Knicken von Stäben & Balken (Euler und Tetmajer) - Die vier Eulerschen Knickfälle

Mit diesem Online-Rechner können die Sicherheit gegen Knicken, die Knickdruckkraft (Knicklast) und die Knickspannung von Stäben bzw. Trägern berechnet werden, wobei die Last und die Querschnittsform bekannt sein müssen. Es werden die vier klassischen Eulerfälle berücksichtigt, wobei entweder nach Tetmajer (unelastischer Bereich) oder Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich) gerechnet wird.

 

Als Material stehen die beiden Baustähle S235 (St37) und S355 (St52) zur Verfügung. Es ist zudem möglich, individuelle Werkstoffkennwerte einzugeben. Das minimale axiale Flächenträgheitsmoment und die Querschnittsfläche können entweder näherungsweise berechnet oder aber direkt eingegeben werden, wenn diese Werte aus Tabellen bekannt sind.

 

Folgende Querschnittsflächen sind verfügbar:

  • Rundstange
  • Rundrohr
  • Halb-Rundstab
  • Rechteck-Profil
  • Rechteck mit Bohrung
  • Rechteck-Hohlprofil
  • I- bzw. H-Profil
  • U- bzw. C-Profil
  • L-Profil (gleichschenkelig)
  • Sechseck/Sechskant
  • Achteck/Achtkant
  • Eigenes Profil

 

Mit der Voreinstellung wird die Sicherheit gegen Knicken für einen I-Träger (I100) aus S235 berechnet, wobei der zweite Eulerfall vorliegt. Dieser Eulerfall kommt in der Praxis am häufigsten vor. Die Knickkraft beträgt 10 kN und die Knicklänge 2 m. Nach dem Rechner findet man jene Formeln, die dieses Programm verwendet.

Rechner für Knicksicherheit & Knicklast von Stäben

Querschnitt
Höhe H   mm
Breite B   mm
Höhe h   mm
Breite b   mm
Werkstoff
Kraft F   kN
Eulerfall
Faktor β *
Stablänge l   m

Bild eines I-Trägers Die vier Eulerfälle
 

   

Spannung σvorh   N/mm2
Knickspannung σK   N/mm2
Knicksicherheit S
Knickdruckkraft FK   kN

 

Für Experten: Eingabe individueller & Ausgabe spezieller Werte

E-Modul   N/mm2
Koeff. a
Koeff. b ***
Koeff. c
Re   N/mm2
λg
Imin **   cm4
Fläche A **   mm2

 

 

* Wird automatisch durch die Auswahl eines Eulerfalls eingetragen, kann jederzeit geändert werden.

** Um diese Werte eingeben zu können, wählt man unter Querschnitt --> Sonstige Profile --> "Eigenes Profil".

*** Der Koeffizient b muss bei diesem Rechner normalerweise ein negatives Vorzeichen haben!

Erklärung der Abkürzungen

Dm Durchmesser in mm
β Faktor zur Berechnung von lk, abhängig vom Eulerfall
lk Knicklänge; lk = β × l (Stablänge) in m
σvorh vorhandene Druckspannung im Stab; σvorh = F ÷ A; in N/mm²
σK Druckspannung, bei der der Stab seitlich ausknickt; in N/mm²
FK Kraft, bei der der Stab seitlich ausknickt; in kN
S Sicherheit gegen Knicken; S = FK ÷ F
Re Streckgrenze in N/mm²
λg

Grenzschlankheit: bestimmt, ob im vorliegenden Fall nach Tetmajer (unelastischer Bereich) oder Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich) zu rechnen ist.

Imin Kleinstes axiales Flächenträgheitsmoment in cm4
A Querschnittsfläche des Stabes in mm²
a, b, c Koeffizienten für die Tetmajer-Gleichung; Koeffizient b benötigt im Regelfall ein negatives Vorzeichen!

Hinweise für die Verwendung des Rechners

  • Im Maschinenbau sind die Sicherheiten ca. doppelt so hoch wie im Stahlbau zu wählen. Der Rechner verwendet die minimalen Sicherheiten vom Stahlbau. Man muss immer relativ große Sicherheiten einplanen, da die Berechnungen eigentlich nur für einen idealen Stab gelten:

    • Die Kraft muss genau in der Stabachse angreifen und zwar im rechten Winkel zum Querschnitt.
    • Der Stab wird als homogen angenommen.
    • Es darf keine anderen Kräfte und Momente geben, wie zum Beispiel Windlasten.
  • Die Querschnitte müssen immer symmetrisch zu den beiden Koordinatenachsen sein.
  • Für die richtige Funktion kann keine Gewähr übernommen werden - für Berichtigungen und Verbesserungsvorschläge bitte um Nachricht mittels Kontaktformular!

 

 

Anmerkung:

Im elastischen Bereich (Euler) knicken beim gleichen Aufbau (Lagerung und Querschnittsform) alle Stähle unter derselben Last!! Es hilft in diesem Fall z. B. nicht, wenn man einen S355 statt einem S235 verwendet!

Wie geht man bei der Berechnung gegen Knicken vor?

Hier werden die einzelnen Rechenschritte samt Formeln angegeben.

Die vier Eulerfälle - Faktor β zur Berechnung der Knicklänge lk

Zuerst muss man entscheiden, welcher der vier Eulerfälle vorliegt. Das folgende Bild zeigt die vier Eulerschen Knickfälle:

Die vier Eulerschen Knickfälle, kurz Eulerfälle genannt.
Die vier Eulerschen Knickfälle

 

  • Fall 1: am Boden feste Einspannung, oberes Ende komplett frei beweglich; β = 2
  • Fall 2: unten Festlager, oben Loslager; β = 1; das ist in der Praxis der häufigste Fall
  • Fall 3: am Boden feste Einspannung, oben Loslager; β = 0.699
  • Fall 4: unten feste Einspannung, oberes Ende in Längsschlitz geführt; β = 0.5

Es gilt folgender Zusammenhang: lk = β × l

 

lk wird als Knicklänge bezeichnet, l ist die Länge des Stabes. Abhängig von den Lagerungsbedingungen ergeben sich daher unterschiedliche Knicklängen.

Formeln für Schlankheitsgrad, Knickspannung und Knickdruckkraft

Alle in diesen Formeln verwendeten Buchstaben werden gleich nach dem Rechner erklärt!

 

 

Zunächst berechnet man sich den Schlankheitsgrad λ:

 

Formel zur Berechnung des Schlankheitsgrades
Schlankheitsgrad

 

Nun wird die Grenzschlankheit λg des verwendeten Werkstoffes benötigt. Für einen Baustahl S235 (früher St37) beträgt dieser Wert 105, für den Werkstoff S355 (St52) 85.

 

Falls der errechnete Schlankheitsgrad λ über λg liegt, wird nach Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich), andernfalls nach Tetmajer (unelasticher Bereich) gerechnet.

 

In der folgenden Tabelle sind die Formeln für die Knickspannung σK und für die Knickdruckkraft FK zu finden:

Euler (elastischer Bereich)

 

Formel zur Berechnung der Knickspannung nach Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich)
Knickspannung
Formel zur Berechnung der Knickdruckkraft nach Euler (Hookescher bzw. elastischer Bereich)
Knickdruckkraft

Tetmajer (unelastischer Bereich)

 

 

Formel zur Berechnung der Knickspannung nach Tetmajer (unelastischer Bereich)
Knickspannung
Formel zur Berechnung der Knickdruckkraft nach Tetmajer (unelastischer Bereich)
Knickdruckkraft

Als E wird der sogenannte E-Modul bezeichnet; Für Stahl beträgt der Wert 210000 N/mm².

 

Die Werte für die Koeffizienten der Tetmajergleichung lauten:

 

für S235 (St37): a = 310 und b = -1.14

für S355 (St52): a = 335 und b = -0.62

 

Der Koeffizient c ist in beiden Fällen 0.

Formel für Sicherheit gegen Knicken

Zuletzt wird die Knicksicherheit S berechnet:

 

Formel zur Berechnung der Knicksicherheit
Knicksicherheit

Seite erstellt im März 2018. Zuletzt geändert am 19.11.2018