Zugkraftgleichung und Fahrwiderstände

Auf dieser Seite wird beschrieben, was man unter der sogenannten Zug­kraft­gleichung versteht und wie man die einzelnen Wider­stände der Zug­kraft­gleichung, die sogenannten Fahr­widerstände, ermitteln kann. Dabei handelt es sich immer um spezifische Wider­stände. Zudem sind hier einige Tabellen mit Beispiels­werten zu finden.

 

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Inhaltsverzeichnis

Zugkraftgleichung

Die benötigte Zugkraft eines Fahr­zeuges kann mit der folgenden Formel - der soge­nannten Zug­kraft­gleichung - berechnet werden:

 

Zugkraftgleichung
Zugkraftgleichung
FZ: Erforderliche Zugkraft in N
mLok: Masse der Lok bzw. des Fahrzeugs in kg
mWagen: Gesamtmasse aller angehängten Wagen in kg
g:             Erdbeschleunigung in m/s²
wR: Rollwiderstand
wL: Luftwiderstand
wS: Steigungswiderstand
wK: Krümmungswiderstand für Schienenfahrzeuge
wB: Beschleunigungswiderstand

 

Zudem gibt es noch weitere Wider­stände wie den Weichen­wider­stand (bei Schienen­fahrzeugen), den Tunnel­wider­stand und den Wider­stand durch Seiten­wind.

 

 

Wie man die einzelnen Fahr­wider­stände berechnet, wird in den folgenden Abschnitten beschrieben:

Spezifischer Luftwiderstand wL

Der Luftwiderstand berechnet sich mit folgender Formel:


Formel zur Berechnung des Luftwiderstandes
wL: spezifischer Luftwiderstand
cw: Luftwiderstandsbeiwert
A: Querschnittsfläche in m²
ρ: Dichte der Luft in kg/m³
v: Relativgeschwindigkeit in m/s
mLok: Masse der Lok bzw. des Fahrzeugs in kg
mWagen:    Gesamtmasse aller angehängten Wagen in kg
g: Erdbeschleunigung in m/s²

 

Die Dichte der Luft hängt sowohl von der Temperatur als auch von der See­höhe ab. Mit zunehmender Seehöhe und mit höheren Temperaturen nimmt die Luft­dichte ab. Man kann Werte von 1.2 - 1.4 kg/m³ annehmen. Die Geschwindig­keit setzt sich aus der Fahrge­schwindig­keit plus Gegen­wind (bzw. minus dem Rücken­wind) zusammen.

cw-Werte für die Eisenbahn (Personenzug)

Die folgenden Werte gelten bei einem An­ström­winkel von 0° und einer Norm­fläche von 10 m²:

 

Beispiel
Luftwiderstandsbeiwert
Lokomotive (mit Zug) 0.3 - 0.5
Lok alleine, optimiert 0.45 - 0.60
Lok alleine, normal 0.8 - 1.0
1. Wagen 0.15 - 0.20
Mittlere Wagen 0.10 - 0.15
Endwagen 0.25 - 0.30

Anhand der vorigen Tabelle kann man sich den Luft­wider­stands­bei­wert eines Rail­jets mit Lok Taurus und 7 Wagen näherungs­weise berechnen:

 

cw = 0.3 + 0.20 + 5 * 0.12 + 0.25 = 1.35

Allgemeine Beispiele für den Luftwiderstandsbeiwert

Beispiele Luftwiderstandsbeiwert
Railjet (Lok Taurus und 7 Wagen) ~1.35 *
Cabriolet 0.6
VW Käfer 0.48
moderner PKW 0.25 - 0.35
Bus ~ 0.65
LKW 0.5 - 0.7
LKW (Sattelzug) 0.7 - 1
Mensch, stehend 0.78
Flügel eines Flugzeugs 0.08

Quelle: Wikipedia

* zuvor berechnet

Spezifischer Rollwiderstand wR

Der Rollwiderstand ist abhängig von:

  • Raddurchmesser; je größer das Rad, desto kleiner der Roll­wider­stand
  • Werkstoffpaarung
  • Materialoberfläche
  • den verwendeten Lagern

 

wR = Rollwiderstand ⋅ cosα

 

wR: effektiver Rollwiderstand
Rollwiderstand:     spezifischer Rollwiderstand
α: Steigungswinkel in ° - für kleine Winkel gilt: cosα ist ungefähr eins

Beispiele für den Rollwiderstand

Beispiele Rollwiderstand 
Eisenbahn allgemein 0.001 - 0.003
Personenwagen 0.001 - 0.002
Lokomotive ~ 0.0025
Güterzug ~ 0.002
LKW auf Asphalt/Beton 0.006 - 0.010 *
PKW auf Asphalt/Beton 0.010 - 0.02 *
PKW auf Kopfsteinpflaster 0.015 - 0.03 *
Autoreifen auf losem Sand 0.30 *

* Quelle: Wikipedia

Spezifischer Steigungswiderstand wS

Der Steigungswiderstand berechnet sich wie folgt:

 

wS = sinα ≈ tanα (für kleine Winkel)

 

wS:     spezifischer Steigungswiderstand
α: Steigungswinkel [°]

 

Für kleine Winkel (bis ungefähr 6 % bzw. 3.43°) kann statt dem Sinus auch der Tangens verwendet werden. Dann ist tan α gleich dem Höhen­unterschied durch den zurück­gelegten Weg in der Horizontalen. Wenn ein Fahrzeug bergab fährt, ist der Steigungs­wider­stand negativ in die Zug­kraft­gleichung einzu­setzen!

Beispiele für den Steigungswiderstand wS von Adhäsionsbahnen

Beispiele wS Maximale Steigung in %
Bemerkung
Arlbergbahn 0.031 3.1  
Semmeringbahn 0.028 2.8  
Pöstlingbergbahn 0.1152 11.6  
Straßenbahn Wien 0.062 6.2 *  
Straßenbahn Lissabon 0.1338 13.5 steilste Adhäsionsbahn der Welt
Mühlkreisbahn 0.04595 4.6  
Erzbergbahn 0.0708 7.1  

Quelle Steigung: Wikipedia

* Quelle: Machbarkeits­studie Straßen­bahn­linie 13, Stadt Wien/TU Wien

Beispiele für den Steigungswiderstand wS von Zahnradbahnen

Beispiele wS Maximale Steigung in %
Bemerkung
Schneebergbahn 0.1923 19.6  
Schafbergbahn 0.2471 25.5  
Zugspitzbahn 0.2425 25.0  
Pilatusbahn 0.4327 48.0 steilste Zahnradbahn der Welt

Quelle Steigung: Wikipedia

Beispiele für den Steigungswiderstand wS von Straßen

Beispiele Steigungs-widerstand Maximale
Steigung in %
Bemerkung
Großglockner-Hochalpenstraße 0.1191 12  
Straße neben Markwardstiege (Wien) 0.2961 31 steilste Straße Wiens (?)
Turracher Höhe - nach Ausbau 0.2241 23  
Turracher Höhe - alte Trassierung 0.3048 32 früher steilste Straße Europas
Baldwin Street (Neuseeland) 0.3304 35 steilste Straße der Welt

Spezifischer Beschleunigungswiderstand wB

Der Beschleunigungs­widerstand wird manchmal nicht zum Fahr­wider­stand gezählt; es gilt in diesem Fall:

Gesamtwiderstand = Fahrwiderstände + Beschleunigungswiderstand

 

Den Beschleunigungswiderstand berechnet man mit folgender Formel:

 

wB = a*β/g

 

wB: spezifischer Beschleunigungswiderstand
a: Beschleunigung des Zuges, kann
auch negativ sein; in m/s²
β: Massenfaktor
g: Erdbeschleunigung in m/s²

 

Passende Werte für die Beschleunigung a; für g setzt man 9.81 m/s² ein. Der Massen­faktor β berücksichtigt das Verhältnis von rotierenden Massen zu trans­latorisch bewegten Massen.

Beispiele für den Massenfaktor

Beispiele Massenfaktor
Reisezug 1.10
Lokomotiven 1.15 - 1.30
ICE 3 1.04
Güterzug (leer) 1.15
Güterzug (beladen) 1.06
Kleinwagen (1. Gang) ~ 1.3 *
Kleinwagen (5. Gang) ~ 1.05 *

Quelle: www.ids.uni-hannover.de

* Quelle: THM

Spezifischer Krümmungswiderstand wK - Eisenbahn

Bei Schienenfahrzeugen tritt insbesondere in engen Bögen ein nicht vernach­lässig­barer Krümmungs­widerstand (= Bogen­wider­stand) auf. Je enger die Kurve, desto größer ist der Wider­stand. Bei Bögen mit Radien über 1000 m kann dieser Wider­stand allerdings vernachlässigt werden.

 

Beispiel:

Für die Semmering­bahn, die Bögen mit Radien von nur 190 m besitzt, kann man einen Wert von ~ 0.002 annehmen.

Sonstige Widerstände - Eisenbahn

Es gibt zum Beispiel noch den zusätzlichen Wider­stand durch Seiten­wind (erhöhte Reib­kräfte zwischen Rad­spur­kranz und Schiene), den Tunnel­wider­stand und den Weichen­wider­stand.

 

Der Tunnelwider­stand ergibt sich aus dem Aufbau einer Druck­welle bzw. durch das Bewegen einer Luft­säule vor dem Fahr­zeug. Dieser Wider­stand hängt ab von der Rauigkeit der Tunnel­wand, der Zug- bzw. Tunnel­länge und dem Verhältnis von Fahrzeug- und Tunnel­quer­schnitt.

 

Der Weichenwider­stand wW ergibt sich durch Krümmungs­wechsel ohne Über­gangs­bögen, durch die Rad­lenker (Reibungs­verluste) und durch das Herz­stück (Verluste durch Stoß wegen Schienen­lücke). Für diesen Wider­stand kann man einen Wert von ~ 0.001 annehmen. Bei nicht verschweißten Schienen gibt es noch den Stoß­widerstand.

 

 

Quelle: www.ids.uni-hannover.de

Zuletzt geändert am 01.07.2019.