Kurvendiskussion: Null­stellen, Extrem­punkte & Wende­punkte von Funk­tionen

Auf dieser Seite erfährt man, wie man die Null­stellen, Extrem­stellen und Wende­stellen (bzw. Null­punkte, Extrem­punkte und Wende­punkte) einer Funktion berechnet. Zudem wird gezeigt, welcher grafische Zusammen­hang zwischen der Funktions­gleichung f(x), der 1. Ableitung f ´(x) und der 2. Ableitung f “(x) besteht. Auch weitere wichtige Elemente einer Kurven­diskussion wie Krüm­mung, Steigung der Tangente und Monotonie werden behandelt. Im Anschluss an die Theorie findet man ein Beispiel.

Inhaltsverzeichnis

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Übersichtstabelle

Diese Tabelle zeigt, wie man die Null­stellen, Extrem­punkte und Wende­punkte einer Funktion f(x) berechnet. Für genauere Informationen sei auf die folgenden Abschnitte verwiesen.
 

   Nullstellen  Extremstellen  Wendestellen
erforderliche Bedingungen f(x) = 0
(y-Wert = 0)
f ´(x) = 0
(Steigung der Tangente = 0)
f “(x) = 0
(Krümmung = 0)
  f “(x) ≠ 0 f “'(x) ≠ 0
    f “(x) < 0 ⇒ Hochpunkt H
f “(x) > 0 ⇒ Tiefpunkt T
f “(x) = 0 ⇒ Sattel­punkt S, wenn auch f “'(x) ≠ 0;
kein Extrempunkt!!
f ´(x) = 0
⇒ Sattel­punkt S
Vorzeichen-wechsel Funktionswert Steigung der Tangente
bzw. Monotonie
Krümmung

 

 f (x)  Funktionsgleichung, y-Wert, Funktionswert
 f ´(x)  1. Ableitung der Funktion, Steigung der Tangente an der Stelle x
 f “(x)  2. Ableitung der Funktion, Krümmung der Funktion
 f “'(x)  3. Ableitung der Funktion


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Hinweis zu Sonderfall:

Sind f(x) = 0, f ´(x) = 0 und f “(x) = 0 und gilt zudem f “'(x) ≠ 0, handelt es sich um einen soge­nannten Sattel­punkt, der auf der x-Achse liegt: Dieser Punkt ist also ein Wende­punkt mit waag­rechter Tangente und zugleich ein Null­punkt, aber es ist kein Extrem­punkt. Wenn auch die x-Koordinate null ist, liegt der Punkt im Ur­sprung des Koordinaten­systems.

Unterschied zwischen Stelle und Punkt

Ein Punkt besitzt in der Ebene stets eine x- und eine y-Koordinate, während mit Stelle nur der x-Wert bezeichnet wird. Den dazuge­hörenden y-Wert bestimmt man, indem man den x-Wert – also die „Stelle“ – in die Funktions­gleichung f(x) einsetzt.

Wichtige Elemente einer Kurvendiskussion

In diesem Kapitel lernt man, was man unter Null­stellen, Extrem­stellen und Wende­stellen einer Funktion versteht und wie man diese Stellen berechnet. Zudem werden grund­legende Begriffe wie Krümmung und Mono­tonie erklärt.


Zunächst betrachte man den Graphen einer soge­nannten Polynom­funktion dritten Grades mit folgender Funktions­gleichung:

$$f(x)=\frac{1}{54}·x^3-\frac{1}{18}·x^2-\frac{4}{9}·x+\frac{40}{27}$$
 

Graph der Funktion f(x) mit Nullstellen, Extremstellen & Wendestelle
Funktion f(x) mit Nullstellen, Extremstellen & Wendestelle

Diese Funktion hat zwei Null­stellen N1 und N2 (= Schnitt­punkte mit der x-Achse), zwei Extrem­punkte – den Hoch­punkt H und den Tief­punkt T, der zugleich die Null­stelle N2 ist – und einen Wende­punkt W.


Bis zum Hoch­punkt H bzw. ab dem Tief­punkt T ist die Funktion streng monoton steigend, zwischen dem Hoch­punkt und dem Tief­punkt ist sie streng monoton fallend (= Mono­tonie, darge­stellt durch Pfeile).

Die Krümmung links vom Wende­punkt W wird als negativ bzw. rechts gekrümmt bezeichnet („trauriger Smiley“), rechts vom Wende­punkt ist die Funktion positiv bzw. links gekrümmt („glücklicher Smiley“).

y-Wert: f(x)

Mit der Funktions­gleichung kann der y-Wert an einer Stelle x bestimmt werden. In den folgenden Abschnitten werden immer nur die Stellen, d. h. die x-Koor­dinaten eines speziellen Punktes, berechnet. Will man hingegen die Punkte ermitteln, muss die jeweilige Stelle noch in die Funktions­gleichung f(x) eingesetzt werden. Als Ergebnis erhält man die y-Werte der gesuchten Punkte.

Steigung der Tangente: f ´(x) & Monotonie

Die Steigung der Tangente an einer beliebigen Stelle x der Funktion berechnet man durch einmal Ableiten der Funktions­gleichung – man bildet also f ´(x):
 

f ´(x) < 0 f ´(x) = 0 f ´(x) > 0
negative Steigung
der Tangente
keine Steigung,
waagrechte Tangente
positive Steigung
der Tangente


Das Vor­zeichen der Steigung der Tangente ändert sich in den Extremstellen, die waag­rechte Tangenten besitzen – d. h., die Stei­gung der Tangenten ist dort 0.


Auch die Mono­tonie ändert sich in den Extremstellen: Vor einem Hochpunkt bzw. nach einem Tief­punkt ist die Funktion streng monoton steigend, nach einem Hoch­punkt bzw. vor einem Tief­punkt ist sie hingegen streng monoton fallend, vgl. auch obige Grafik. In einem Sattel­punkt bleibt die Mono­tonie erhalten, da es sich hierbei um keine Extrem­stelle handelt.
 

f ´(x) > 0 f ´(x) = 0 f ´(x) < 0 f ´(x) = 0 f ´(x) > 0
positive Steigung
der Tangente
keine Steigung, Hochpunkt H
negative Steigung
der Tangente
keine Steigung,
Tiefpunkt T
positive Steigung
der Tangente
streng monoton steigend   streng monoton fallend   streng monoton steigend

Krümmung: f “(x)

Die Krümmung einer Funktion berechnet man durch zwei­maliges Ableiten der Funktions­gleichung – man bildet also f “(x). Es gibt drei Möglich­keiten, wie eine Funktion an der Stelle x gekrümmt sein kann, wobei dafür mehrere Bezeichnungen üblich sind:
 

f “(x) < 0 f “(x) = 0 f “(x) > 0
 
 – rechts gekrümmt
 – negativ gekrümmt
 – konkav
nicht gekrümmt  – links gekrümmt
 – positiv gekrümmt
 – konvex
„trauriger Smiley“   „glücklicher Smiley“


Das Vorzeichen der Krümmung ändert sich in den Wendestellen; dort ist die Krümmung null.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Die y-Koordinate des Schnitt­punkts einer Funktion mit der y-Achse berechnet man, indem man in der Funktions­gleichung x gleich 0 setzt. Es kann immer nur maximal einen Schnitt­punkt mit der y-Achse geben, da es sich sonst um keine Funktion handeln würde: Jeder Stelle x darf nur genau ein y-Wert ent­sprechen. Die Umkehrung gilt jedoch nicht, da einem y-Wert sehr wohl mehrere x-Werte zuge­ordnet sein können.

Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse)

Eine Null­stelle ist die x-Koordinate jenes Punktes der Funktion, dessen y-Wert Null ist. Null­punkte sind also die Schnitt­punkte der Funktion mit der x-Achse und werden üblicher­weise mit N bezeichnet. In einer Null­stelle ändern sich die Vor­zeichen der Funktions­werte. Die Null­stellen einer Funktion bekommt man, indem man die Funktions­gleichung f(x) null setzt und anschließend aus dieser Gleichung x berechnet:

$$f(x)=0$$

Extremstellen (lokales Extremum)

In den Extremstellen ändert sich das Vor­zeichen der Steigung der Tangente. In der Extrem­stelle selbst ist die Steigung 0, das heißt, die Tangente verläuft hier waag­recht. Daher berechnet man die Extrem­stellen einer Funktion durch Null­setzen der 1. Ableitung f´(x) und anschließendem Lösen dieser Gleichung nach x:

$$f'(x)=0$$


Zusätzlich darf die Krümmung nicht Null sein, also muss gelten:

$$f^{„}(x)≠0$$


Bei Extrem­stellen handelt es sich um lokale Extrema. Ob ein Hoch­punkt oder ein Tief­punkt vorliegt, kann man mithilfe der 2. Ableitung bestimmen. Meist wird ein Hoch­punkt mit H und ein Tief­punkt mit T bezeichnet.
 

f “(x) < 0 f “(x) = 0 f “(x) >  0
lokales Maximum
Hochpunkt H
Sattel­punkt S,
wenn f “'(x) ≠ 0;
kein Extrempunkt!
lokales Minimum
Tiefpunkt T
negative Krümmung keine Krümmung positive Krümmung


Wenn es sich um eine Extrem­stelle handelt, muss f “(x) ≠ 0 sein. Ist die 2. Ableitung jedoch gleich 0 und gilt zudem f “'(x) ≠ 0, handelt es sich um keine Extrem­stelle, sondern um einen Sattel­punkt. Ein Sattel­punkt ist ein Wende­punkt mit waagrechter Tangente.

Wendestellen

Wende­punkte werden fast immer mit W abgekürzt. In den Wendestellen ändert sich das Vor­zeichen der Krümmung, in den Wende­stellen selbst ist die Krüm­mung 0. Daher berechnet man die Wende­stellen einer Funktion durch Null­setzen der 2. Ableitung f “(x) und anschließendem Lösen dieser Gleichung nach x:

$$f^{„}(x)=0$$


Zusätzlich muss folgende Bedingung erfüllt sein:

$$f^{„‚}(x)≠0$$


Spezialfall: Sattelpunkt

Ein Sattelpunkt – oder auch Terrassen­punkt genannt – ist ein Wende­punkt mit waag­rechter Tangente. Für einen Sattel­punkt muss daher noch folgende Bedingung gelten:

$$f'(x)=0$$

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Anzahl der Null­stellen / Extrem­stellen / Wende­stellen bei Polynom­funktionen

Eine Polynomfunktion kann maximal

  • n Nullstellen
  • n-1 Extremstellen
  • und n-2 Wendestellen

haben, wobei n den Grad der Polynom­funktion angibt.


Eine ungerade Polynom­funktion muss mindestens eine Null­stelle besitzen. Gerade Polynom­funktionen können auch gar keine Null­stelle haben, sie besitzen jedoch immer zumindest eine Extrem­stelle.

Graphen verschiedener Polynom­funktionen

Es folgen Graphen von 4 verschiedenen Polynom­funktionen 3. Grades, also in der Form f(x) = a·x3 + b·x2 + c·x + d, wobei sich die Anzahl der Null­stellen und Extrem­stellen durch Variation der Para­meter a, b, c und d verändert. Außerdem werden Graphen einer Polynom­funktion 2. Grades und einer Polynom­funktion 4. Grades gezeigt:

Graph einer Polynomfunktion 2. Grades mit 0 Nullstellen, 1 Extremstelle und 0 Wendestellen
0 Nullstellen, 1 Extremstelle und 0 Wendestellen (2. Grad)
Graph einer Polynomfunktion 3. Grades mit 1 Nullstelle, 2 Extremstellen und 1 Wendestelle
1 Nullstelle, 2 Extremstellen, 1 Wendestelle (3. Grad)
Graph einer Polynomfunktion 3. Grades mit 1 Nullstelle, 0 Extremstellen und 1 Sattelpunkt
1 Nullstelle, 0 Extremstellen, 1 Sattel­punkt (3. Grad)
Graph einer Polynomfunktion 3. Grades mit 2 Nullstellen, 2 Extremstellen und 1 Wendestelle
2 Nullstellen, 2 Extremstellen, 1 Wendestelle (3. Grad)
Graph einer Polynomfunktion 3. Grades mit 3 Nullstellen, 2 Extremstellen und 1 Wendestelle
3 Nullstellen, 2 Extremstellen, 1 Wendestelle (3. Grad)
Graph einer Polynomfunktion 4. Grades mit 2 Nullstellen, 1 Extremstelle und 2 Wendestellen
2 Nullstellen, 1 Extremstelle, 2 Wendestellen (4. Grad) *

* Dieser Graph wird im Anschluss als Beispiel durchge­rechnet!

Grafischer Zusammenhang zwischen f(x), f ´(x) & f “(x)

Den grafischen Zusammenhang zwischen der Funktion f(x), der 1. Ableitung f ´(x) und der 2. Ableitung f “(x) zeigt die folgende Abbildung:
 

Grafischer Zusammenhang zwischen der Funktion f(x), der 1. Ableitung f '(x) und der 2. Ableitung f ''(x)
Funktion f(x), 1. Ableitung f ´(x) und 2. Ableitung f “(x)

Extremstellen H und T

Die beiden Extrem­stellen H und T der Funktion f(x) werden zu den Null­stellen N1 und N2 der 1. Ableitung f ´(x), wobei T und N2 zusammen­fallen, da die Extrem­stelle T zugleich die Null­stelle N2 von f(x) ist.


Kontrolle der erforder­lichen Bedingungen für Hoch­punkt H:

Liest man aus dem obigen Diagramm die Funktions­werte an der Stelle x = -2 ab, kann man über­prüfen, ob die erforder­lichen Bedingungen für den Hoch­punkt H einge­halten werden. Der Funktions­wert der 1. Ableitungs­funktion und somit die Steigung der Tangente ist wie gefordert null: f ´(-2) = 0. Der Funktions­wert der 2. Ableitung ist ungleich Null: f “(-2) = -0.33. Da dieser Wert kleiner als 0 ist und folglich die Krümmung an dieser Stelle negativ ist, muss es sich bei dieser Extrem­stelle um einen Hoch­punkt handeln.

Wendestelle W

Die Wende­stelle W von der Funktion f(x) wird zur Extrem­stelle T der 1. Ableitung f ´(x) bzw. zur Null­stelle N der 2. Ableitung f “(x), diese drei Punkte liegen also genau über­einander.

Beispiel: Berechnung Null­punkte, Extrem­punkte, Wende­punkte – Kurven­diskussion

Es ist folgende Polynom­funktion 4. Grades gegeben:

$$f(x)=\frac{5}{27}·x^4-\frac{10}{9}·x^2+\frac{40}{27}·x-\frac{5}{9}$$


Aufgabe:

Es ist eine (unvollständige) Kurven­diskussion durchzu­führen:

  • Berechnung der Null­punkte, Extrem­punkte, Wende­punkte, Schnitt­punkt mit der y-Achse und der Gleichungen der Wende­tangenten.
  • Grafische Darstellung der Funktion, der 1. und 2. Ableitung, aller berechneten Punkte und der Wende­tangenten.

Berechnung der Nullpunkte

Für die Berechnung der Nullstellen muss man f(x) gleich null setzen:

$$f(x)=0\Rightarrow0=\frac{5}{27}·x^4-\frac{10}{9}·x^2+\frac{40}{27}·x-\frac{5}{9}$$
 

Die Lösungen dieser Gleichung erhält man z. B. mit einem geeigneten Taschen­rechner oder GeoGebra. Man bekommt:

$$x_1=-3\qquad x_2=1\qquad \Rightarrow N_1(-3|0)\qquad N_2(1|0)$$

Berechnung der Extrempunkte

Zunächst bildet man die 1. Ableitung und setzt diese anschließend gleich null:

$$f'(x)=\frac{20}{27}·x^3-\frac{20}{9}·x+\frac{40}{27}\Rightarrow 0=\frac{20}{27}·x^3-\frac{20}{9}·x+\frac{40}{27}$$


Als Lösung für diese Gleichung erhält man:

$$x_1=-2\qquad x_2=1$$


Nun muss mithilfe der 2. Ableitung (= Krümmung) festgestellt werden, um welche Art von Extrem­stelle es sich jeweils handelt bzw. ob überhaupt eine Extrem­stelle vorliegt. Die 2. Ableitung der Funktion lautet:

$$f^{„}(x)=\frac{60}{27}·x^2-\frac{20}{9}$$


In diese Gleichung setzt man für x die beiden Extremstellen -2 und 1 ein:

$$f^{„}(-2)=\frac{60}{27}·(-2)^2-\frac{20}{9}=\frac{20}{3}>0\Rightarrow Tiefpunkt$$

$$f^{„}(1)=\frac{60}{27}·1^2-\frac{20}{9}=0\Rightarrow Sattel­punkt?$$


Bei der ersten Extrem­stelle handelt es sich um einen Tief­punkt, da die Krümmung positiv ist. In der 2. Extrem­stelle ist die Krümmung gleich 0, also kann das keine Extrem­stelle sein. Es liegt wahr­scheinlich ein Sattel­punkt vor. Ob diese Annahme zutrifft wird im nächsten Abschnitt überprüft. Durch Ein­setzen von x = -2 in f(x) bekommt man die y-Koordinate des Tief­punkts T:

$$f(-2)=\frac{5}{27}·(-2)^4-\frac{10}{9}·(-2)^2+\frac{40}{9}·(-2)-\frac{5}{9}=-5$$

$$\Rightarrow T(-2|-5)$$

Berechnung der Wendepunkte

Zur Berechnung der Wendestellen muss man als Erstes die schon zuvor gebildete 2. Ableitung 0 setzen und aus dieser Gleichung x berechnen:

$$0=\frac{60}{27}·x^2-\frac{20}{9}\qquad \Rightarrow x_1=-1\qquad x_2=1$$


Nun muss man mit Hilfe der 3. Ableitung prüfen, ob es sich bei diesen beiden Lösungen tat­sächlich um Wende­stellen handelt:

$$f^{„‚}(x)=\frac{40}{9}·x$$

$$f^{„‚}(-1)=-\frac{40}{9}≠0\qquad f^{„‚}(1)=\frac{40}{9}≠0\qquad \Rightarrow Wendestellen$$


Beide Lösungen sind Wende­stellen, wobei die 2. Wende­stelle eine waag­rechte Tangente besitzt und es sich somit tatsächlich um einen Sattel­punkt handelt, vgl. vorigen Abschnitt. Einsetzen dieser Werte in die Funktions­gleichung ergibt:

$$f(-1)=\frac{5}{27}·(-1)^4-\frac{10}{9}·(-1)^2+\frac{40}{27}·(-1)-\frac{5}{9}=-\frac{80}{27}$$

$$\Rightarrow W_1\left(-1\bigg| -\frac{80}{27}\right)$$

$$f(1)=\frac{5}{27}·1^4-\frac{10}{9}·1^2+\frac{40}{27}·1-\frac{5}{9}=0\qquad \Rightarrow W_2=S(1|0)$$

Berechnung des Schnittpunkts mit der y-Achse

Dazu setzt man in der Funktions­gleichung x = 0:

$$f(0)=\frac{5}{27}·0^4-\frac{10}{9}·0^2+\frac{40}{27}·0-\frac{5}{9}=-\frac{5}{9}\qquad \Rightarrow P\left(0\bigg|-\frac{5}{9}\right)$$

Gleichungen der Wende­tan­genten

Bei den Gleichungen der Wende­tangenten handelt es sich um Geraden der Form y = k·x + d. Die Steigung k bekommt man mit der 1. Ableitung, indem man für x die jeweilige Wende­stelle einsetzt. Die Steigung der Tangente im 1. Wende­punkt beträgt:

$$f'(-1)=\frac{20}{27}·(-1)^3-\frac{20}{9}·(-1)+\frac{40}{27}=\frac{80}{27}\qquad \Rightarrow k=\frac{80}{27}$$


Die Wende­tangente muss natürlich durch den Wende­punkt verlaufen, daher setzt man die Koordinaten des Wende­punkts in die allgemeine Geraden­gleichung für x und y ein. Die Steigung k wurde soeben berechnet. Durch Umformen bekommt man d und somit auch die gesuchte Gleichung der Wende­tangente:

$$y=k·x+d\Rightarrow -\frac{80}{27}=\frac{80}{27}·(-1)+d\Rightarrow d=0\Rightarrow y=\frac{80}{27}·x$$


Der 2. Wendepunkt ist bekannt­lich ein Sattel­punkt. Sattel­punkte besitzen waag­rechte Tangenten, das heißt, die Steigung k ist in diesem Fall 0. Der Sattel­punkt fällt zudem mit der Null­stelle N2 zusammen, also entspricht die x-Achse der Tangente im Sattel­punkt. Die Gleichung lautet:

$$y=0$$

Funktionsgraph mit den drei Ab­leitungen & Wende­tangenten

In der nebenstehenden bzw. nächsten Abbildung ist Folgendes zu sehen:

  • Funktion f(x) – in schwarz
  • 1. Ableitung f ´(x) – in blau
  • 2. Ableitung f “(x) – in grün
  • 3. Ableitung f “'(x) – in gelb
  • Nullpunkte N1 und N2
  • Tiefpunkt T
  • Wendepunkte W1 und W2 (= Sattelpunkt S)
  • Tangente durch W1 – schwarz strichliert


Interessant ist, dass N2 und W2 zusammen­fallen. Dieser Punkt ist der Sattel­punkt S, er ist zudem ein Null­punkt und Extrem­punkt von f ´(x) und ein Null­punkt von f “(x).
 

Grafische Darstellung der Funktion, der 1., 2. und 3. Ableitung, aller berechneten Punkte und der Wende­tangenten
Funktionsgraph und Ableitungen

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Seite erstellt am 31.05.2019. Zuletzt geändert am 11.11.2021.