Kurvendiskussion: Nullstellen, Extrempunkte & Wendepunkte von Funktionen

Auf dieser Seite erfährt man, wie man die Null­stellen, Extrem­stellen und Wende­stellen (bzw. Null­punkte, Extrem­punkte und Wende­punkte) einer Funktion berechnet. Zudem wird gezeigt, welcher grafische Zusammen­hang zwischen der Funktions­gleichung f(x), der 1. Ableitung f '(x) und der 2. Ableitung f ''(x) besteht. Auch weitere wichtige Elemente einer Kurven­diskussion wie Krüm­mung, Steigung der Tangente und Monotonie werden behandelt. Im Anschluss an die Theorie findet man ein Beispiel.

Inhaltsverzeichnis

Übersichtstabelle

Diese Tabelle zeigt, wie man die Null­stellen, Extrem­punkte und Wende­punkte einer Funktion f(x) berechnet. Für genauere Informationen sei auf die folgenden Abschnitte verwiesen.

 

   Nullstellen  Extremstellen  Wendestellen
erforderliche Bedingungen

f(x) = 0

(y-Wert = 0)

f '(x) = 0

(Steigung der Tangente = 0)

f ''(x) = 0

(Krümmung = 0)

  f ''(x) ≠ 0 f '''(x) ≠ 0
    f ''(x) < 0 ⇒ Hochpunkt H

 f ''(x) >  0 ⇒ Tiefpunkt T

 f ''(x) = 0 ⇒ Sattelpunkt S, wenn auch f '''(x) ≠ 0; kein Extrempunkt!

 f ''(x) = 0

⇒ Sattelpunkt S

Vorzeichen-wechsel

Funktionswert

Steigung der Tangente

bzw. Monotonie

Krümmung

 

Bei schmalen Displays nach rechts scrollen!

 

 f (x)  Funktionsgleichung, y-Wert
 f '(x)  1. Ableitung der Funktion, Steigung der Tangente an der Stelle x
 f ''(x)  2. Ableitung der Funktion, Krümmung der Funktion
 f '''(x)  3. Ableitung der Funktion

Unterschied zwischen Stelle und Punkt

Ein Punkt besitzt in der Ebene stets eine x- und eine y-Koordinate, während mit Stelle nur der x-Wert bezeichnet wird. Den dazuge­hörenden y-Wert bestimmt man, indem man den x-Wert - also die "Stelle" - in die Funktions­gleichung f(x) einsetzt.

Wichtige Elemente einer Kurvendiskussion

In diesem Kapitel lernt man, was man unter Null­stellen, Extrem­stellen und Wende­stellen einer Funktion versteht und wie man diese Stellen berechnet. Zudem werden grund­legende Begriffe wie Krümmung und Mono­tonie erklärt.

 

Zunächst betrachte man den Graphen einer soge­nannten Polynom­funktion dritten Grades mit folgender Funktions­gleichung:

Funktionsgleichung f(x)
Graph der Funktion f(x) mit Nullstellen, Extremstellen & Wendestelle
Funktion f(x) mit Nullstellen, Extremstellen & Wendestelle

Diese Funktion hat zwei Null­stellen N1 und N2 (= Schnitt­punkte mit der x-Achse), zwei Extrem­punkte - den Hoch­punkt H und den Tief­punkt T, der zugleich die Null­stelle N2 ist - und einen Wende­punkt W.

 

Bis zum Hoch­punkt H bzw. ab dem Tief­punkt T ist die Funktion streng monoton steigend, zwischen dem Hoch­punkt und dem Tief­punkt ist sie streng monoton fallend (= Mono­tonie, darge­stellt durch Pfeile).

Die Krümmung links vom Wende­punkt W wird als negativ bzw. rechts gekrümmt bezeichnet ("trauriger Smiley"), rechts vom Wende­punkt ist die Funktion positiv bzw. links gekrümmt ("glücklicher Smiley").

y-Wert: f(x)

Mit der Funktions­gleichung kann der y-Wert an einer Stelle x bestimmt werden. In den folgenden Abschnitten werden immer nur die Stellen, d. h. die x-Koor­dinaten eines speziellen Punktes, berechnet. Will man hingegen die Punkte ermitteln, muss die jeweilige Stelle noch in die Funktions­gleichung f(x) eingesetzt werden. Als Ergebnis erhält man die y-Werte der gesuchten Punkte.

Monotonie & Steigung der Tangente: f '(x)

Die Steigung der Tangente an einer beliebigen Stelle x der Funktion berechnet man durch einmal Ableiten der Funktions­gleichung - man bildet also f '(x):

 

f '(x) < 0 f '(x) = 0

f '(x) > 0

negative Steigung

der Tangente

keine Steigung, waagrechte Tangente

positive Steigung

der Tangente

 

Bei schmalen Displays nach rechts scrollen!

 

Das Vor­zeichen der Steigung der Tangente ändert sich in den Extremstellen, die waag­rechte Tangenten besitzen - d. h., die Stei­gung der Tangenten ist dort 0.

 

Auch die Mono­tonie ändert sich in den Extremstellen: Vor einem Hochpunkt bzw. nach einem Tief­punkt ist die Funktion streng monoton steigend, nach einem Hoch­punkt bzw. vor einem Tief­punkt ist sie hingegen streng monoton fallend, vgl. auch obige Grafik. In einem Sattel­punkt bleibt die Mono­tonie erhalten, da es sich hierbei um keine Extrem­stelle handelt.

 

f '(x) > 0 f '(x) = 0

f '(x) < 0

f '(x) = 0

f '(x) > 0

positive Steigung

der Tangente

keine Steigung,

Hochpunkt H

negative Steigung

der Tangente

keine Steigung,

Tiefpunkt T

positive Steigung

der Tangente

streng monoton steigend

 

streng monoton fallend

  streng monoton steigend

 

Bei schmalen Displays nach rechts scrollen!

Krümmung: f ''(x)

Die Krümmung einer Funktion berechnet man durch zwei­maliges Ableiten der Funktions­gleichung - man bildet also f ''(x). Es gibt drei Möglich­keiten, wie eine Funktion an der Stelle x gekrümmt sein kann, wobei dafür mehrere Bezeichnungen üblich sind:

 

f ''(x) < 0 f ''(x) = 0

f ''(x) > 0

 

 - rechts gekrümmt

 - negativ gekrümmt

 - konkav

nicht gekrümmt

 - links gekrümmt

 - positiv gekrümmt

 - konvex

"trauriger Smiley"

 

"glücklicher Smiley"

 

Bei schmalen Displays nach rechts scrollen!

 

Das Vorzeichen der Krümmung ändert sich in den Wendestellen; dort ist die Krümmung null.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Die y-Koordinate des Schnitt­punkts einer Funktion mit der y-Achse berechnet man, indem man in der Funktions­gleichung x gleich 0 setzt. Es kann immer nur maximal einen Schnitt­punkt mit der y-Achse geben, da es sich sonst um keine Funktion handeln würde: Jeder Stelle x darf nur genau ein y-Wert ent­sprechen. Die Umkehrung gilt jedoch nicht, da einem y-Wert sehr wohl mehrere - oder auch keine - x-Werte zuge­ordnet sein können.

Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse)

Eine Null­stelle ist die x-Koordinate jenes Punktes der Funktion, dessen y-Wert Null ist. Null­punkte sind also die Schnitt­punkte der Funktion mit der x-Achse und werden üblicher­weise mit N bezeichnet. In einer Null­stelle ändern sich die Vor­zeichen der Funktions­werte. Die Null­stellen einer Funktion bekommt man, indem man die Funktions­gleichung f(x) null setzt und anschließend aus dieser Gleichung x berechnet:

Formel zur Berechnung der Nullstellen N einer Funktion f(x)

Extremstellen (lokales Extremum)

In den Extremstellen ändert sich das Vor­zeichen der Steigung der Tangente. In der Extrem­stelle selbst ist die Steigung 0, das heißt, die Tangente verläuft hier waag­recht. Daher berechnet man die Extrem­stellen einer Funktion durch Null­setzen der 1. Ableitung f '(x) und anschließendem Lösen dieser Gleichung nach x:

 

Zusätzlich darf die Krümmung nicht Null sein, also muss gelten:

 

Bei Extrem­stellen handelt es sich um lokale Extrema. Ob ein Hoch­punkt oder ein Tief­punkt vorliegt, kann man mithilfe der 2. Ableitung bestimmen. Meist wird ein Hoch­punkt mit H und ein Tief­punkt mit T bezeichnet.

 

f ''(x) < 0 f ''(x) = 0 f ''(x) >  0

lokales Maximum

Hochpunkt H

 Sattelpunkt S,

wenn f '''(x) ≠ 0;

kein Extrempunkt!

lokales Minimum

Tiefpunkt T

negative Krümmung

keine Krümmung

positive Krümmung

 

Bei schmalen Displays nach rechts scrollen!

 

Wenn es sich um eine Extrem­stelle handelt, muss f ''(x) ≠ 0 sein. Ist die 2. Ableitung jedoch gleich 0 und gilt zudem f '''(x) ≠ 0, handelt es sich um keine Extrem­stelle, sondern um einen Sattel­punkt. Ein Sattel­punkt ist ein Wende­punkt mit waagrechter Tangente.

Wendestellen

Wende­punkte werden fast immer mit W abgekürzt. In den Wendestellen ändert sich das Vor­zeichen der Krümmung, in den Wende­stellen selbst ist die Krüm­mung 0. Daher berechnet man die Wende­stellen einer Funktion durch Null­setzen der 2. Ableitung f ''(x) und anschließendem Lösen dieser Gleichung nach x:

Formel zur Berechnung der Wendestellen W einer Funktion f(x)

 

Zusätzlich muss folgende Bedingung erfüllt sein:

 

Spezialfall: Sattelpunkt

Ein Sattelpunkt - oder auch Terrassen­punkt genannt - ist ein Wende­punkt mit waag­rechter Tangente. Für einen Sattel­punkt muss daher noch folgende Bedingung gelten:

Anzahl der Nullstellen/Extremstellen/Wendestellen bei Polynomfunktionen

Eine Polynomfunktion kann maximal

  • n Nullstellen
  • n-1 Extremstellen
  • und n-2 Wendestellen

haben, wobei n den Grad der Polynom­funktion angibt.

 

Eine ungerade Polynom­funktion muss mindestens eine Null­stelle besitzen. Gerade Polynom­funktionen können auch gar keine Null­stelle haben, sie besitzen jedoch immer zumindest eine Extrem­stelle.

Graphen verschiedener Polynomfunktionen

Es folgen Graphen von 4 verschiedenen Polynom­funktionen 3. Grades, also in der Form f(x) = a·x3 + b·x2 + c·x + d, wobei sich die Anzahl der Null­stellen und Extrem­stellen durch Variation der Para­meter a, b, c und d verändert. Außerdem werden Graphen einer Polynom­funktion 2. Grades und einer Polynom­funktion 4. Grades gezeigt:

Graph einer Polynomfunktion 3. Grades mit 3 Nullstellen, 2 Extremstellen und 1 Wendestelle
3 Nullstellen, 2 Extremstellen, 1 Wendestelle (3. Grad)
Graph einer Polynomfunktion 3. Grades mit 1 Nullstelle, 2 Extremstellen und 1 Wendestelle
1 Nullstelle, 2 Extremstellen, 1 Wendestelle (3. Grad)
Graph einer Polynomfunktion 3. Grades mit 2 Nullstellen, 2 Extremstellen und 1 Wendestelle
2 Nullstellen, 2 Extremstellen, 1 Wendestelle (3. Grad)
Graph einer Polynomfunktion 3. Grades mit 1 Nullstelle, 0 Extremstellen und 1 Sattelpunkt
1 Nullstelle, 0 Extremstellen, 1 Sattelpunkt (3. Grad)
Graph einer Polynomfunktion 2. Grades mit 0 Nullstellen, 1 Extremstelle und 0 Wendestellen
0 Nullstellen, 1 Extremstelle und 0 Wendestellen (2. Grad)
Graph einer Polynomfunktion 4. Grades mit 2 Nullstellen, 1 Extremstelle und 2 Wendestellen
2 Nullstellen, 1 Extremstelle, 2 Wendestellen (4. Grad) *

 

* Dieser Graph wird im Anschluss als Beispiel durchge­rechnet!

Grafischer Zusammenhang zwischen f(x), f '(x) & f ''(x)

Den grafischen Zusammenhang zwischen der Funktion f(x), der 1. Ableitung f '(x) und der 2. Ableitung f ''(x) zeigt die folgende Abbildung:

 

Grafischer Zusammenhang zwischen der Funktion f(x), der 1. Ableitung f '(x) und der 2. Ableitung f ''(x)
Funktion f(x), 1. Ableitung f '(x) und 2. Ableitung f ''(x)

Extremstellen H und T

Die beiden Extrem­stellen H und T der Funktion f(x) werden zu den Null­stellen N1 und N2 der 1. Ableitung f '(x), wobei T und N2 zusammen­fallen, da die Extrem­stelle T zugleich die Null­stelle N2 von f(x) ist.

 

Kontrolle der erforder­lichen Bedingungen für Hoch­punkt H:

Liest man aus dem obigen Diagramm die Funktions­werte an der Stelle x = -2 ab, kann man über­prüfen, ob die erforder­lichen Bedingungen für den Hoch­punkt H einge­halten werden. Der Funktions­wert der 1. Ableitungs­funktion und somit die Steigung der Tangente ist wie gefordert Null: f '(-2) = 0. Der Funktions­wert der 2. Ableitung ist ungleich Null: f ''(-2) = -0.33. Da dieser Wert kleiner als 0 ist und folglich die Krümmung an dieser Stelle negativ ist, muss es sich bei dieser Extrem­stelle um einen Hoch­punkt handeln.

Wendestelle W

Die Wende­stelle W von der Funktion f(x) wird zur Extrem­stelle T der 1. Ableitung f '(x) bzw. zur Null­stelle N der 2. Ableitung f ''(x), diese drei Punkte liegen also genau über­einander.

Beispiel:  Berechnung Nullpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte - Kurvendiskussion

Es ist folgende Polynom­funktion 4. Grades gegeben:

Funktionsgleichung f(x)

 

Aufgabe:

Es ist eine (unvollständige) Kurven­diskussion durchzu­führen:

  • Berechnung der Null­punkte, Extrem­punkte, Wende­punkte, Schnitt­punkt mit der y-Achse und der Gleichungen der Wende­tangenten.
  • Grafische Darstellung der Funktion, der 1. und 2. Ableitung, aller berechneten Punkte und der Wende­tangenten.

Berechnung der Nullpunkte

Für die Berechnung der Nullstellen muss man f(x) gleich null setzen:

 

Die Lösungen dieser Gleichung erhält man z. B. mit einem geeigneten Taschen­rechner O. Man bekommt:

Berechnung der Extrempunkte

Zunächst bildet man die 1. Ableitung und setzt diese anschließend gleich null:

 

Als Lösung für diese Gleichung erhält man:

 

Nun muss mithilfe der 2. Ableitung (= Krümmung) festgestellt werden, um welche Art von Extrem­stelle es sich jeweils handelt bzw. ob überhaupt eine Extrem­stelle vorliegt. Die 2. Ableitung der Funktion lautet:

 

In diese Gleichung setzt man für x die beiden Extremstellen -2 und 1 ein:

 

Bei der ersten Extrem­stelle handelt es sich um einen Tief­punkt, da die Krümmung positiv ist. In der 2. Extrem­stelle ist die Krümmung gleich 0, also kann das keine Extrem­stelle sein. Es liegt wahr­scheinlich ein Sattel­punkt vor. Ob diese Annahme zutrifft wird im nächsten Abschnitt überprüft. Durch Ein­setzen von x = -2 in f(x) bekommt man die y-Koordinate des Tief­punkts T:


Berechnung der Wendepunkte

Zur Berechnung der Wendestellen muss man als Erstes die schon zuvor gebildete 2. Ableitung 0 setzen und aus dieser Gleichung x berechnen:

 

Nun muss man mit Hilfe der 3. Ableitung prüfen, ob es sich bei diesen beiden Lösungen tat­sächlich um Wende­stellen handelt:


 

Beide Lösungen sind Wende­stellen, wobei die 2. Wende­stelle eine waag­rechte Tangente besitzt und es sich somit tatsächlich um einen Sattel­punkt handelt, vgl. vorigen Abschnitt. Einsetzen dieser Werte in die Funktions­gleichung ergibt:


Berechnung Schnittpunkt mit der y-Achse

Dazu setzt man in der Funktions­gleichung x = 0:

Gleichungen der Wendetangenten

Bei den Gleichungen der Wende­tangenten handelt es sich um Geraden der Form y = k·x + d. Die Steigung k bekommt man mit der 1. Ableitung, indem man für x die jeweilige Wende­stelle einsetzt. Die Steigung der Tangente im 1. Wendepunkt beträgt:

 

Die Wende­tangente muss natürlich durch den Wende­punkt verlaufen, daher setzt man die Koordinaten des Wende­punkts in die allgemeine Geraden­gleichung für x und y ein. Die Steigung k wurde soeben berechnet. Durch Umformen bekommt man d und somit auch die gesuchte Gleichung der Wende­tangente:

 

Der 2. Wendepunkt ist bekanntlich ein Sattel­punkt. Sattel­punkte besitzen waag­rechte Tangenten, das heißt, die Steigung k ist in diesem Fall 0. Der Sattel­punkt fällt zudem mit der Null­stelle N2 zusammen, also entspricht die x-Achse der Tangente im Sattel­punkt. Die Gleichung lautet: y = 0.

Funktionsgraph mit den drei Ableitungen & Wendetangenten

In der nebenstehenden bzw. nächsten Abbildung ist Folgendes zu sehen:

  • Funktion f(x) - in schwarz
  • 1. Ableitung f '(x) - in blau
  • 2. Ableitung f ''(x) - in grün
  • 3. Ableitung f '''(x) - in gelb
  • Nullpunkte N1 und N2
  • Tiefpunkt T
  • Wendepunkte W1 und W2 (= Sattel­punkt S)
  • Tangente durch W1 - schwarz strichliert

 

Interessant ist, dass N2 und W2 zusammen­fallen. Dieser Punkt ist der Sattel­punkt S, er ist zudem ein Null­punkt und Extrem­punkt von f '(x) und ein Null­punkt von f ''(x).

Grafische Darstellung der Funktion, der 1., 2. und 3. Ableitung, aller berechneten Punkte und der Wende­tangenten
Funktionsgraph und Ableitungen

Seite erstellt am 31.05.2019. Zuletzt geändert am 01.06.2019.