Zugkraftgleichung und Fahrwiderstände

Auf dieser Seite wird beschrieben, was man unter der Zug­kraft­gleichung versteht und wie man die einzelnen Wider­stände der Zug­kraft­gleichung, die sogenannten Fahr­widerstände, ermitteln kann. Dabei handelt es sich immer um spezifische Wider­stände. Zudem sind hier einige Tabellen mit Beispiels­werten zu finden.

 

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Inhaltsverzeichnis

Leistung und Zugkraftgleichung

Da mein Zug­kraft­rechner ursprüng­lich nur für Eisen­bahnen gedacht war, werden in allen Formeln die Begriffe Lok und Wagen ver­wendet. Die "Lok" kann man aber durch jedes beliebige Zugfahr­zeug (zum Beispiel PKW, LKW, Traktor, Fahrrad, ... ) ersetzen.  Mit der folgenden Formel wird die erforder­liche Leistung P berechnet, wobei v die Geschwindig­keit in m/s bezeichnet:

 

P = FZ⋅v

 

Die Zugkraft eines Fahr­zeuges berechnet man mit der soge­nannten Zug­kraft­gleichung:

Zugkraftgleichung
Zugkraftgleichung
FZ: Erforderliche Zugkraft in N
mLok: Masse der Lok bzw. des Zugfahrzeugs in kg
mWagen: Gesamtmasse aller angehängten Wagen in kg
g:             Erdbeschleunigung in m/s²
wR: Rollwiderstand
wL: Luftwiderstand
wS: Steigungswiderstand
wK: Krümmungswiderstand für Schienenfahrzeuge
wB: Beschleunigungswiderstand

 

Alle der hier angeführten Wider­stände sind soge­nannte spezi­fische Wider­stände, die stets von der Masse der Fahr­zeuge unab­hängig sind.

Zudem gibt es noch weitere Wider­stände wie den Weichen­wider­stand (nur bei Schienen­fahr­zeugen), den Tunnel­wider­stand und den Wider­stand durch Seiten­wind.

 

Wie man die ein­zelnen Fahr­wider­stände berechnet, wird in den folgenden Abschnitten beschrieben:

Spezifischer Luftwiderstand wL

Der spezifische Luftwiderstand berechnet sich mit folgender Formel:

Formel zur Berechnung des Luftwiderstandes
wL: spezifischer Luftwiderstand
cw: Luftwiderstandsbeiwert
A: Querschnittsfläche in m²
ρ: Dichte der Luft in kg/m³
v: Relativgeschwindigkeit in m/s
mLok: Masse der Lok bzw. des Fahrzeugs in kg
mWagen:    Gesamtmasse aller angehängten Wagen in kg
g: Erdbeschleunigung in m/s²

 

Die Dichte der Luft hängt sowohl von der Temperatur als auch von der See­höhe ab. Mit zunehmender Seehöhe und mit höheren Temperaturen nimmt die Luft­dichte ab. Man kann Werte von 1.2 - 1.4 kg/m³ annehmen. Die Geschwindig­keit setzt sich aus der Fahrge­schwindig­keit plus Gegen­wind (bzw. minus dem Rücken­wind) zusammen.

cw-Werte für die Eisenbahn (Personenzug)

Die folgenden Werte gelten bei einem An­ström­winkel von 0° und einer Norm­fläche von 10 m²:

 

Beispiel
Luftwiderstandsbeiwert
Lokomotive (mit Zug) 0.3 - 0.5
Lok alleine, optimiert 0.45 - 0.60
Lok alleine, normal 0.8 - 1.0
1. Wagen 0.15 - 0.20
Mittlere Wagen 0.10 - 0.15
Endwagen 0.25 - 0.30

Anhand der vorigen Tabelle kann man den Luft­wider­stands­bei­wert eines Rail­jets mit Lok Taurus und 7 Wagen näherungs­weise berechnen: cw = 0.3 + 0.20 + 5 * 0.12 + 0.25 = 1.35

Allgemeine Beispiele für den Luftwiderstandsbeiwert

Beispiele Luftwiderstandsbeiwert
Railjet (Lok Taurus und 7 Wagen) ~1.35 *
Cabriolet 0.6
VW Käfer 0.48
moderner PKW 0.25 - 0.35
Bus ~ 0.65
LKW 0.5 - 0.7
LKW (Sattelzug) 0.7 - 1
Mensch, stehend 0.78
Flügel eines Flugzeugs 0.08

Quelle: Wikipedia

* zuvor berechnet

Spezifischer Rollwiderstand wR

Der Rollwiderstand ist abhängig von:

  • Raddurchmesser; je größer das Rad, desto kleiner der Roll­wider­stand
  • Werkstoffpaarung
  • Materialoberfläche
  • den verwendeten Lagern

 

Die Formel für spezifischen Rollwiderstand lautet:

 

wR = Rollwiderstand ⋅ cos(α)

 

wR: spezifischer Rollwiderstand
Rollwiderstand:     effektiver Rollwiderstand
α: Steigungswinkel in °

 

Für kleine Winkel gilt, dass cos(α) ungefähr eins ist.

Beispiele für den Rollwiderstand

Beispiele Rollwiderstand 
Eisenbahn allgemein 0.001 - 0.003
Personenwagen 0.001 - 0.002
Lokomotive ~ 0.0025
Güterzug ~ 0.002
LKW auf Asphalt/Beton 0.006 - 0.010 *
PKW auf Asphalt/Beton 0.010 - 0.02 *
PKW auf Kopfsteinpflaster 0.015 - 0.03 *
Autoreifen auf losem Sand 0.30 *

* Quelle: Wikipedia

Spezifischer Steigungswiderstand wS

Der spezifische Steigungswiderstand berechnet sich wie folgt:

 

wS = sin(α) ≈ tan(α) (für kleine Winkel)

 

wS:     spezifischer Steigungswiderstand
α: Steigungswinkel [°]

 

Für kleine Winkel (bis ungefähr 10 % bzw. 5.7°) kann statt dem Sinus auch der Tangens verwendet werden. Dann ist tan(α) gleich dem Höhen­unterschied durch den zurück­gelegten Weg in der Horizontalen. Wenn ein Fahrzeug bergab fährt, ist der Steigungs­wider­stand negativ in die Zug­kraft­gleichung einzu­setzen!

Beispiele für den Steigungswiderstand wS von Adhäsionsbahnen

Beispiele wS Maximale Steigung in %
Bemerkung
Semmeringbahn 0.028 2.8  
Arlbergbahn 0.031 3.1  
Mittenwaldbahn 0.038 3.8  
U-Bahn Wien 0.04 4.0 *  
Mühlkreisbahn 0.046 4.6  
Straßenbahn Wien 0.062 6.2 ** laut Wiener Linien sogar 6.45 %
Erzbergbahn 0.071 7.1  
Pöstlingbergbahn 0.115 11.6 in Linz, Österreich
Straßenbahn Lissabon 0.134 13.5 steilste Adhäsionsbahn der Welt

Quelle Steigung: Wikipedia

*  Quelle: Wiener Linien

** Quelle: Machbarkeits­studie Straßen­bahn­linie 13, Stadt Wien/TU Wien.

Beispiele für den Steigungswiderstand wS von Zahnradbahnen

Beispiele wS Maximale Steigung in %
Bemerkung
Schneebergbahn 0.192 19.6  
Schafbergbahn 0.247 25.5  
Zugspitzbahn 0.243 25.0  
Pilatusbahn 0.433 48.0 steilste Zahnradbahn der Welt

Quelle Steigung: Wikipedia

Beispiele für den Steigungswiderstand wS von Straßen

Beispiele Steigungs-widerstand Maximale
Steigung in %
Bemerkung
Großglockner-Hochalpenstraße 0.119 12  
Turracher Höhe - nach Ausbau 0.224 23  
Straße neben Markwardstiege (Wien) ~ 0.3 > 30 steilste Straße Wiens
Turracher Höhe - alte Trassierung 0.305 32 früher steilste Straße Europas
Baldwin Street (Neuseeland) 0.330 35

steilste Straße der Welt

(bis 2019)

Ffordd Pen Llech in Harlech (Wales) 0.350 37.5

steilste Straße Europas und zugleich der ganzen Welt

Spezifischer Beschleunigungswiderstand wB

Der Beschleunigungs­widerstand wird manchmal nicht zum Fahr­wider­stand gezählt; es gilt in diesem Fall:

Gesamtwider­stand = Fahr­wider­stände + Beschleunigungs­wider­stand

 

Den spezifischen Beschleunigungs­wider­stand berechnet man mit folgender Formel:

 

wB = a*β/g

 

wB: spezifischer Beschleunigungswiderstand
a: Beschleunigung des Zuges, kann
auch negativ sein; in m/s²
β: Massenfaktor
g: Erdbeschleunigung in m/s²

 

Passende Werte für die Beschleunigung a; für g setzt man 9.81 m/s² ein. Der Massen­faktor β berücksichtigt das Verhältnis von rotierenden Massen zu trans­latorisch bewegten Massen.

Beispiele für den Massenfaktor

Beispiele Massenfaktor
Reisezug 1.10
Lokomotiven 1.15 - 1.30
ICE 3 1.04
Güterzug (leer) 1.15
Güterzug (beladen) 1.06
Kleinwagen (1. Gang) ~ 1.3 *
Kleinwagen (5. Gang) ~ 1.05 *

Quelle: www.ids.uni-hannover.de

* Quelle: THM

Spezifischer Krümmungswiderstand wK - Eisenbahn

Bei Schienenfahrzeugen tritt insbesondere in engen Bögen ein nicht vernach­lässig­barer Krümmungs­widerstand (= Bogen­wider­stand) auf. Je enger die Kurve, desto größer ist der Wider­stand. Bei Bögen mit Radien über 1000 m kann dieser Wider­stand allerdings vernachlässigt werden.

 

Beispiel:

Für die Semmering­bahn, die Bögen mit Radien von nur 190 m besitzt, kann man einen Wert von ~ 0.002 annehmen.

Sonstige Widerstände - Eisenbahn

Es gibt zum Beispiel noch den zusätzlichen Wider­stand durch Seiten­wind (erhöhte Reib­kräfte zwischen Rad­spur­kranz und Schiene), den Tunnel­wider­stand und den Weichen­wider­stand.

 

Der Tunnelwider­stand ergibt sich aus dem Aufbau einer Druck­welle bzw. durch das Bewegen einer Luft­säule vor dem Fahr­zeug. Dieser Wider­stand hängt ab von der Rauigkeit der Tunnel­wand, der Zug- bzw. Tunnel­länge und dem Verhältnis von Fahrzeug- und Tunnel­quer­schnitt.

 

Der Weichenwider­stand wW ergibt sich durch Krümmungs­wechsel ohne Über­gangs­bögen, durch die Rad­lenker (Reibungs­verluste) und durch das Herz­stück (Verluste durch Stoß wegen Schienen­lücke). Für diesen Wider­stand kann man einen Wert von ~ 0.001 annehmen. Bei nicht verschweißten Schienen gibt es noch den Stoß­widerstand.

 

Quelle: www.ids.uni-hannover.de

Zuletzt geändert am 29.04.2020.