Knicken von Stäben & Balken (Euler und Tetmajer) - Die vier Eulerschen Knickfälle

Mit diesem Online-Rechner können die Sicherheit gegen Knicken, die Knickdruckkraft (Knicklast) und die Knickspannung von Stäben bzw. Trägern berechnet werden, wobei die Last und die Querschnittsform bekannt sein müssen. Es werden die vier klassischen Eulerfälle berücksichtigt, wobei entweder nach Tetmajer (unelastischer Bereich) oder Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich) gerechnet wird.

Als Material stehen die beiden Baustähle S235 (St37) und S355 (St52) zur Verfügung. Es ist zudem möglich, individuelle Werkstoffkennwerte einzugeben. Das minimale axiale Flächenträgheitsmoment und die Querschnittsfläche können entweder näherungsweise berechnet oder aber direkt eingegeben werden, wenn diese Werte aus Tabellen bekannt sind.

Folgende Querschnittsflächen sind verfügbar:

Rundstange
Rundrohr
Halb-Rundstab
Rechteck-Profil
Rechteck mit Bohrung
Rechteck-Hohlprofil

I- bzw. H-Profil
U- bzw. C-Profil
L-Profil (gleichschenkelig)
Sechseck/Sechskant
Achteck/Achtkant
Eigenes Profil

Mit der Voreinstellung wird die Sicherheit gegen Knicken für einen I-Träger (I100) aus S235 berechnet, wobei der zweite Eulerfall vorliegt. Dieser Eulerfall kommt in der Praxis am häufigsten vor. Die Knickkraft beträgt 10 kN und die Knicklänge 2 m. Nach dem Rechner findet man jene Formeln, die dieses Programm verwendet.

Rechner für Knicksicherheit & Knicklast von Stäben

Querschnitt
Höhe H	mm
Breite B	mm
Höhe h	mm
Breite b	mm

Werkstoff
Kraft F	kN
Eulerfall
Faktor β *
Stablänge l	m

Spannung σ_vorh	N/mm²
Knickspannung σ_K	N/mm²

Knicksicherheit S
Knickdruckkraft F_K	kN

Für Experten: Eingabe individueller & Ausgabe spezieller Werte

E-Modul	N/mm²
Koeff. a
Koeff. b ***
Koeff. c

R_e	N/mm²
λ_g
I_min **	cm⁴
Fläche A **	mm²

* Wird automatisch durch die Auswahl eines Eulerfalls eingetragen, kann jederzeit geändert werden.

** Um diese Werte eingeben zu können, wählt man unter Querschnitt --> Sonstige Profile --> "Eigenes Profil".

*** Der Koeffizient b muss bei diesem Rechner normalerweise ein negatives Vorzeichen haben!

Erklärung der Abkürzungen

Dm	Durchmesser in mm
β	Faktor zur Berechnung von l_k, abhängig vom Eulerfall
l_k	Knicklänge; l_k = β × l (Stablänge) in m
σ_vorh	vorhandene Druckspannung im Stab; σ_vorh = F ÷ A; in N/mm²
σ_K	Druckspannung, bei der der Stab seitlich ausknickt; in N/mm²
F_K	Kraft, bei der der Stab seitlich ausknickt; in kN
S	Sicherheit gegen Knicken; S = F_K ÷ F
R_e	Streckgrenze in N/mm²
λ_g	Grenzschlankheit: bestimmt, ob im vorliegenden Fall nach Tetmajer (unelastischer Bereich) oder Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich) zu rechnen ist.
I_min	Kleinstes axiales Flächenträgheitsmoment in cm⁴
A	Querschnittsfläche des Stabes in mm²
a, b, c	Koeffizienten für die Tetmajer-Gleichung; Koeffizient b benötigt im Regelfall ein negatives Vorzeichen!

Hinweise für die Verwendung des Rechners

Im Maschinenbau sind die Sicherheiten ca. doppelt so hoch wie im Stahlbau zu wählen. Der Rechner verwendet die minimalen Sicherheiten vom Stahlbau. Man muss immer relativ große Sicherheiten einplanen, da die Berechnungen eigentlich nur für einen idealen Stab gelten:
- Die Kraft muss genau in der Stabachse angreifen und zwar im rechten Winkel zum Querschnitt.
- Der Stab wird als homogen angenommen.
- Es darf keine anderen Kräfte und Momente geben, wie zum Beispiel Windlasten.
Die Querschnitte müssen immer symmetrisch zu den beiden Koordinatenachsen sein.
Für die richtige Funktion kann keine Gewähr übernommen werden - für Berichtigungen und Verbesserungsvorschläge bitte um Nachricht mittels Kontaktformular!

Anmerkung:

Im elastischen Bereich (Euler) knicken beim gleichen Aufbau (Lagerung und Querschnittsform) alle Stähle unter derselben Last!! Es hilft in diesem Fall z. B. nicht, wenn man einen S355 statt einem S235 verwendet!

Wie geht man bei der Berechnung gegen Knicken vor?

Hier werden die einzelnen Rechenschritte samt Formeln angegeben.

Die vier Eulerfälle - Faktor β zur Berechnung der Knicklänge l_k

Zuerst muss man entscheiden, welcher der vier Eulerfälle vorliegt. Das folgende Bild zeigt die vier Eulerschen Knickfälle:

Die vier Eulerschen Knickfälle, kurz Eulerfälle genannt. — Die vier Eulerschen Knickfälle

Fall 1: am Boden feste Einspannung, oberes Ende komplett frei beweglich; β = 2
Fall 2: unten Festlager, oben Loslager; β = 1; das ist in der Praxis der häufigste Fall
Fall 3: am Boden feste Einspannung, oben Loslager; β = 0.699
Fall 4: unten feste Einspannung, oberes Ende in Längsschlitz geführt; β = 0.5

Es gilt folgender Zusammenhang: l_k = β × l

l_k wird als Knicklänge bezeichnet, l ist die Länge des Stabes. Abhängig von den Lagerungsbedingungen ergeben sich daher unterschiedliche Knicklängen.

Formeln für Schlankheitsgrad, Knickspannung und Knickdruckkraft

Alle in diesen Formeln verwendeten Buchstaben werden gleich nach dem Rechner erklärt!

Zunächst berechnet man sich den Schlankheitsgrad λ:

Formel zur Berechnung des Schlankheitsgrades — Schlankheitsgrad

Nun wird die Grenzschlankheit λ_g des verwendeten Werkstoffes benötigt. Für einen Baustahl S235 (früher St37) beträgt dieser Wert 105, für den Werkstoff S355 (St52) 85.

Falls der errechnete Schlankheitsgrad λ über λ_g liegt, wird nach Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich), andernfalls nach Tetmajer (unelasticher Bereich) gerechnet.

In der folgenden Tabelle sind die Formeln für die Knickspannung σ_K und für die Knickdruckkraft F_K zu finden: