^{n·x}·[C_1·sin(m·x)+C_2·cos(m·x)]$$ | $$n+mi$$ | $$e^{n·x}·[A_1·sin(m·x)+A_2·cos(m·x)]$$ |
| $$6·e^{-1·x}·cos(2·x)$$ | $$-1+2i$$ | $$e^{-1·x}·[A_1·sin(2·x)+A_2·cos(2·x)]$$ |
Der passende Normalansatz wird als spezielle Lösung yS der Differentialgleichung gewählt. Diese spezielle Lösung muss man anschließend der Ordnung der Differentialgleichung entsprechend oft ableiten – es ist also yS`, yS” usw. zu bilden. Diese Zusammenhänge setzt man für y, y’, y” usw. der Differentialgleichung ein und führt danach einen sogenannten Koeffizientenvergleich durch, um die Unbekannten zu bestimmen. Durch Lösen dieses Gleichungssystems bekommt man die spezielle Lösung yS und damit auch die Gesamtlösung y, da wie schon erwähnt gilt:
$$y=y_H+y_S$$
Beispiel 3: Wahl des Ansatzes
In der folgenden Tabelle sind ein paar Beispiele angeführt. In Abhängigkeit der – hier willkürlich angenommenen – Lösungen λ der charakteristischen Gleichung ergeben sich verschiedene Ansätze, die sich jedoch nur durch den Term xz vor dem jeweiligen Normalansatz unterscheiden. Hinweis: Es gilt: x0 = 1, daher wird dieser Term weggelassen, wenn keine äußere Resonanz vorliegt und z gleich 0 ist.
| Störfunktion r(x) | λr | λ | Ansatz |
| $$5·x^2-4$$ | $$0$$ | $$1, 5$$ $$0, 3$$ $$0, 0, 5$$ | $$A_2·x^2+A_1·x+A_0$$ $$x·(A_2·x^2+A_1·x+A_0)$$ $$x^2·(A_2·x^2+A_1·x+A_0)$$ |
| $$5·sin(3·x)$$ | $$3i$$ | $$3$$ $$±3i$$ $$2±3i$$ | $$A_1·sin(3·x)+A_2·cos(3·x)$$ $$x·[A_1·sin(3·x)+A_2·cos(3·x)]$$ $$A_1·sin(3·x)+A_2·cos(3·x)$$ |
| $$-2·x+4·x·e^{2·x}$$ | $$2, 2$$ | Superposition anwenden! | |
| $$Funktion \ 1: \ -2·x$$ $$Funktion \ 2: \ 4·x·e^{2·x}$$ $$Gesamtfunktion$$ | $$0$$ $$2$$ $$0 \ bzw. \ 2$$ | $$2, \ 2$$ | $$A_1·x+A_0$$ $$x^2·(A_1·x+A_0)·e^{2·x}$$ $$A_1·x+A_0+(A_3·x^3+A_2·x^2)·e^{2·x}$$ |
Anmerkung:
Die Störfunktion in der letzten Zeile setzt sich aus zwei Teilfunktionen zusammen, deshalb muss man die Superposition anwenden. Bei Funktion 1 liegt keine Resonanz vor, weshalb der Normalansatz verwendet wird. Für Funktion 2 ist λr = 2. Da auch λ = 2 ist, liegt hier eine äußere Resonanz vor. Zudem handelt es sich um eine 2-fache Nullstelle der charakteristischen Gleichung, somit gilt xz = x2 und der Normalansatz für die Teilfunktion ist mit x2 zu multiplizieren. Der Gesamtansatz ist die Summe aus den beiden Teilansätzen, wobei man aber noch die Namen der beiden Konstanten der 2. Teilfunktion ändern muss, da es sich jeweils um unterschiedliche Konstanten handelt. Der Einfachheit halber wurde auch x² in die Klammer hineinmultipliziert.
Beispiel 4: Einfache inhomogene lineare Differentialgleichung
Löse die folgende inhomogene Differentialgleichung zunächst allgemein und dann mit den Anfangsbedingungen y(0)=0 und y'(0)=1:
$$y^{“}-4·y^{‚}+4·y=-2·x+4·x·e^{2·x}$$
Homogene Lösung
Es handelt sich bei diesem Beispiel um dieselbe Differentialgleichung wie in Aufgabe 2, das nur um eine Störfunktion erweitert wurde. Zunächst muss die homogene Lösung yH gefunden werden, wobei man wie in Aufgabe 2 vorgeht. Man bekommt:
$$y_H=c_1·e^{2·x}+c_2·x·e^{2·x}$$
Ansatz, spezielle Lösung yS und Ableitungen der speziellen Lösung
Wie man sieht, entspricht die Störfunktion genau der Störfunktion in der letzten Zeile der vorigen Tabelle. Somit kann man auch den dort angegebenen Ansatz verwenden und man erhält als spezielle Lösung yS:
$$y_S=A_1·x+A_0+(A_3·x^3+A_2·x^2)·e^{2·x}$$
Da es sich um eine Differentialgleichung 2. Ordnung handelt, sind noch die 1. und die 2. Ableitung von der speziellen Lösung yS bilden. Dazu benötigt man auch die Produktregel und die Kettenregel:
$$y_S^{‚}=A_1+(3·A_3·x^2+2·A_2·x)·e^{2·x}+(A_3·x^3+A_2·x^2)·e^{2·x}·2$$
$$y_S^{‚}=A_1+(3·A_3·x^2+2·A_2·x+2·A_3·x^3+2·A_2·x^2)·e^{2·x}$$
$$y_S^{“}=(4·A_3·x^3+12·A_3·x^2+4·A_2·x^2+6·A_3·x+4·A_2·x+6·A_2)·e^{2·x}$$
Diese Ausdrücke müssen nun in die Angabe eingesetzt werden:
$$y_S^{“}-4·y_S^{‚}+4·y_S=-2·x+4·x·e^{2·x}$$
Alles Einsetzen, Auflösen der Klammern und Vereinfachen ergibt mit Weglassen der Malpunkte, wobei die Richtigkeit nicht garantiert ist:
$$4A_3x^3e^{2x}+12A_3x^2e^{2x}+4A_2x^2e^{2x}+6A_3xe^{2x}+4A_2xe^{2x}+6A_2e^{2x}-4A_1-12A_3x^2e^{2x}$$
$$-8A_2xe{2x}-8A_3x^3e^{2x}-8A_2x^2e^{2x}+4A_1x+4A_0+4A_3x^3e^{2x}+4A_2x^2e^{2x}=-2x+4xe^{2x}$$
Koeffizientenvergleich und Gleichungssystem
Nun wird der sogenannte Koeffizientenvergleich durchgeführt, indem man jeweils nur jene Terme in eine Zeile schreibt, die die gleiche “Endung” besitzen. Beispiel für die “Endung” x:
$$4A_1x=-2x$$
Damit kann durch Umformen bzw. Umstellen sofort A1 berechnet werden:
$$A_1=-\frac{1}{2}$$
Bei vielen Gleichungen erhält man 0 = 0. Allerdings können genügend unabhängige Gleichungen zum Lösen des Gleichungssystems gefunden werden:
$$4A_2xe^{2x}=0xe^{2x}\Rightarrow A_2=0$$
$$6A_3xe^{2x}-8A_2xe^{2x}=4xe^{2x}\Rightarrow A_3=\frac{2+4A_2}{3}\Rightarrow A_3=\frac{2+4·0}{3}\Rightarrow A_3=\frac{2}{3}$$
$$-4A_1+4A_0=0\Rightarrow A_1=A_0$$
Allgemeine Gesamtlösung y
Die allgemeine Gesamtlösung y ist wie schon erwähnt die Summe aus der zuvor berechneten homogenen Lösung yH und der speziellen Lösung yS der inhomogenen Differentialgleichung. Einsetzen und Vereinfachen ergibt:
$$y=y_H+y_S\Rightarrow y=c_1·e^{2·x}+c_2·x·e^{2·x}+A_1·x+A_0+(A_3·x^3+A_2·x^2)·e^{2·x}$$
$$y=c_1·e^{2·x}+c_2·x·e^{2·x}-\frac{x+1}{2}+\frac{2·x^3·e^{2·x}}{3}$$
Endgültige Gesamtlösung
Um die beiden noch unbekannten Koeffizienten zu bekommen, muss man diese Gesamtlösung aufgrund der gegebenen Anfangsbedingungen einmal differenzieren. Nach Vereinfachen bekommt man:
$$y^{‘}=e^{2·x}·\left [2·c_1+c_2·(1+2·x)+2·x^2+\frac{4}{3}·x^3\right ]-\frac{1}{2}$$
Durch Einsetzen der beiden Anfangsbedingungen und Vereinfachen erhält man wie im homogenen Fall ein lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten:
$$y(0)=0\Rightarrow 0=c_1-\frac{1}{2}\Rightarrow c_1=\frac{1}{2}$$
$$y'(0)=1\Rightarrow 1=2·c_1+c_2-\frac{1}{2}$$
Einsetzen von c1=1/2 in das obige Endergebnis ergibt auch c2:
$$1=2·\frac{1}{2}+c_2-\frac{1}{2} \Rightarrow c_2=\frac{1}{2}$$
Die endgültige Gesamtlösung bekommt man schließlich durch Einsetzen von c1 und c2 in die allgemeine Gesamtlösung:
$$y=\frac{1}{2}·e^{2·x}+\frac{1}{2}·x·e^{2·x}-\frac{x+1}{2}+\frac{2·x^3·e^{2·x}}{3}$$
Seite erstellt am 29.01.2023. Zuletzt geändert am 09.07.2023.