Berechnungen für Prisma, Pyramide, Kugel & Torus

Dieser Online-Rechner berechnet den Umfang, die Grund­fläche, die Mantel­fläche, die Ober­fläche und das Volumen ver­schiedener Holz- oder Stahl­profile (= Prismen bzw. Träger). Diese Berech­nungen können auch für Pyramiden und teil­weise für Kugeln bzw. Kugel­teile (Kugel­sektor & Kugel­segment) und Tori durchge­führt werden.


Für die Berech­nung von Gewicht, Masse und Strecken­last stehen als Werk­stoff viele Metalle wie Stahl, Aluminium, Messing, Blei, Platin, Silber & Gold, unter­schiedliche Holz­arten sowie Beton und Fenster­glas zur Auswahl. Nach dem Rechner finden sich Infor­mationen zu ver­schiedenen Körpern sowie die Formeln zur Berechnung von Masse und Gewicht.


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Rechner für Gewicht, Masse, Oberfläche & Volumen

Mit der Voreinstellung können Sie das Gewicht, die Masse, den Flächen­inhalt der Grund­fläche, den Umfang, die Mantel­fläche, die Ober­fläche und das Volumen für einen Quader (= spezielles Prisma) aus Stahl berechnen.
 

Körper
Grundfläche
Länge a mm
Breite b mm
Werkstoff
Dm d mm
Dicke t mm
Dicke s mm
Höhe h m
Bild eines I-Trägers
 

   


Dichte ρ *   kg/dm3
Grundfl. A **   cm2
Umfang U ** 
cm
Mantelfl. M  dm2
Oberfläche O   dm2
Volumen V   dm3
Masse m  kg
Gewicht G  N
Streckenlast q  N/m


* Wird automatisch durch die Aus­wahl eines Werk­stoffs einge­tragen, kann jeder­zeit ge­ändert werden.

** Um diese Werte ein­geben zu können, wählt man unter Prisma/Dreh­zylinder –> Grund­fläche –> Sonstige Profile –> “Eigenes Profil”. Es ist der Um­fang der Grund­fläche A gemeint.


Die Länge a steht immer normal (rechter Winkel = 90°) auf die Länge b!

Erklärung der Abkürzungen

Dm Durchmesser
Drehzyl. Drehzylinder
Grundfl. Grundfläche
Mantelfl. Mantelfläche

Formeln zur Berechnung von Masse und Gewicht

Mit den folgenden Formeln können die Masse und das Gewicht berechnet werden. Das Volumen und die Dichte müssen bekannt sein:
 

 Masse  m = ρ · V  Masse = Dichte mal Volumen
 Gewicht  G = m · g  Gewicht = Masse mal Erdbeschleunigung

Die Erdbschleunigung g wird auf der Erde mit 9.81 m/s² angenommen.


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Hinweise für die Verwendung des Rechners

  • Folgende Querschnitte, die der Grundfläche eines Prismas entsprechen, sind verfügbar:
    • Kreis (Rund­stange = Dreh­zylinder)
    • Kreisring (Rund­rohr = Hohlzylinder)
    • Halbkreis (Halb-Rund­stab)
    • Rechteck-Profil (z . B. Flach­stahl)
    • Rechteck mit Bohrung
    • Rechteck-Hohlprofil (Form­rohr / Vier­kant­rohr)
    • I-Träger bzw. H-Profil (= Doppel-T-Träger)
    • U- bzw. C-Profil
    • T-Profil
    • L-Profil (Winkelprofil), gleich- & ungleich­schenkelig
    • Gleichschenkeliges und gleich­seitiges Dreieck
    • Regelmäßiges Sechseck/Sechs­kant
    • Regelmäßiges Achteck/Acht­kant
  • Neben den oben angeführten Prismen können folgende Körper berechnet werden:
    • regelmäßige drei­seitige, vier­seitige (= quadratische), sechs­seitige und acht­seitige Pyramide
    • Drehkegel
    • Vollkugel, Hohl­kugel (= Kugelschale), Kugel­segment und Kugel­sektor
    • Volltorus (“Schwimm­reifen”)
  • Die Berechnung für das Volumen gilt auch für schiefe Pyramiden bzw. Prismen!
  • Weiter unten findet man Skizzen von allen zur Aus­wahl stehenden Körpern.
  • Für die richtige Funktion kann keine Gewähr über­nommen werden – für Berichtigungen und Verbesserungs­vor­schläge bitte um Nach­richt mittels Kontakt­formular!

Begriffsklärung

Was versteht man unter Prisma, Kugel­segment, Kugel­sektor und Torus?

Prisma

Als Prisma bezeichnet man einen Körper, dessen Grund- und Deck­flächen kongruent (also deckungs­gleich) und parallel zueinander sind. Alle Seiten­flächen zusammen werden als Mantel­fläche bezeichnet. Die Grund­fläche kann aus beliebigen Viel­ecken bestehen.

Es gibt gerade und schiefe Prismen: Bei geraden Prismen stehen die Seiten­flächen normal auf die Grund­fläche.

Ein besonderes Prisma ist der Quader, dessen sechs Flächen alle Recht­ecke sind, siehe Abbildung. Der Würfel (auch regel­mäßiges Hexa­eder genannt) ist ein spezieller Quader: Bei diesem Körper sind die zwölf Seiten gleich lang und stehen auf ein­ander normal, zudem sind alle sechs Flächen gleich groß.
 

Besonderes Prisma: Quader
Besonderes Prisma: Quader

Kugelsegment oder Kugelabschnitt

Teilt man eine Voll­kugel in zwei Teile, erhält man zwei soge­nannte Kugel­segmente. Eine anderere Bezeich­nung dafür ist Kugel­abschnitt.
Die entstehende Schnittfläche ist eine Kreis­fläche und bildet zusammen mit dem gekrümmten Teil, der Kugel­kalotte oder auch Kugel­haube bzw. Kugel­mütze genannt wird, die Ober­fläche des Kugel­segments. Verläuft der Schnitt genau durch den Kugel­mittel­punkt, erhält man zwei gleich große Körper, die Halb­kugeln heißen.

Viele Kirchen besitzen Dächer in Kugel­segment­form, die als Kuppel oder Dom bezeichnet werden.
 

Kugelsegment oder Kugelabschnitt
Kugelsegment oder Kugelabschnitt

Kugelsektor oder Kugelausschnitt

Beim Kugelsektor – auch als Kugel­aus­schnitt be­zeichnet – gibt es drei Aus­führungen, die vom Öffnungs­winkels des dreh­kegelförmigen Aus­schnitts ab­hängen. Die Spitze des Kegels liegt stets genau im Mittel­punkt der Kugel.

  • Der Winkel beträgt weniger als 180° (Abbildung 1).
  • Der Winkel beträgt genau 180°, es handelt sich also um eine Halb­kugel.
  • Der Winkel beträgt mehr als 180° (Abbildung 2).
 
Kugelsektor (Abbildung 1)
Kugelsektor (Abbildung 1)
Kugelsektor bzw. Kugelausschnitt (Abbildung 2)
Kugelsektor bzw. Kugelausschnitt (Abbildung 2)


In der Praxis ist dieser Körper kaum von Bedeutung.

Torus und Volltorus

Rotiert eine Kreis­fläche um eine Achse, die in der Kreis­ebene liegt, entsteht ein soge­nannter Voll­torus. Der Abstand vom Kreis­mittel­punkt zur Rotations­achse muss dabei größer als der Radius des Kreises sein, das heißt, die Achse darf die Kreis­fläche nicht schneiden.


Lässt man dagegen nur den Umfang des Kreises um diese Achse rotieren, nennt man dieses Gebilde Torus.

Tori (= Mehrzahl von Torus) kennt jeder: ein Schwimm­reifen ist mathe­matisch betrachtet ein Torus.
 

Torus (3D Darstellung mit Netz)
Torus (3D Darstellung mit Netz)

Skizzen der verfügbaren Körper

Skizzen der Prismen

Die folgenden 14 Profile können beim Rechner als Grundfläche ausgewählt werden:
 

Rundstange/Drehzylinder
Rundstange/Drehzylinder
Rundrohr/Hohlzylinder
Rundrohr/Hohlzylinder
Halbrundstab
Halbrundstab
Sechskantstab
Sechskantstab
Achtkantstab
Achtkantstab
Vierkantstab (Quader)
Vierkantstab (Quader)
Rechteck-Rohr
Rechteck-Rohr
Vierkantstab mit Bohrung
Vierkantstab m. Bohrung
I- bzw. H-Profil
I- bzw. H-Profil
T-Profil
T-Profil
C- bzw. U-Profil
C- bzw. U-Profil
L-Profil
L-Profil
gleichschenkeliger Dreieckstab
gleichschenkeliger Dreieckstab
gleichseitiger Dreieckstab

Skizzen der Pyramiden bzw. des Drehkegels

gleichseitige, 3-seitige Pyramide
gleichseitige, 3-seitige Pyramide
4-seitige Pyramide
4-seitige Pyramide
6-seitige Pyramide
6-seitige Pyramide
8-seitige Pyramide
8-seitige Pyramide
Drehkegel
Drehkegel

Skizzen der Kugeln bzw. des Torus

Vollkugel
Vollkugel
Hohlkugel/Kugelschale
Hohlkugel/Kugelschale
Kugelsegment
Kugelsegment
Kugelsektor
Kugelsektor
Torus
Torus

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Seite erstellt im Juni 2019. Zuletzt geändert am 29.07.2022.