Rechner für Knicken von Stäben (Euler & Tetmajer)

In der Technischen Mechanik bezeichnet man als Knicken das seit­liche Aus­weichen eines Stabes unter einer axialen Druckbe­lastung und das anschließende Ver­sagen.

Mit diesem Online-Rechner können die Sicher­heit gegen Knicken, die Knick­druck­kraft (Knick­last), die Knick­spannung und der Schlank­heitsgrad λ von Stäben berechnet werden, wobei die Last und die Quer­schnitts­form bekannt sein müssen. Es werden die vier klassischen Euler­fälle berücksichtigt, wobei entweder nach Tetmajer (unelastischer Bereich) oder Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich) gerechnet wird.

Als Material stehen die beiden Bau­stähle S235 (St37) und S355 (St52), Grau­guss EN-GJL-200, Aluminium ENAW-6082 und Fichten­holz zur Ver­fügung. Es ist zudem möglich, individuelle Werk­stoff­kenn­werte einzugeben. Das minimale axiale Flächen­trägheits­moment und die Quer­schnitts­fläche können entweder näherungs­weise berechnet oder aber direkt einge­geben werden, wenn diese Werte aus Tabellen bekannt sind.

 

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Rechner für Knicksicherheit & Knicklast von Stäben

Mit der Vorein­stellung wird die Sicher­heit gegen Knicken für einen I-Träger (I100) aus S235 berechnet, wobei der zweite Euler­fall vorliegt. Die Knick­kraft beträgt 10 kN und die Knick­länge 2 m.

 

Querschnitt
Höhe H  mm
Breite B  mm
Höhe h  mm
Breite b  mm
Werkstoff
Kraft F  kN
Eulerfall
Faktor β *
Stablänge l  m
Bild eines I-Trägers Die vier Eulerfälle

 

   

Spannung σvorh  N/mm2
Knickspannung σK  N/mm2
Knicksicherheit S
Knickdruckkraft FK  kN

 

Für Experten: Eingabe individueller & Ausgabe spezieller Werte

E-Modul  N/mm2
Koeff. a
Koeff. b ***
Koeff. c
Re | Rp0.2  N/mm2
λg
Imin **  cm4
Fläche A **  mm2

 

 

* Der Faktor β wird automatisch durch die Auswahl eines Euler­falls eingetragen, kann jederzeit geändert werden.

** Um diese Werte eingeben zu können, wählt man unter Quer­schnitt --> Sonstige Profile --> "Eigenes Profil".

*** Der Koeffizient b muss bei diesem Rechner normaler­weise ein negatives Vor­zeichen haben!

Hinweise

  • Die Koeffizienten a, b und c sind nur relevant, wenn die Berechnung nach Tetmajer erfolgt. Ob nach Euler oder Tetmajer gerechnet wird, hängt von der Grenz­schlank­heit λg ab, die bei Kenntnis von E-Modul und Streck­grenze Re ermittelt werden kann, siehe Formel.
  • Dieser Rechner kann zum Bei­spiel auch dann ver­wendet werden, wenn die Kraft F bei gege­bener Knick­sicher­heit ge­sucht ist: In diesem Fall bestimmt man die Lösung per Iteration.

Erklärung der Abkürzungen und Einheiten

Dm Durchmesser in mm
β Faktor zur Berechnung von lk, abhängig vom Eulerfall
lk Knicklänge; lk = β × l (Stablänge) in m
σvorh vorhandene Druckspannung im Stab; σvorh = F ÷ A; in N/mm²
σK Druckspannung, bei der der Stab seitlich ausknickt; in N/mm²
FK Kraft, bei der der Stab seitlich ausknickt; in kN
S Sicherheit gegen Knicken; S = FK ÷ F
Re Streckgrenze in N/mm²
Rp0.2 0.2-%-Dehngrenze in N/mm²
λg Grenzschlankheit: bestimmt, ob im vorliegenden Fall nach Tetmajer (unelastischer Bereich) oder Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich) zu rechnen ist.
Imin Kleinstes axiales Flächenträgheitsmoment in cm4
A Querschnittsfläche des Stabes in mm²
a, b, c Koeffizienten für die Tetmajer-Gleichung; Koeffizient b benötigt im Regelfall ein negatives Vorzeichen!

Weitere Hinweise für die Verwendung des Rechners

  • Folgende Querschnitts­flächen sind verfügbar:
    • Rundstange (Zylinder)
    • Rundrohr (Hohlzylinder)
    • Halb-Rundstab
    • Rechteck-Profil
    • Rechteck mit Bohrung
    • Rechteck-Hohlprofil
  • I- bzw. H-Profil (Doppel-T-Träger)
  • U- bzw. C-Profil
  • L-Profil (gleichschenkelig)
  • Sechseck/Sechskant
  • Achteck/Achtkant
  • Eigenes Profil

  • Im Maschinenbau sind die Sicher­heiten ca. doppelt so hoch wie im Stahl­bau zu wählen. Der Rechner verwendet die minimalen Sicher­heiten vom Stahl­bau. Man muss immer relativ große Sicher­heiten einplanen, da die Berechnungen eigentlich nur für einen idealen Stab gelten:

    • Die Kraft muss genau in der Stab­achse angreifen und zwar im rechten Winkel zum Quer­schnitt.
    • Der Stab wird als homogen angenommen.
    • Es darf keine anderen Kräfte und Momente geben, wie zum Beispiel Wind­lasten.
  • Die Querschnitte müssen immer sym­metrisch zu den beiden Koordinaten­achsen sein.
  • Im elastischen Bereich (Euler) knicken beim gleichen Aufbau (Lagerung, Quer­schnitts­form und Länge) alle Stähle unter der­selben Last, da sie den gleichen E-Modul besitzen!! Es hilft in diesem Fall z. B. nicht, wenn man einen Baustahl S355 statt S235 verwendet!
  • In der Praxis liegt oft Euler­fall 2 vor, da die übliche Befestigung am Boden nicht als feste Ein­spannung gewertet werden kann.
  • Für die richtige Funktion kann keine Gewähr über­nommen werden - für Berichtigungen und Ver­besserungs­vor­schläge bitte um Nach­richt mittels Kontaktformular!

Welcher Stab knickt früher?

Ein Stab knickt bei Über­schreitung der Knick­druck­kraft. Die Knick­druck­kraft ist umso größer, je größer das Flächen­träg­heits­moment ist, da das Flächen­träg­heits­moment Imin im Zähler der Formel steht:

Formel Knickdruckkraft

Daher knickt bei den gleichen Lagerungs­bedingungen und der­selben Länge zuerst stets jener Stab, der das kleinere minimale Flächen­träg­heits­moment hat (identer E-Modul voraus­gesetzt). Die Knick­druck­kraft hängt in diesem Fall also nur von der Form des Quer­schnitts ab.

 

Verwendung des Rechners:

  • Beliebige Länge, Eulerfall, Werkstoff und Kraft an­nehmen, da nur die Quer­schnitts­fläche relevant ist.
  • Verschiedene Quer­schitte aus­wählen, eventuell Abmes­sungen an­passen und "Berechnen" drücken. Die jeweiligen Werte für die Knick­druck­kraft bzw. die Knick­sicher­heit notieren.
  • Vergleichen der Knick­druck­kräfte bzw. der Knick­sicher­heiten: Der Stab mit der kleineren Knick­druck­kraft bzw. mit der kleineren Knick­sicher­heit knickt früher.

Hintergrundwissen zum Rechner

Die vom Rechner verwendeten Formeln, Zahlen­werte (z. B. Werte für die Sicherheit) und weiteres Wissen finden Sie auf der folgenden Unter­seite: 

Skizzen der verfügbaren Querschnittsprofile

Die folgenden 11 Profile können beim Rechner als Quer­schnitt ausgewählt werden:

 

Querschnitt einer Rundstange
Rundstange
Querschnitt eines Rechteck-Profils
Rechteck-Profil
Querschnitt eines I- bzw. H-Profils
I- bzw. H-Profil
Querschnitt eines Rundrohrs
Rundrohr
Querschnitt eines Rechteck-Hohlprofils
Rechteck-Hohlprofil
Querschnitt eines C- bzw. U-Profils
C- bzw. U-Profil
Halbkreis
Halbkreis
Rechteck mit Bohrung
Rechteck mit Bohrung
Sechskant/Sechseck
Sechskant/Sechseck
L-Profil um 45° gedreht
L-Profil um 45° gedreht
Dreieck - in Planung!
Dreieck - in Planung!
Achtkant/Achteck
Achtkant/Achteck

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Seite erstellt im März 2018. Zuletzt geändert am 23.10.2020.