Zugkraftgleichung und Fahrwiderstände
Auf dieser Seite wird beschrieben, was man unter der sogenannten Zugkraftgleichung versteht und wie man die einzelnen Widerstände der Zugkraftgleichung, die sogenannten Fahrwiderstände, ermitteln kann. Dabei handelt es sich immer um spezifische Widerstände. Zudem sind hier einige Tabellen mit Beispielswerten zu finden.
Inhaltsverzeichnis
Zugkraftgleichung
Die benötigte Zugkraft eines Fahrzeuges kann mit der folgenden Formel - der sogenannten Zugkraftgleichung - berechnet werden:
| FZ: | Erforderliche Zugkraft in N |
| mLok: | Masse der Lok bzw. des Fahrzeugs in kg |
| mWagen: | Gesamtmasse aller angehängten Wagen in kg |
| g: | Erdbeschleunigung in m/s² |
| wR: | Rollwiderstand |
| wL: | Luftwiderstand |
| wS: | Steigungswiderstand |
| wK: | Krümmungswiderstand für Schienenfahrzeuge |
| wB: | Beschleunigungswiderstand |
Zudem gibt es noch weitere Widerstände wie den Weichenwiderstand (bei Schienenfahrzeugen), den Tunnelwiderstand und den Widerstand durch Seitenwind.
Wie man die einzelnen Fahrwiderstände berechnet, wird in den folgenden Abschnitten beschrieben:
Spezifischer Luftwiderstand wL
Der Luftwiderstand berechnet sich mit folgender Formel:
| wL: | spezifischer Luftwiderstand |
| cw: | Luftwiderstandsbeiwert |
| A: | Querschnittsfläche in m² |
| ρ: | Dichte der Luft in kg/m³ |
| v: | Relativgeschwindigkeit in m/s |
| mLok: | Masse der Lok bzw. des Fahrzeugs in kg |
| mWagen: | Gesamtmasse aller angehängten Wagen in kg |
| g: | Erdbeschleunigung in m/s² |
Die Dichte der Luft hängt sowohl von der Temperatur als auch von der Seehöhe ab. Mit zunehmender Seehöhe und mit höheren Temperaturen nimmt die Luftdichte ab. Man kann Werte von 1.2 - 1.4 kg/m³ annehmen. Die Geschwindigkeit setzt sich aus der Fahrgeschwindigkeit plus Gegenwind (bzw. minus dem Rückenwind) zusammen.
cw-Werte für die Eisenbahn (Personenzug)
Die folgenden Werte gelten bei einem Anströmwinkel von 0° und einer Normfläche von 10 m²:
|
Beispiel |
Luftwiderstandsbeiwert |
| Lokomotive (mit Zug) | 0.3 - 0.5 |
| Lok alleine, optimiert | 0.45 - 0.60 |
| Lok alleine, normal | 0.8 - 1.0 |
| 1. Wagen | 0.15 - 0.20 |
| Mittlere Wagen | 0.10 - 0.15 |
| Endwagen | 0.25 - 0.30 |
Anhand der vorigen Tabelle kann man sich den Luftwiderstandsbeiwert eines Railjets mit Lok Taurus und 7 Wagen näherungsweise berechnen:
cw = 0.3 + 0.20 + 5 * 0.12 + 0.25 = 1.35
Allgemeine Beispiele für den Luftwiderstandsbeiwert
| Beispiele | Luftwiderstandsbeiwert |
| Railjet (Lok Taurus und 7 Wagen) | ~1.35 * |
| Cabriolet | 0.6 |
| VW Käfer | 0.48 |
| moderner PKW | 0.25 - 0.35 |
| Bus | ~ 0.65 |
| LKW | 0.5 - 0.7 |
| LKW (Sattelzug) | 0.7 - 1 |
| Mensch, stehend | 0.78 |
| Flügel eines Flugzeugs | 0.08 |
Quelle: Wikipedia
* zuvor berechnet
Spezifischer Rollwiderstand wR
Der Rollwiderstand ist abhängig von:
- Raddurchmesser; je größer das Rad, desto kleiner der Rollwiderstand
- Werkstoffpaarung
- Materialoberfläche
- den verwendeten Lagern
wR = Rollwiderstand ⋅ cosα
| wR: | effektiver Rollwiderstand |
| Rollwiderstand: | spezifischer Rollwiderstand |
| α: | Steigungswinkel in ° - für kleine Winkel gilt: cosα ist ungefähr eins |
Beispiele für den Rollwiderstand
| Beispiele |
Rollwiderstand |
| Eisenbahn allgemein | 0.001 - 0.003 |
| Personenwagen | 0.001 - 0.002 |
| Lokomotive | ~ 0.0025 |
| Güterzug | ~ 0.002 |
| LKW auf Asphalt/Beton | 0.006 - 0.010 * |
| PKW auf Asphalt/Beton | 0.010 - 0.02 * |
| PKW auf Kopfsteinpflaster | 0.015 - 0.03 * |
| Autoreifen auf losem Sand | 0.30 * |
* Quelle: Wikipedia
Spezifischer Steigungswiderstand wS
Der Steigungswiderstand berechnet sich wie folgt:
wS = sinα ≈ tanα (für kleine Winkel)
| wS: | spezifischer Steigungswiderstand |
| α: | Steigungswinkel [°] |
Für kleine Winkel (bis ungefähr 6 % bzw. 3.43°) kann statt dem Sinus auch der Tangens verwendet werden. Dann ist tan α gleich dem Höhenunterschied durch den zurückgelegten Weg in der Horizontalen. Wenn ein Fahrzeug bergab fährt, ist der Steigungswiderstand negativ in die Zugkraftgleichung einzusetzen!
Beispiele für den Steigungswiderstand wS von Adhäsionsbahnen
| Beispiele | wS |
Maximale Steigung in % |
Bemerkung |
| Arlbergbahn | 0.031 | 3.1 | |
| Semmeringbahn | 0.028 | 2.8 | |
| Pöstlingbergbahn | 0.1152 | 11.6 | |
| Straßenbahn Wien | 0.062 | 6.2 * | |
| Straßenbahn Lissabon | 0.1338 | 13.5 | steilste Adhäsionsbahn der Welt |
| Mühlkreisbahn | 0.04595 | 4.6 | |
| Erzbergbahn | 0.0708 | 7.1 |
Quelle Steigung: Wikipedia
* Quelle: Machbarkeitsstudie Straßenbahnlinie 13, Stadt Wien/TU Wien
Beispiele für den Steigungswiderstand wS von Zahnradbahnen
| Beispiele | wS |
Maximale Steigung in % |
Bemerkung |
| Schneebergbahn | 0.1923 | 19.6 | |
| Schafbergbahn | 0.2471 | 25.5 | |
| Zugspitzbahn | 0.2425 | 25.0 | |
| Pilatusbahn | 0.4327 | 48.0 | steilste Zahnradbahn der Welt |
Quelle Steigung: Wikipedia
Beispiele für den Steigungswiderstand wS von Straßen
| Beispiele | Steigungs-widerstand |
Maximale Steigung in % |
Bemerkung |
| Großglockner-Hochalpenstraße | 0.1191 | 12 | |
| Straße neben Markwardstiege (Wien) | 0.2961 | 31 | steilste Straße Wiens (?) |
| Turracher Höhe - nach Ausbau | 0.2241 | 23 | |
| Turracher Höhe - alte Trassierung | 0.3048 | 32 | früher steilste Straße Europas |
| Baldwin Street (Neuseeland) | 0.3304 | 35 | steilste Straße der Welt |
Spezifischer Beschleunigungswiderstand wB
Der Beschleunigungswiderstand wird manchmal nicht zum Fahrwiderstand gezählt; es gilt in diesem Fall:
Gesamtwiderstand = Fahrwiderstände + Beschleunigungswiderstand
Den Beschleunigungswiderstand berechnet man mit folgender Formel:
wB = a*β/g
| wB: | spezifischer Beschleunigungswiderstand |
| a: |
Beschleunigung des Zuges, kann auch negativ sein; in m/s² |
| β: | Massenfaktor |
| g: | Erdbeschleunigung in m/s² |
Passende Werte für die Beschleunigung a; für g setzt man 9.81 m/s² ein. Der Massenfaktor β berücksichtigt das Verhältnis von rotierenden Massen zu translatorisch bewegten Massen.
Beispiele für den Massenfaktor
| Beispiele | Massenfaktor |
| Reisezug | 1.10 |
| Lokomotiven | 1.15 - 1.30 |
| ICE 3 | 1.04 |
| Güterzug (leer) | 1.15 |
| Güterzug (beladen) | 1.06 |
| Kleinwagen (1. Gang) | ~ 1.3 * |
| Kleinwagen (5. Gang) | ~ 1.05 * |
Quelle: www.ids.uni-hannover.de
* Quelle: THM
Spezifischer Krümmungswiderstand wK - Eisenbahn
Bei Schienenfahrzeugen tritt insbesondere in engen Bögen ein nicht vernachlässigbarer Krümmungswiderstand (= Bogenwiderstand) auf. Je enger die Kurve, desto größer ist der Widerstand. Bei Bögen mit Radien über 1000 m kann dieser Widerstand allerdings vernachlässigt werden.
Beispiel:
Für die Semmeringbahn, die Bögen mit Radien von nur 190 m besitzt, kann man einen Wert von ~ 0.002 annehmen.
Sonstige Widerstände - Eisenbahn
Es gibt zum Beispiel noch den zusätzlichen Widerstand durch Seitenwind (erhöhte Reibkräfte zwischen Radspurkranz und Schiene), den Tunnelwiderstand und den Weichenwiderstand.
Der Tunnelwiderstand ergibt sich aus dem Aufbau einer Druckwelle bzw. durch das Bewegen einer Luftsäule vor dem Fahrzeug. Dieser Widerstand hängt ab von der Rauigkeit der Tunnelwand, der Zug- bzw. Tunnellänge und dem Verhältnis von Fahrzeug- und Tunnelquerschnitt.
Der Weichenwiderstand wW ergibt sich durch Krümmungswechsel ohne Übergangsbögen, durch die Radlenker (Reibungsverluste) und durch das Herzstück (Verluste durch Stoß wegen Schienenlücke). Für diesen Widerstand kann man einen Wert von ~ 0.001 annehmen. Bei nicht verschweißten Schienen gibt es noch den Stoßwiderstand.
Quelle: www.ids.uni-hannover.de
Zuletzt geändert am 01.07.2019.