Zusammenhang Weg, Geschwin­dig­keit, Beschleu­nigung und Ruck

Auf dieser Seite wird der Zusammen­hang zwischen Weg, Geschwindig­keit, Beschleu­nigung und Ruck anhand von Dia­grammen, Bei­spielen und Formeln bzw. Her­leitungen ausführlich erklärt (Differenzieren bzw. Integrieren der ver­schiedenen Größen). Zudem wird der Unter­schied zwischen Durch­schnitts- und Momentan-Geschwin­dig­keit erläutert.

Abschließend findet man zu diesem Thema noch ein ausführ­liches praktisches Beispiel, wie es oft in der Schule vorkommt. Es werden unter anderem berechnet: Durch­schnitts-, Anfangs-, Aufprall- und Momentan­geschwin­dig­keit, Steigungen der Tangente (Differential­quotient) und Sekante (Differenzen­quotient).

 

In diesem Zusammen­hang sei auch auf meinen Brems­weg­rechner und die Formel­sammlung hinge­wiesen!

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Inhaltsverzeichnis

Übersichtstabelle

Die folgende Tabelle zeigt den Zusammen­hang zwischen Weg, Geschwin­dig­keit, Beschleu­nigung und Ruck durch Ab­leitung bzw. Integration:

 

differenzieren f '
(= ableiten)
Weg s(t) integrieren ∫
  Geschwindigkeit v(t)
 Beschleunigung a(t) 
Ruck

 

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Es sei z. B. die Geschwindig­keit v(t) bekannt. Ist der Weg gesucht, muss man die Geschwin­dig­keit nach der Zeit t integrieren. Will man die Beschleu­nigung wissen, ist die Geschwin­dig­keit abzu­leiten (= differen­zieren).

Berechnung der Größen durch Integrieren - prinzipielle Vorgangsweise

Die Beschleunigung kann sowohl positiv als auch negativ (= Verzö­gerung oder Bremsen) sein. Die SI-Einheit der Beschleu­nigung ist m/s². Die Beschleu­nigung a(t) wird durch Inte­gration des Rucks j(t) nach der Zeit t berechnet:

Beschleunigung a(t)

 

Die SI-Einheit der Geschwin­digkeit ist m/s. Die Umrechnung von m/s in km/h ist einfach: Multipliziert man die Geschwin­dig­keit in m/s mit 3.6, so erhält man km/h. Die Ge­schwin­dig­keit v(t) bekommt man durch Inte­gration der Beschleu­nigung a(t) nach der Zeit t:

Geschwindigkeit v(t)

 

Die SI-Einheit des Weges ist m. Der Weg s(t) wird durch Inte­gration der Geschwin­dig­keit v(t) nach der Zeit t berechnet:

Weg s(t)

Einfaches Beispiel: Bestimmung von Geschwindigkeit und Weg (konstante Beschleunigung) durch Integrieren

Die Beschleunigung sei bekannt und betrage konstant a (das heißt, sie ist unab­hängig von der Zeit t, der Ruck ist daher 0). Die Geschwin­dig­keit erhält man durch Inte­gration der Beschleu­nigung:

 

v(t) = ∫(a)dt = a⋅t + C

 

 

Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt die Geschwindigkeit v0 (= Anfangs­geschwindig­keit). Das t in der obigen Gleichung wird somit durch 0 ersetzt, die Integrations­konstante C wird folglich zu v0, da der erste Term durch die Multiplikation mit 0 verschwindet:

 

v(0) = v0 = a⋅0 + C --->> C = v0

 

 

Daher lautet die Formel für die Geschwindig­keit v(t):

(vgl. Formeln mit Anfangs­geschwin­dig­keit, 3. Zeile, 2. Spalte)

 

v(t) = a⋅t + v          (Gl. 1)

 

 

Integriert man die Geschwindig­keit nach der Zeit t, bekommt man den Weg:

 

Zum Zeitpunkt t = 0 sei der Weg s0. Damit ist die Inte­grations­kons­tante C1 = s0 und die Formel für den Weg s(t) lautet daher:

(Gl. 2)


 

Genau diese Formel wird in einem aus­führlichen Bei­spiel weiter unten benötigt: h(t) = -10/2⋅t² + 20⋅t + 15. Der Luft­wider­stand wird ver­nach­lässigt. Man kann die ein­zelnen Werte direkt ab­lesen:

  • Beschleunigung a = -10 m/s², das ent­spricht der gerundeten Erd­beschleu­nigung g. Sie ist in diesem Fall negativ, da sie der Bewegungs­richtung ent­gegen wirkt.
  • Anfangsgeschwindigkeit v0 = 20 m/s
  • Anfangsweg (≙ Höhe) s0 = 15 m

 

Oftmals ist jedoch zum Zeit­punkt t = 0 der Weg s0 null. In diesem Fall wird s0 zu 0, da alle Terme mit t weg­fallen:

 

s(0) = a⋅0²/2 + v0⋅0 + s0 = 0 --->> s0 = 0

Grafischer Zusammenhang - erklärt anhand eines Beispiels

Allgemeines:

Ein bestimmtes Integral berechnet in einem vorge­gebenen Inter­vall stets die von der Kurve und der x-Achse einge­schlossene Fläche.

 

Die Fläche unterhalb der Beschleu­nigungs­funktion (Abbildung 1) im Intervall [t0; t1] ist die Änderung der Geschwin­digkeit in diesem Inter­vall. Addiert man zu diesem Wert noch die Anfangs­geschwin­digkeit v0 (das ist die Geschwin­dig­keit zum Zeit­punkt t0), er­hält man die Geschwin­dig­keit zum Zeit­punkt t1.

 

Die Fläche zwischen Kurve und x-Achse in Abbildung 2 ent­spricht dem im Intervall [t0; t1] zurück­gelegten Weg. Eventuell vorhandene Anfangs­bedingungen müssen stets berück­sichtigt werden!

 

 

Angabe:

Die Beschleunigung sei kons­tant 1.25 m/s², die An­fangs­geschwin­dig­keit v0 beträgt 10 m/s. Gesucht sind die Geschwin­dig­keit und der Weg inklusive grafischer Dar­stellung.

 

Lösung:

Setzt man die beiden gege­benen Werte in die vor­hin herge­leiteten Formeln ein, kann man die folgenden drei Dia­gramme zeichnen.

 

In Abbildung 1 sieht man die Beschleunigung a(t) in Ab­hängig­keit von der Zeit t.

Diagramm mit der Beschleunigung a in Abhängigkeit von der Zeit t
Abbildung 1: Beschleunigung a in Abhängigkeit von der Zeit t

Für die Geschwindigkeit v(t) ergibt sich mit der Anfangs­geschwin­dig­keit v0 = 10 m/s und Einsetzen der gege­benen Werte in Gleichung 1 die folgende Formel:

v(t) = 1.25⋅t + 10

 

Dieser lineare Zusammen­hang ist in der nächsten Ab­bildung darge­stellt.

 

Aus dem Diagramm in Abbildung 2 bzw. mit Hilfe der Formel für v(t) kann die Geschwin­dig­keit zum Zeit­punkt t1 (t = 16 s) bestimmt werden:

v(16) = 1.25⋅16 + 10 = 30 m/s

Diagramm mit der Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit t
Abbildung 2: Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit t

Alternative:

Die Fläche unterhalb der Funktion in Ab­bildung 1 im Inter­vall [t0; t1] ist: 1.25 m/s²⋅16 s = 20 m/s. Zum Zeit­punkt t0 beträgt die Anfangs­geschwin­dig­keit 10 m/s, dieser Wert wird zu 20 m/s addiert. Das ergibt 30 m/s. Dieser Wert ent­spricht der vorhin er­mittelten Ge­schwin­dig­keit.

 

 

Die Formel für den Weg s(t) lautet: s(t) = 1.25/2⋅t² + 10⋅t. Diese Formel bekommt man durch Ein­setzen der gege­benen Werte in Gleichung 2, wobei s0 null ist.

 

Diese quadratische Funk­tion ist in Abbildung 3 zu sehen. Ein­setzen für t = 16 s ergibt:

s(16) = 1.25/2⋅16² + 10⋅16 = 320

 

Der Weg zum Zeit­punkt t1 (t = 16 s) be­trägt somit 320 m.

Diagramm mit dem Weg s in Abhängigkeit von der Zeit t
Abbildung 3: Weg s in Abhängigkeit von der Zeit t

Alternative:

Die Fläche unter­halb der Funk­tion in Ab­bildung 2 bestimmen. Dazu teilt man die Fläche in ein Recht­eck und ein recht­winkliges Drei­eck auf: A = a⋅b + b⋅h/2 = (h/2 + a)⋅b. Setzt man für a, b und h die ent­sprechenden Zahlen­werte ein, er­hält man den zurück­gelegten Weg:

 

Man kann diese Fläche natür­lich auch durch Inte­grieren berechnen. Bei der Funk­tion in Ab­bildung 2 handelt es sich um eine Gerade. Die Geraden­gleichung lautet all­gemein: f(x) = k⋅x + d.

Hier wird x durch t ersetzt: v(t) = k⋅t + d. Der Para­meter d ist der Wert, wo die Gerade die y-Achse schneidet, in diesem Bei­spiel ist d gleich 10. Die Variable k bestimmt man mit dem Differ­enzen­quotienten, also k = Δy/Δt = (30-10)/(16-0) = 20/16. Nun hat man alle not­wendigen Werte und man kann somit s(t) berechnen:

 

s(t) = ∫(v(t))dt = ∫(20/16⋅t + 10)dt = 0.625⋅t² + 10⋅t + C

 

 

Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Weg null, daher ist die Integrations­konstante C gleich 0. Nun setzt man noch die beiden Inte­grations­grenzen 16 und 0 ein:

 

s(16) = 0.625⋅16² + 10⋅16 = 320 m

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Berechnung der Größen durch Differenzieren - prinzipielle Vorgehensweise

Für die Berechnung der Momentan­geschwin­digkeit und der Beschleu­nigung

durch Differ­enzieren gibt es auch ein praktisches Bei­spiel weiter unten!

 

 

Die Geschwindigkeit v(t) ist die Ableitung des Weges s(t) nach der Zeit t, siehe dazu auch "Berechnung der Momentan­geschwin­digkeit" weiter unten:

 

Die Beschleunigung a(t) ist die erste Ab­leitung der Geschwin­dig­keit v(t) bzw. die zweite Ab­leitung des Weges s(t) nach der Zeit t:

 

Die SI-Einheit des Ruckes ist m/s³. Den Ruck j(t) berechnet man wie folgt:

Durchschnitts- & Momentan­ge­schwin­dig­keit

Für die Berechnung der Durch­schnitts- und Momentan-Ge­schwin­dig­keit gibt es auch ein praktisches Bei­spiel!

Durchschnittsgeschwindigkeit (Differenzenquotient)

Die Durchschnittsgeschwindig­keit v im Intervall [t0; t1] - auch mittlere Ge­schwin­dig­keit genannt - wird mit dem Differ­enzen­quotienten bestimmt:

Formel zur Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit (Differenzenquotient)
Durchschnittsgeschwindigkeit / Differenzenquotient

 

Der Differenzenquotient ent­spricht der Steigung k der Sekante (gelbe Linie), vgl. Ab­bildung 4.

Momentange­schwindig­keit (Differential­quotient - 1. Ab­leitung)

Die momentane Geschwindig­keit v zum Zeit­punkt t0 (auch als momen­tane Änderungs­rate be­zeichnet) wird mit dem Differ­ential­quotienten er­mittelt, der der Grenz­wert (= Limes) des Differ­enzen­quotienten ist:

Differentialquotient
Differentialquotient

 

Einfacher ist es jedoch, die Momentan­geschwin­digkeit mit Hilfe der 1. Ableitung des Weges nach der Zeit t zu berechnen:

Formel zur Berechnung der Momentangeschwindigkeit (Differentialquotient)
Momentangeschwindigkeit

 

Um die Momentan­geschwin­dig­keit zu bekommen, setzt man für t den Wert t0 ein. Der Differ­ential­quotient bzw. die erste Ab­leitung des Weges nach der Zeit t ent­spricht der Steigung k der Tangente (grüne Linie) zum Zeitpunkt t0, vgl. Abbildung 4 weiter unten.

 

 

Beispiel: Berechnung des Differ­ential­quotienten mit dem Limes

 

Es sei die Funktion h(t) aus dem folgenden Bei­spiel ge­geben: h(t) = s(t) = -5⋅t² + 20t + 15.

 

 

Einsetzen dieser Funktion in den Differ­ential­quotienten und passend her­aus­heben ergibt:

 


 

Unter Anwendung des Bino­mischen Lehr­satzes und mit Kürzen erhält man:

 

 

Nun lässt man t1 gegen t0 gehen:

 

 

Wie man sieht, ist differ­enzieren wesent­lich ein­facher und auch schneller!

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Ausführliches Beispiel aus der Praxis

Angabe

Eine Kugel oder ein Ball wird zum Zeitpunkt t = 0 s von einem Turm senk­recht in die Höhe ge­schossen (lotrechter Wurf nach oben). Die Funktions­gleichung für die Höhe über Grund in Ab­hängig­keit von der Zeit lautet: h(t) = -10/2⋅t² + 20⋅t + 15.

  1. Wie hoch ist der Turm?
  2. Wie groß ist die Abschuss­geschwin­dig­keit? Gib die Geschwin­dig­keit auch in km/h an!
  3. Wann hat die Kugel die größte Höhe erreicht und wie hoch ist sie dann?
  4. Berechne die Momentan­ge­schwin­dig­keit zum Zeit­punkt t = 1 und die Gleichung der Tangente!
  5. Ermittle die Durchschnitts­ge­schwin­dig­keit im Intervall [1; 2] und die Gleichung der Sekante!
  6. Wann und mit welcher Geschwin­dig­keit trifft sie auf dem Boden auf?
  7. Bestimme die Beschleu­nigung in Ab­hängig­keit von t!
  8. Zeichne h(t), v(t) und a(t).

 

Hier geht's direkt zu den Lösungen: a), b), c), d), e), f), g), h)

 

Wie man auf die Funktion h(t) der Angabe kommen kann, wird weiter oben erklärt.

Lösungen der Aufgabe

Antwort a)

Um die Höhe des Turmes zu be­stimmen, muss man in der Funktions­gleichung h(t) t gleich Null setzen:

h(0) = - 10/2⋅0² + 20⋅0 + 15. Die ersten beiden Terme fallen weg, somit er­hält man: h(0) = 15. Der Turm ist also 15 m hoch.

 

Antwort b)

Um die Momentange­schwindig­keit zu erhalten, muss man h(t) ein­mal nach t ab­leiten: v(t) = - 10⋅t + 20.

Zum Zeitpunkt des Ab­schusses ist t gleich 0, also erhält man: v(0) = - 10⋅0 + 20 = 20 m/s. Um km/h zu er­halten, multi­pliziert man die Ge­schwin­dig­keit in m/s einfach mit 3.6: 20⋅3.6 = 72 km/h.

 

Antwort c)

Die größte Höhe hat die Kugel dann er­reicht, wenn die Ge­schwin­dig­keit null wird. Also: v(t) = 0 = - 10⋅t + 20. Durch Umformen erhält man: t = 2 s.

Andere Über­legung: Die größte Höhe muss ein Extrem­wert ("Hoch­punkt") der Funktion h(t) sein. Extrem­werte werden berechnet, indem man die erste Ab­leitung der Funktion bildet und diese gleich null setzt, da hier die Tangente waag­recht ver­läuft und somit die Steigung 0 sein muss, siehe auch Steigung der Tangente:

h'(t) = v(t) = 0 = - 10⋅t + 20.

 

Um die gesuchte Höhe zu erhalten, setzt man für t den eben ermittelten Wert ein:

h(2) = - 10/2⋅2² + 20⋅2 + 15 = 35 m.

 

Antwort d)

Die Momentan­geschwin­digkeit wurde schon unter b) berechnet. Um die Ge­schwin­dig­keit zum Zeit­punkt t = 2 zu er­halten, setzt man t gleich 1: v(1) = - 10⋅1 + 20 = 10 m/s.

 

Die Gleichung einer Geraden lautet all­gemein: f(x) = y = k⋅x + d. Im vor­liegenden Fall wird x durch t er­setzt: f(t) = y = k⋅t + d. Die Stei­gung ist be­kannt, sie ent­spricht der eben berech­neten Ge­schwin­digkeit: k = 10. Die t-Koor­dinate ist 1, den y-Wert er­hält man, indem man 1 für t in h(t) einsetzt: h(1) = - 10/2⋅1² + 20⋅1 + 15 = y = 30.

 

Somit lautet die Geraden­gleichung: 30 = 10⋅1 + d. Durch Umformen ergibt sich d = 20. Nun setzt man in y = k⋅t + d die er­mittelten Werte für k und d ein und er­hält damit die ge­suchte Tangenten­gleichung:

y = 10⋅t + 20.

 

Antwort e)

Die Durchschnitts­geschwin­dig­keit v im Intervall [1; 2], die der Stei­gung k der Sekante ent­spricht, wird mit dem Differ­enzen­quotienten er­mittelt. Den Wert h(t1) = h(2) = 35 kennt man schon aus Ant­wort c), h(t0) = h(1) muss noch be­stimmt werden, indem man für t die Zahl 1 in h(t) einsetzt: h(1) = - 10/2⋅1² + 20⋅1 + 15 = 30 m. Mit den nun er­haltenen Werten kann der Differ­enzen­quotient berech­net werden:

 

Die Gleichung der Sekante bestimmt man ähnlich wie in d). In die all­gemeine Geraden­gleichung setzt man einen Punkt und die soeben berechnete Steigung k (≙ dem Differ­enzen­quotienten) ein: f(2) = 35 = 5⋅2 + d. Formt man dies um, erhält man d = 25 und damit die Sekanten­gleichung: y = 5⋅t + 25.

 

Antwort f)

Die Kugel trifft am Boden auf, wenn die Höhe Null ist. Also setzt man h(t) gleich 0:

0 = - 10/2⋅t² + 20⋅t + 15. Diese quadratische Gleichung löst man mit der soge­nannten kleinen oder großen Lösungs­formel bzw. mit dem Taschen­rechner. Man erhält: t1,2 = 2 ± √(7) s. Es ist nur die positive Lösung gültig, also beträgt t ≈ 4.65 s.

Andere Über­legung: Der Auftreff­punkt muss eine Null­stelle der Funktion h(t) sein. Die Null­stellen werden berechnet, indem man die Funktion h(t) gleich Null setzt.

 

Die Auftreff­geschwin­dig­keit bestimmt man, indem man in der Gleichung von der Ge­schwin­dig­keit t gleich 4.65 setzt: v(4.65) = - 10⋅4.65 + 20 = - 26.5 m/s. Da die Kugel nicht mehr hinauf-, sondern hinunter­fliegt, ist die Ge­schwin­dig­keit nun negativ!

 

Antwort g)

Die Beschleunigung erhält man, indem der Weg zwei­mal bzw. die Ge­schwin­dig­keit einmal nach der Zeit t abge­leitet wird. In diesem Bei­spiel lautet die Beschleu­nigung: a(t) = -10 m/s². Die Beschleu­nigung ist also konstant und nicht mehr von t ab­hängig, d. h. sie ist zu jedem Zeitpunkt t gleich groß.

 

Antwort h)

Abbildung 4 zeigt das Weg-Zeit Dia­gramm, ergänzt mit der Sekante für das Intervall [1; 2] und der Tangente im Punkt P0 (1/30).

 

In den Abbildungen 5 bzw. 6 sieht man die Ge­schwin­digkeit v in Abhängig­keit von der Zeit t bzw. die konstante Beschleu­nigung a.

Weg-Zeit Diagramm mit Differenzen- und Differentialquotient
Abbildung 4: Weg-Zeit Diagramm mit Differenzen- und Differentialquotient
Geschwindigkeit-Zeit Diagramm
Abbildung 5: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm
Beschleunigung-Zeit Diagramm
Abbildung 6: Beschleunigung-Zeit Diagramm

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Seite erstellt im März 2015. Zuletzt geändert am 15.10.2020.