Knicken von Stäben & Balken (Euler und Tetmajer) - Die vier Eulerschen Knickfälle

Mit diesem Online-Rechner können die Sicherheit gegen Knicken, die Knick­druck­kraft (Knick­last) und die Knick­spannung von Stäben bzw. Trägern berechnet werden, wobei die Last und die Querschnitts­form bekannt sein müssen. Es werden die vier klassischen Euler­fälle berücksichtigt, wobei entweder nach Tetmajer (unelastischer Bereich) oder Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich) gerechnet wird.

 

Als Material stehen die beiden Bau­stähle S235 (St37) und S355 (St52) zur Ver­fügung. Es ist zudem möglich, individuelle Werkstoff­kenn­werte einzugeben. Das minimale axiale Flächen­trägheits­moment und die Querschnitts­fläche können entweder näherungsweise berechnet oder aber direkt eingegeben werden, wenn diese Werte aus Tabellen bekannt sind.

 

Mit der Vorein­stellung wird die Sicher­heit gegen Knicken für einen I-Träger (I100) aus S235 berechnet, wobei der zweite Euler­fall vorliegt. Dieser Euler­fall kommt in der Praxis am häufigsten vor. Die Knick­kraft beträgt 10 kN und die Knick­länge 2 m. Nach dem Rechner findet man jene Formeln, die dieses Programm verwendet.

Rechner für Knicksicherheit & Knicklast von Stäben

Querschnitt
Höhe H   mm
Breite B   mm
Höhe h   mm
Breite b   mm
Werkstoff
Kraft F   kN
Eulerfall
Faktor β *
Stablänge l   m

Bild eines I-Trägers Die vier Eulerfälle
 

   

Spannung σvorh   N/mm2
Knickspannung σK   N/mm2
Knicksicherheit S
Knickdruckkraft FK   kN

 

Für Experten: Eingabe individueller & Ausgabe spezieller Werte

E-Modul   N/mm2
Koeff. a
Koeff. b ***
Koeff. c
Re   N/mm2
λg
Imin **   cm4
Fläche A **   mm2

 

 

* Wird automatisch durch die Auswahl eines Euler­falls eingetragen, kann jederzeit geändert werden.

** Um diese Werte eingeben zu können, wählt man unter Quer­schnitt --> Sonstige Profile --> "Eigenes Profil".

*** Der Koeffizient b muss bei diesem Rechner normaler­weise ein negatives Vor­zeichen haben!

Erklärung der Abkürzungen

Dm Durchmesser in mm
β Faktor zur Berechnung von lk, abhängig vom Eulerfall
lk Knicklänge; lk = β × l (Stablänge) in m
σvorh vorhandene Druckspannung im Stab; σvorh = F ÷ A; in N/mm²
σK Druckspannung, bei der der Stab seitlich ausknickt; in N/mm²
FK Kraft, bei der der Stab seitlich ausknickt; in kN
S Sicherheit gegen Knicken; S = FK ÷ F
Re Streckgrenze in N/mm²
λg

Grenzschlankheit: bestimmt, ob im vorliegenden Fall nach Tetmajer (unelastischer Bereich) oder Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich) zu rechnen ist.

Imin Kleinstes axiales Flächenträgheitsmoment in cm4
A Querschnittsfläche des Stabes in mm²
a, b, c Koeffizienten für die Tetmajer-Gleichung; Koeffizient b benötigt im Regelfall ein negatives Vorzeichen!

Hinweise für die Verwendung des Rechners

  • Folgende Querschnitts­flächen verfügbar:
    • Rundstange
    • Rundrohr
    • Halb-Rundstab
    • Rechteck-Profil
    • Rechteck mit Bohrung
    • Rechteck-Hohlprofil
    • I- bzw. H-Profil
    • U- bzw. C-Profil
    • L-Profil (gleichschenkelig)
    • Sechseck/Sechskant
    • Achteck/Achtkant
    • Eigenes Profil
  • Im Maschinenbau sind die Sicher­heiten ca. doppelt so hoch wie im Stahl­bau zu wählen. Der Rechner verwendet die minimalen Sicher­heiten vom Stahl­bau. Man muss immer relativ große Sicher­heiten einplanen, da die Berechnungen eigentlich nur für einen idealen Stab gelten:

    • Die Kraft muss genau in der Stab­achse angreifen und zwar im rechten Winkel zum Quer­schnitt.
    • Der Stab wird als homogen angenommen.
    • Es darf keine anderen Kräfte und Momente geben, wie zum Beispiel Wind­lasten.
  • Die Querschnitte müssen immer symmetrisch zu den beiden Koordinaten­achsen sein.
  • Für die richtige Funktion kann keine Gewähr übernommen werden - für Berichtigungen und Verbesserungs­vorschläge bitte um Nachricht mittels Kontaktformular!

 

 

Anmerkung:

Im elastischen Bereich (Euler) knicken beim gleichen Aufbau (Lagerung und Querschnitts­form) alle Stähle unter derselben Last!! Es hilft in diesem Fall z. B. nicht, wenn man einen S355 statt einem S235 verwendet!

Wie geht man bei der Berechnung gegen Knicken vor?

Hier werden die einzelnen Rechenschritte samt Formeln angegeben.

Die vier Eulerfälle - Faktor β zur Berechnung der Knick­länge lk

Zuerst muss man entscheiden, welcher der vier Euler­fälle vorliegt. Das folgende Bild zeigt die vier Eulerschen Knick­fälle:

Die vier Eulerschen Knickfälle, kurz Eulerfälle genannt.
Die vier Eulerschen Knickfälle

 

  • Fall 1: am Boden feste Ein­spannung, oberes Ende komplett frei beweglich; β = 2
  • Fall 2: unten Fest­lager, oben Los­lager; β = 1; das ist in der Praxis der häufigste Fall
  • Fall 3: am Boden feste Ein­spannung, oben Los­lager; β = 0.699
  • Fall 4: unten feste Ein­spannung, oberes Ende in Längs­schlitz geführt; β = 0.5

Es gilt folgender Zusammenhang: lk = β × l

 

lk wird als Knick­länge bezeichnet, l ist die Länge des Stabes. Abhängig von den Lagerungs­bedingungen ergeben sich daher unter­schiedliche Knick­längen.

Formeln für Schlankheitsgrad, Knickspannung und Knickdruckkraft

Alle in diesen Formeln verwendeten Buch­staben werden gleich nach dem Rechner erklärt!

 

 

Zunächst berechnet man sich den Schlankheits­grad λ:

 

Formel zur Berechnung des Schlankheitsgrades
Schlankheitsgrad

 

Nun wird die Grenz­schlankheit λg des verwendeten Werk­stoffes benötigt. Für einen Bau­stahl S235 (früher St37) beträgt dieser Wert 105, für den Werkstoff S355 (St52) 85.

 

Falls der errechnete Schlankheits­grad λ über λg liegt, wird nach Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich), andernfalls nach Tetmajer (unelasticher Bereich) gerechnet.

 

In der folgenden Tabelle sind die Formeln für die Knick­spannung σK und für die Knick­druck­kraft FK zu finden:

Euler (elastischer Bereich)

 

Formel zur Berechnung der Knickspannung nach Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich)
Knickspannung
Formel zur Berechnung der Knickdruckkraft nach Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich)
Knickdruckkraft

Tetmajer (unelastischer Bereich)

 

 

Formel zur Berechnung der Knickspannung nach Tetmajer (unelastischer Bereich)
Knickspannung
Formel zur Berechnung der Knickdruckkraft nach Tetmajer (unelastischer Bereich)
Knickdruckkraft

Als E wird der sogenannte E-Modul bezeichnet; Für Stahl beträgt der Wert ca. 210000 N/mm².

 

Die Werte für die Koeffizienten der Tetmajer­gleichung lauten:

 

für S235 (St37): a = 310 und b = -1.14

für S355 (St52): a = 335 und b = -0.62

 

Der Koeffizient c ist in beiden Fällen 0.

Formel für Sicherheit gegen Knicken

Zuletzt wird die Knicksicherheit S berechnet:

 

Formel zur Berechnung der Knicksicherheit
Knicksicherheit

Seite erstellt im März 2018. Zuletzt geändert am 04.02.2019