Auf dieser Seite erfährst du, wie einfache lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten aussehen und wie man solche Gleichungen theoretisch lösen kann. Es gibt homogene und inhomogene Differentialgleichungen, wobei du hier für jeden Gleichungstyp zumindest ein vollständig durchgerechnetes Beispiel findest. Bei homogenen Differentialgleichungen ist die sogenannte Störfunktion r(x) nicht vorhanden.
Homogene lineare Differentialgleichung
Eine homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten muss stets die folgende Form haben:
$$y^{(n)}+a_{n-1}·y^{(n-1)}+…+a_2·y^{“}+a_1·y’+a_0·y=0$$
Der Ausdruck in der 1. hochgestellten Klammer gibt den Grad der Ableitung und zugleich die Ordnung an. Die konstanten Koeffizienten werden mit a0, a1, a2, … , an bezeichnet.
Als Erstes führt man die Differentialgleichung in die sogenannte charakteristische Gleichung über:
$$\lambda^n+a_{n-1}·\lambda^{n-1}+…+a_2·\lambda^{2}+a_1·\lambda+a_0=0$$
Dann bestimmt man die Lösungen – also die Nullstellen – dieser charakteristischen Gleichung. Das kann z. B. mit dem Taschenrechner oder dem kostenlos und frei verfügbaren Computerprogramm Geogebra erfolgen. Die Nullstellen der charakteristischen Gleichung von Differentialgleichungen 2. Ordnung können auch mit einer der Lösungsformeln für quadratische Gleichungen gefunden werden.
Mithilfe der folgenden Tabelle bekommt man dann die Lösungen der Differentialgleichung:
| Lösungen der charakterischischen Gleichung (=Nullstellen) |
Lösungen yn der Differentialgleichung |
| λ = a (1-fach reell) |
$$e^{a·x}$$ |
| λ1,2,…,k = a (k-fach reell) |
$$e^{a·x},\ x·e^{a·x},\ x^2·e^{a·x},…,\ x^{k-1}·e^{a·x}$$ |
| λ = a ± b·i (1-fach komplex) |
$$e^{a·x}·cos(b·x),\ e^{a·x}·sin(b·x)$$ |
| λ1,2,…,k = a ± b·i (k-fach komplex) |
$$e^{a·x}·cos(b·x),\ x·e^{a·x}·cos(b·x),…,\ x^{k-1}·e^{a·x}·cos(b·x)$$$$e^{a·x}·sin(b·x),\ x·e^{a·x}·sin(b·x),…,\ x^{k-1}·e^{a·x}·sin(b·x)$$ |
k-fach reell bzw. komplex bedeutet, dass es zumindest eine mehrfache Nullstelle der charakteristischen Gleichung gibt. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet:
$$y=c_1·y_1+c_2·y_2+…+c_n·y_n$$
Sind Anfangsbedingungen gegeben, können auch die Parameter c1, c2, … , cn durch Einsetzen bestimmt werden. Je nach Anfangsbedingung kann dazu auch ein (eventuell mehrmaliges) Ableiten von der Lösung y erforderlich sein – es ist also y‘ zu bilden.
Beispiele: Lösungen für verschiedene Nullstellen
In der nächsten Tabelle sind für willkürlich angenommene Nullstellen der charakteristischen Gleichung die dazugehörenden Lösungen der Differentialgleichung angegeben. Sie wurden anhand der vorigen Tabelle ermittelt:
| Lösungen der charakterischischen Gleichung (=Nullstellen) |
Lösungen der Differentialgleichung |
| $$λ_1 = -1,\ λ_2=2, \ λ_3=5$$ | $$y_1=e^{-x},\ y_2=e^{2·x},\ y_3=e^{5·x}$$$$\Rightarrow y=c_1·y_1+c_2·y_2+c_3·y_3$$$$\Rightarrow y=c_1·e^{-x}+c_2·e^{2·x}+c_3·e^{5·x}$$ |
| $$λ_1 = 0,\ λ_2=2, \ λ_3=2$$ |
$$y_1=e^{0·x}=1,\ y_2=e^{2·x},\ y_3=x·e^{2·x}$$ $$\Rightarrow y=c_1·1+c_2·e^{2·x}+c_3·x·e^{2·x}$$ |
| $$λ_1 = 3+2·i,\ λ_2=3-2·i, \ λ_3=3·i,$$$$λ_4=3·i, \ λ_5=-3·i, \ λ_6=-3·i$$ | $$y_1=e^{3·x}·cos(2·x),\ y_2=e^{3·x}·sin(2·x),\ y_3=cos(3·x),$$$$y_4=x·cos(3·x),\ y_5=sin(3·x),\ y_6=x·sin(3·x)$$$$\Rightarrow y=c_1·y_1+c_2·y_2+c_3·y_3+c_4·y_4+c_5·y_5+c_6·y_6$$ |
Beispiel einer einfachen homogenen linearen Differentialgleichung
Löse die folgende Differentialgleichung zunächst allgemein und dann mit den Anfangsbedingungen y(0)=0 und y'(0)=1:
$$y^{“}-4·y^{‚}+4·y=0$$
Charakteristische Gleichung
Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung, da die höchste Potenz der Gleichung 2 ist. Die charakteristische Gleichung lautet:
$$\lambda^2-4·\lambda+4=0$$
Die Lösungen dieser Gleichung kann man z. B. mit der kleinen Lösungsformel bestimmen. Man bekommt die beiden Nullstellen λ1=2 und λ2=2, wobei es sich offensichtlich um eine doppelte Nullstelle handelt. Mithilfe der Tabelle erhält man die allgemeinen Teillösungen dieser Differentialgleichung:
$$y_1=c_1·e^{2·x},\ y_2=c_2·x·e^{2·x}$$
Allgemeine Gesamtlösung der Differentialgleichung
Die allgemeine Gesamtlösung y der Differentialgleichung ist die Summe der Teillösungen, also:
$$y=c_1·e^{2·x}+c_2·x·e^{2·x}$$
Endgültige Gesamtlösung
Um die noch unbekannten Koeffizienten zu bekommen, muss man diese Gesamtlösung aufgrund der gegebenen Anfangsbedingungen einmal differenzieren (siehe Ableitungsregeln!). Man erhält:
$$y’=c_1·e^{2·x}·2+c_2·\left[1·e^{2·x}+x·e^{2·x}·2\right]$$
Durch Einsetzen der beiden Anfangsbedingungen erhält man ein lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten:
$$y(0)=0\Rightarrow 0=c_1·e^{2·0}+c_2·0·e^{2·0}\Rightarrow 0=c_1$$
$$y'(0)=1\Rightarrow 1=c_1·e^{2·0}·2+c_2·\left[1·e^{2·0}+0·e^{2·0}·2\right]\Rightarrow 1=2·c_1+c_2$$
Einsetzen von c1=0 in das obige Endergebnis ergibt auch c2:
$$1=2·c_1+c_2 \Rightarrow 1=2·0+c_2\Rightarrow c_2=1$$
Die endgültige Gesamtlösung bekommt man schließlich durch Einsetzen von c1 und c2 in die allgemeine Gesamtlösung:
$$y=x·e^{2·x}$$
Kontrolle der Lösung
Ob die gefundene Lösung tatsächlich eine Lösung der Differentialgleichung ist, kann man mittels Kontrolle durch Einsetzen überprüfen. Dazu benötigt man noch die 1. und die 2. Ableitung der gefundenen Lösung:
$$y’=e^{2·x}+2·x·e^{2·x}$$
$$y^{“}=2·e^{2·x}+2·(e^{2·x}+2·x·e^{2·x})$$
Einsetzen in die Angabe ergibt eine wahre Aussage, also ist die gefundene Lösung tatsächlich eine Lösung der Differentialgleichung:
$$2·e^{2·x}+2·e^{2·x}+4·x·e^{2·x}-4·e^{2·x}-8·x·e^{2·x}+4·x·e^{2·x}=0\Rightarrow 0=0$$
Inhomogene lineare Differentialgleichung
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Eine inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat zusätzlich noch eine sogenannte Störfunktion r(x) und muss immer die folgende Form haben:
$$y^{(n)}+a_{n-1}·y^{(n-1)}+…+a_2·y^{“}+a_1·y’+a_0·y=r(x)$$
Man geht zunächst wie beim homogenen Fall vor: Durch Nullsetzen der Störfunktion kann man die charakteristische Gleichung lösen. Man erhält die homogene Lösung yH der Differentialgleichung. Die Gesamtlösung y ist die Summe aus der homogenen Lösung yH und der speziellen Lösung yS der inhomogenen Differentialgleichung:
$$y=y_H+y_S$$
Für gewisse Störfunktionen gibt es Ansätze:
Seite erstellt am 29.01.2023. Zuletzt geändert am 16.02.2023.