Zusammenhang Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck

Auf dieser Seite wird der Zusammenhang zwischen Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck anhand von Diagrammen, Beispielen und Formeln bzw. Herleitungen ausführlich erklärt (Differenzieren bzw. Integrieren der verschiedenen Größen). Zudem wird der Unterschied zwischen Durchschnitts- und Momentan-Geschwindigkeit erläutert.

Abschließend findet man zu diesem Thema noch ein ausführliches praktisches Beispiel, wie es oft in der Schule vorkommt. Es werden unter anderem berechnet: Durchschnitts-, Anfangs-, Aufprall- und Momentan­geschwindigkeit, Steigungen der Tangente (Differential­quotient) und Sekante (Differenzen­quotient).

 

In diesem Zusammen­hang sei auch auf meinen Brems­weg­rechner hingewiesen!

Inhaltsverzeichnis

Übersichtstabelle

Die folgende Tabelle zeigt den Zusammenhang zwischen Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck durch Ableitung bzw. Integration:

 

differenzieren f '
(= ableiten)
Weg s(t) integrieren ∫
  Geschwindigkeit v(t)
 Beschleunigung a(t) 
Ruck

 

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Es sei z. B. die Geschwindigkeit v(t) bekannt. Ist der Weg gesucht, muss man die Geschwindigkeit nach der Zeit t integrieren. Will man die Beschleunigung wissen, ist die Geschwindigkeit abzuleiten (= differenzieren).

Berechnung der Größen durch Integrieren - prinzipielle Vorgangsweise

Die Beschleunigung kann sowohl positiv als auch negativ (= Verzögerung oder Bremsen) sein. Die SI-Einheit der Beschleunigung ist m/s². Die Beschleunigung a(t) wird durch Integration des Rucks j(t) nach der Zeit t berechnet:

Beschleunigung a(t)

 

Die SI-Einheit der Geschwindigkeit ist m/s. Die Umrechnung von m/s in km/h ist einfach: Multipliziert man die Geschwindigkeit in m/s mit 3.6, so erhält man km/h. Die Geschwindigkeit v(t) bekommt man durch Integration der Beschleunigung a(t) nach der Zeit t:

Geschwindigkeit v(t)

 

Die SI-Einheit des Weges ist m. Der Weg s(t) wird durch Integration der Geschwindigkeit v(t) nach der Zeit t berechnet:

Weg s(t)

Einfaches Beispiel: Bestimmung von Geschwindigkeit und Weg (konstante Beschleunigung) durch Integrieren

Die Beschleunigung sei bekannt und betrage konstant a (das heißt, sie ist unabhängig von der Zeit t, der Ruck ist daher 0). Die Geschwindigkeit erhält man durch Integration der Beschleunigung:

 

v(t) = ∫(a)dt = a⋅t + C

 

 

Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt die Geschwindigkeit v0 (= Anfangs­geschwindig­keit). Das t in der obigen Gleichung wird somit durch 0 ersetzt, die Integrations­konstante C wird folglich zu v0, da der erste Term durch die Multiplikation mit 0 verschwindet:

 

v(0) = v0 = a⋅0 + C --->> C = v0

 

 

Daher lautet die Formel für die Geschwindigkeit v(t):

(vgl. Abbildung 2, 3. Zeile, 2. Spalte)

 

v(t) = a⋅t + v          (Gl. 1)

 

 

Integriert man die Geschwindigkeit nach der Zeit t, bekommt man den Weg:

 

Zum Zeitpunkt t = 0 sei der Weg s0. Damit ist die Integrations­konstante C1 = s0 und die Formel für den Weg s(t) lautet daher:

(Gl. 2)


 

Genau diese Formel wird in einem ausführlichen Beispiel weiter unten benötigt: h(t) = -10/2⋅t² + 20⋅t + 15. Der Luft­wider­stand wird vernachlässigt. Man kann die einzelnen Werte direkt ablesen:

  • Beschleunigung a = -10 m/s², das entspricht der gerundeten Erd­beschleunigung g. Sie ist in diesem Fall negativ, da sie der Bewegungs­richtung entgegen wirkt.
  • Anfangsgeschwindigkeit v0 = 20 m/s
  • Anfangsweg (≙ Höhe) s0 = 15 m

 

Oftmals ist jedoch zum Zeitpunkt t = 0 der Weg s0 Null. In diesem Fall wird s0 zu 0, da alle Terme mit t wegfallen (vgl. Abbildung 2, 1. Zeile, 3. Spalte):

 

s(0) = a⋅0²/2 + v0⋅0 + s0 = 0 --->> s0 = 0

Grafischer Zusammenhang - erklärt anhand eines Beispiels

Ein bestimmtes Integral berechnet in einem vorgegebenen Intervall stets die von der Kurve und der x-Achse eingeschlossene Fläche.

 

Die Fläche unterhalb der Beschleunigungs­funktion (Abbildung 1) im Intervall [t0; t1] ist daher die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t1, die Fläche zwischen Kurve und x-Achse in Abbildung 2 entspricht dem zurückgelegten Weg. Eventuell vorhandene Anfangs­bedingungen müssen stets berücksichtigt werden.

 

 

Angabe:

Die Beschleunigung sei konstant 1.25 m/s², die Anfangs­geschwindigkeit v0 beträgt 10 m/s. Gesucht sind die Geschwindigkeit und der Weg inklusive grafischer Darstellung.

 

Lösung:

Setzt man die beiden gegebenen Werte in die vorhin hergeleiteten Formeln ein, kann man die folgenden drei Diagramme zeichnen.

 

In Abbildung 1 sieht man die Beschleunigung a(t) in Abhängigkeit von der Zeit t.

Diagramm mit der Beschleunigung a in Abhängigkeit von der Zeit t
Abbildung 1: Beschleunigung a in Abhängigkeit von der Zeit t

Für die Geschwindigkeit v(t) ergibt sich mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 10 m/s und Einsetzen der gegebenen Werte in Gleichung 1 die folgende Formel:

v(t) = 1.25⋅t + 10

 

Dieser lineare Zusammenhang ist in der nächsten Abbildung dargestellt.

 

Aus dem Diagramm in Abbildung 2 bzw. mit Hilfe der Formel für v(t) kann die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t1 (t = 16 s) bestimmt werden:

v(16) = 1.25⋅16 + 10 = 30 m/s

Diagramm mit der Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit t
Abbildung 2: Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit t

Alternative:

Die Fläche unterhalb der Funktion in Abbildung 1 im Intervall [t0; t1] ist: 1.25 m/s²⋅16 s = 20 m/s. Zum Zeitpunkt t0 beträgt die Anfangs­geschwindigkeit 10 m/s, dieser Wert wird zu 20 m/s addiert. Das ergibt 30 m/s. Dieser Wert entspricht der vorhin ermittelten Geschwindigkeit.

 

 

Die Formel für den Weg s(t) lautet: s(t) = 1.25/2⋅t² + 10⋅t. Diese Formel bekommt man durch Einsetzen der gegebenen Werte in Gleichung 2, wobei s0 Null ist.

 

Diese quadratische Funktion ist in Abbildung 3 zu sehen. Einsetzen für t = 16 s ergibt:

s(16) = 1.25/2⋅16² + 10⋅16 = 320

 

Der Weg zum Zeitpunkt t1 (t = 16 s) beträgt somit 320 m.

Diagramm mit dem Weg s in Abhängigkeit von der Zeit t
Abbildung 3: Weg s in Abhängigkeit von der Zeit t

Alternative:

Die Fläche unterhalb der Funktion in Abbildung 2 bestimmen. Dazu teilt man die Fläche in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck auf: A = a⋅b + b⋅h/2 = (h/2 + a)⋅b. Setzt man für a, b und h die entsprechenden Zahlen­werte ein, erhält man den zurückgelegten Weg:

 

Man kann diese Fläche natürlich auch durch Integrieren berechnen. Bei der Funktion in Abbildung 2 handelt es sich um eine Gerade. Die Geraden­gleichung lautet allgemein: f(x) = k⋅x + d.

Hier wird x durch t ersetzt: v(t) = k⋅t + d. Der Parameter d ist der Wert, wo die Gerade die y-Achse schneidet, in diesem Beispiel ist d gleich 10. Die Variable k bestimmt man mit dem Differenzen­quotienten, also k = Δy/Δt = (30-10)/(16-0) = 20/16. Nun hat man alle notwendigen Werte und man kann somit s(t) berechnen:

 

s(t) = ∫(v(t))dt = ∫(20/16⋅t + 10)dt = 0.625⋅t² + 10⋅t + C

 

 

Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Weg Null, daher ist die Integrations­konstante C gleich 0. Nun setzt man noch die beiden Integrations­grenzen 16 und 0 ein:

 

s(16) = 0.625⋅16² + 10⋅16 = 320 m

Berechnung der Größen durch Differenzieren - prinzipielle Vorgehensweise

Für die Berechnung der Momentan­geschwindigkeit und der Beschleunigung

durch Differenzieren gibt es auch ein praktisches Beispiel weiter unten!

 

 

Die Geschwindigkeit v(t) ist die Ableitung des Weges s(t) nach der Zeit t, siehe dazu auch "Berechnung der Momentan­geschwindigkeit" weiter unten:

 

Die Beschleunigung a(t) ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit v(t) bzw. die zweite Ableitung des Weges s(t) nach der Zeit t:

 

Die SI-Einheit des Ruckes ist m/s³. Den Ruck j(t) berechnet man wie folgt:

Durchschnitts- & Momentangeschwindigkeit

Für die Berechnung der Durchschnitts- und Momentan-Geschwindigkeit gibt es auch ein praktisches Beispiel!

Durchschnittsgeschwindigkeit (Differenzenquotient)

Die Durchschnittsgeschwindigkeit v im Intervall [t0; t1] - auch mittlere Geschwindigkeit genannt - wird mit dem Differenzen­quotienten bestimmt:

Formel zur Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit (Differenzenquotient)
Durchschnittsgeschwindigkeit / Differenzenquotient

 

Der Differenzenquotient entspricht der Steigung k der Sekante (gelbe Linie), vgl. Abbildung 4.

Momentange­schwindig­keit (Differential­quotient - 1. Ab­leitung)

Die momentane Geschwindigkeit v zum Zeit­punkt t0 (auch als momentane Änderungs­rate bezeichnet) wird mit dem Differential­quotienten ermittelt, der der Grenzwert (= Limes) des Differenzen­quotienten ist:

Differentialquotient
Differentialquotient

 

Einfacher ist es jedoch, die Momentan­geschwindigkeit mit Hilfe der 1. Ableitung des Weges nach der Zeit t zu berechnen:

Formel zur Berechnung der Momentangeschwindigkeit (Differentialquotient)
Momentangeschwindigkeit

 

Um die Momentangeschwindigkeit zu bekommen, setzt man für t den Wert t0 ein. Der Differential­quotient bzw. die erste Ab­leitung des Weges nach der Zeit t ent­spricht der Steigung k der Tangente (grüne Linie) zum Zeitpunkt t0, vgl. Abbildung 4 weiter unten.

 

 

Beispiel: Berechnung des Differential­quotienten mit dem Limes

 

Es sei die Funktion h(t) aus dem folgenden Beispiel gegeben: h(t) = s(t) = -5⋅t² + 20t + 15.

 

 

Einsetzen dieser Funktion in den Differential­quotienten und passend heraus­heben ergibt:

 


 

Unter Anwendung des Binomischen Lehr­satzes und mit Kürzen erhält man:

 

 

Nun lässt man t1 gegen t0 gehen:

 

 

Wie man sieht, ist differenzieren wesentlich einfacher und zudem auch schneller!

Ausführliches Beispiel aus der Praxis

Angabe

Eine Kugel oder ein Ball wird zum Zeitpunkt t = 0 s von einem Turm senkrecht in die Höhe geschossen (lotrechter Wurf nach oben). Die Funktions­gleichung für die Höhe über Grund in Abhängigkeit von der Zeit lautet: h(t) = -10/2⋅t² + 20⋅t + 15.

  1. Wie hoch ist der Turm?
  2. Wie groß ist die Abschuss­geschwindigkeit? Gib die Geschwindigkeit auch in km/h an!
  3. Wann hat die Kugel die größte Höhe erreicht und wie hoch ist sie dann?
  4. Berechne die Momentan­geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 1 und die Gleichung der Tangente!
  5. Ermittle die Durchschnitts­geschwindigkeit im Intervall [1; 2] und die Gleichung der Sekante!
  6. Wann und mit welcher Geschwindigkeit trifft sie auf dem Boden auf?
  7. Bestimme die Beschleunigung in Abhängigkeit von t!
  8. Zeichne h(t), v(t) und a(t).

 

Hier geht's direkt zu den Lösungen: a), b), c), d), e), f), g), h)

 

Wie man auf die Funktion h(t) der Angabe kommen kann, wird weiter oben erklärt.

Lösungen der Aufgabe

Antwort a)

Um die Höhe des Turmes zu bestimmen, muss man in der Funktions­gleichung h(t) t gleich Null setzen:

h(0) = - 10/2⋅0² + 20⋅0 + 15. Die ersten beiden Terme fallen weg, somit erhält man: h(0) = 15. Der Turm ist also 15 m hoch.

 

Antwort b)

Um die Momentangeschwindigkeit zu erhalten, muss man h(t) einmal nach t ableiten: v(t) = - 10⋅t + 20.

Zum Zeitpunkt des Abschusses ist t gleich 0, also erhält man: v(0) = - 10⋅0 + 20 = 20 m/s. Um km/h zu erhalten, multipliziert man die Geschwindigkeit in m/s einfach mit 3.6: 20⋅3.6 = 72 km/h.

 

Antwort c)

Die größte Höhe hat die Kugel dann erreicht, wenn die Geschwindigkeit Null wird. Also: v(t) = 0 = - 10⋅t + 20. Durch Umformen erhält man: t = 2 s.

Andere Überlegung: Die größte Höhe muss ein Extremwert ("Hochpunkt") der Funktion h(t) sein. Extremwerte werden berechnet, indem man die erste Ableitung der Funktion bildet und diese gleich Null setzt, da hier die Tangente waagrecht verläuft und somit die Steigung 0 sein muss, siehe auch Steigung der Tangente:

h'(t) = v(t) = 0 = - 10⋅t + 20.

 

Um die gesuchte Höhe zu erhalten, setzt man für t den eben ermittelten Wert ein:

h(2) = - 10/2⋅2² + 20⋅2 + 15 = 35 m.

 

Antwort d)

Die Momentangeschwindigkeit wurde schon unter b) berechnet. Um die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 2 zu erhalten, setzt man t gleich 1: v(1) = - 10⋅1 + 20 = 10 m/s.

 

Die Gleichung einer Geraden lautet allgemein: f(x) = y = k⋅x + d. Im vorliegenden Fall wird x durch t ersetzt: f(t) = y = k⋅t + d. Die Steigung ist bekannt, sie entspricht der eben berechneten Geschwindigkeit: k = 10. Die t-Koordinate ist 1, den y-Wert erhält man, indem man 1 für t in h(t) einsetzt: h(1) = - 10/2⋅1² + 20⋅1 + 15 = y = 30.

 

Somit lautet die Geradengleichung: 30 = 10⋅1 + d. Durch Umformen ergibt sich d = 20. Nun setzt man in y = k⋅t + d die ermittelten Werte für k und d ein und erhält damit die gesuchte Tangenten­gleichung:

y = 10⋅t + 20.

 

Antwort e)

Die Durchschnittsgeschwindigkeit v im Intervall [1; 2], die der Steigung k der Sekante entspricht, wird mit dem Differenzen­quotienten ermittelt. Den Wert h(t1) = h(2) = 35 kennt man schon aus Antwort c), h(t0) = h(1) muss noch bestimmt werden, indem man für t die Zahl 1 in h(t) einsetzt: h(1) = - 10/2⋅1² + 20⋅1 + 15 = 30 m. Mit den nun erhaltenen Werten kann der Differenzen­quotient berechnet werden:

 

Die Gleichung der Sekante bestimmt man ähnlich wie in d). In die allgemeine Geraden­gleichung setzt man einen Punkt und die soeben berechnete Steigung k (≙ dem Differenzen­quotienten) ein: f(2) = 35 = 5⋅2 + d. Formt man dies um, erhält man d = 25 und damit die Sekanten­gleichung: y = 5⋅t + 25.

 

Antwort f)

Die Kugel trifft am Boden auf, wenn die Höhe Null ist. Also setzt man h(t) gleich 0:

0 = - 10/2⋅t² + 20⋅t + 15. Diese quadratische Gleichung löst man mit der sogenannten kleinen oder großen Lösungs­formel bzw. mit dem Taschen­rechner. Man erhält: t1,2 = 2 ± √(7) s. Es ist nur die positive Lösung gültig, also beträgt t ≈ 4.65 s.

Andere Überlegung: Der Auftreffpunkt muss eine Nullstelle der Funktion h(t) sein. Die Null­stellen werden berechnet, indem man die Funktion h(t) gleich Null setzt.

 

Die Auftreff­geschwindigkeit bestimmt man, indem man in der Gleichung von der Geschwindigkeit t gleich 4.65 setzt: v(4.65) = - 10⋅4.65 + 20 = - 26.5 m/s. Da die Kugel nicht mehr hinauf-, sondern hinunterfliegt, ist die Geschwindigkeit nun negativ!

 

Antwort g)

Die Beschleunigung erhält man, indem der Weg zweimal bzw. die Geschwindigkeit einmal nach der Zeit t abgeleitet wird. In diesem Beispiel lautet die Beschleunigung: a(t) = -10 m/s². Die Beschleunigung ist also konstant und nicht mehr von t abhängig, d. h. sie ist zu jedem Zeitpunkt t gleich groß.

 

Antwort h)

Abbildung 4 zeigt das Weg-Zeit Diagramm, ergänzt mit der Sekante für das Intervall [1; 2] und der Tangente im Punkt P0 (1/30).

 

In den Abbildungen 5 bzw. 6 sieht man die Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit t bzw. die konstante Beschleunigung a.

Weg-Zeit Diagramm mit Differenzen- und Differentialquotient
Abbildung 4: Weg-Zeit Diagramm mit Differenzen- und Differentialquotient
Geschwindigkeit-Zeit Diagramm
Abbildung 5: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm
Beschleunigung-Zeit Diagramm
Abbildung 6: Beschleunigung-Zeit Diagramm

Seite erstellt im März 2015. Zuletzt geändert am 03.07.2019.