Flächenträgheitsmoment & Satz von Steiner

Hier findet man neben der Theorie auch die Herleitung der Formeln zur Berechnung des Flächen­trägheits­moments für einen Rechteck-Querschnitt und für ein I-Profil. Bei einer Herleitung des Flächen­trägheits­moments eines unsymmetrischen Querschnitts wird der Satz von Steiner verwendet.

 

All jenen, die nur an der Berechnung des Flächen­trägheits­moments von verschiedenen Profilen interessiert sind, ist einer der beiden folgenden Links zu empfehlen:

 

>> Flächenträgheits- und Widerstands­momente-Rechner

>> Formeln wichtiger Flächenträgheits­momente (Tabelle)

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Die übliche Einheit für das Flächen­trägheits­moment I ist cm4 oder mm4, es kann stets nur positive Werte annehmen. Eine alternative Bezeichnung dafür ist Flächen­moment 2. Grades.

 

Das Flächen­trägheits­moment wird für viele Anwendungen in der Mechanik verwendet. Man benötigt es zum Beispiel zur Berechnung des Widerstands­moments und zur Untersuchung der Knicksicherheit von Stäben.

Formeln zur Berechnung des Flächenträgheitsmoments

Die Flächenträgheits­momente Iy und Iz bezüglich der y- bzw. bezüglich der z-Achse sind wie folgt definiert:

Definition des Flächenträgheitsmoments bezüglich der y-Achse
Definition des Flächenträgheitsmoments bezüglich der z-Achse
A Fläche
y, z Abstände

Beispiel 1: Herleitung der Flächen­trägheits­momente für ein Recht­eck

Damit man obige Formeln besser verstehen kann, erfolgt in dieser Aufgabe die Berechnung des Flächen­trägheits­moments eines Rechteck­querschnitts bezüglich der y-Achse. Der Flächen­inhalt der mit dA bezeichneten Fläche beträgt:

 

dA = B · dz

 


 

Nun benötigt man die Formel zur Berechnung des Flächen­trägheits­moments Iy bezüglich der y-Achse. Die Integrations­grenzen sind -H/2 bzw. +H/2, mit Einsetzen für dA = B · dz und Kürzen erhält man das gesuchte Flächen­trägheits­moment:

 

Weitere Formeln wichtiger Flächen­trägheits­momente findet man in meiner Formelsammlung!

Flächenträgheitsmomente symmetrischer Flächen

Wenn die Schwerpunkte der Teil­flächen und der Gesamt­schwerpunkt auf einer Linie liegen, die zugleich meist die Symmetrie­linie des Quer­schnitts ist, kann man die einzelnen Flächen­trägheits­momente addieren bzw. subtrahieren. Auf diese Weise können viele Flächen­trägheits­momente komplexerer Quer­schnitte sehr einfach berechnet werden.

Beispiel 2: Herleitung der Flächen­trägheits­momente eines I-Profils

Das rechte Bild zeigt ein I-Profil, das um die beiden Koordinaten­achsen symmetrisch ist.

 

Aufgabe: Es sollen die Flächen­trägheits­momente

  1. bezüglich der y- und
  2. bezüglich der z-Achse

hergeleitet werden.

 


 

 

a) Herleitung des Flächen­trägheits­moments vom I-Profil bezüglich der y-Achse

 

Alle Schwerpunkte (gekennzeichnet durch Kreise) der Teil­flächen liegen auf der y-Achse. Somit kann das Gesamt­flächen­trägheits­moment durch Abzug der Teilflächen­trägheits­momente berechnet werden:

 

Es werden zunächst folgende Zusammen­hänge definiert:

 

b3 = B - b       h4 = H - 2 · h

 

 

Mit der in Beispiel 1 hergeleiteten Formel werden anschließend die Flächen­trägheits­momente der drei Teil­flächen berechnet:

 

Das Flächen­trägheits­moment des I-Trägers bezüglich der y-Achse lautet daher:

 

 

b) Herleitung des Flächen­trägheitsmoments vom I-Profil bezüglich der z-Achse

 

Auch hier liegen alle Schwerpunkte (gekennzeichnet durch Kreise) der Teilflächen auf einer gemeinsamen Linie, diesmal auf der z-Achse. Das Gesamt­flächen­trägheits­moment wird durch Addition der Teilflächen­trägheits­momente berechnet:

 


Es wird zuerst folgender Zusammenhang definiert:

 

h4 = H - 2 · h

 

 

Nun werden mit der in Beispiel 1 hergeleiteten Formel die Flächen­trägheits­momente der einzelnen Teilflächen berechnet, wobei jedoch h und B zu vertauschen sind:

 

Als Ergebnis erhält man durch Addition der drei Teil­flächen das Flächen­trägheits­moment bezüglich der z-Achse:

 

Die in diesem Beispiel berechneten Flächen­trägheits­momente bezüglich der y- bzw. bezüglich der z-Achse stimmen mit den Formeln für ein I-Profil überein.

Flächenträgheitsmomente unsymmetrischer Flächen - Satz von Steiner

Falls die Querschnitts­fläche unsymmetrisch ist, wird der Satz von Steiner benötigt. Das Flächen­trägheits­moment I der Gesamt­fläche bezüglich einer gewählten Achse ist dann wie folgt zu berechnen, wobei die yi- bzw. zi-Achsen stets durch den Schwer­punkt der jeweiligen Teilfläche verlaufen müssen:

 

Satz von Steiner für Berechnung des Flächenträgheitsmoments
Satz von Steiner für Berechnung des Flächenträgheitsmoments
Ai Flächeninhalt der Teilfläche i
li Abstand zwischen den parallelen Achsen y und yi bzw. z und zi
Ii Flächenträgheitsmoment der Teilfläche i bezüglich der yi- bzw. zi-Achse

 

Ist die Lage des Gesamtschwerpunkts nicht bekannt, muss sie zunächst berechnet werden, siehe Seite Schwerpunkt von Flächen.

Beispiel 3: Flächenträgheitsmoment eines I-Profils mit Satz von Steiner

Es soll das Flächen­trägheits­moment bezüglich der y-Achse wie in Beispiel 2 berechnet werden, diesmal jedoch mit dem Satz von Steiner. Die Kreise in der Skizze bezeichnen wieder die Schwer­punkte der Teil­flächen. Die beiden Teil­flächen A1 und A3 sind aufgrund der Symmetrie gleich groß.

 


 

Lösung der Aufgabe:

 

Unter Verwendung des Satzes von Steiner kann das gesuchte Flächen­trägheits­moment berechnet werden:

 

Zunächst müssen die einzelnen Komponenten ermittelt werden. Mit der in Beispiel 1 hergeleiteten Formel werden die Flächen­trägheits­momente bestimmt:

 

Die drei Flächen lauten:

 

A1 = B · h       A2 = b · (H - 2 · h)       A3 = B · h

 

 

Nun kann das Gesamt­flächen­trägheits­moment berechnet werden. Da die Flächen A1 und A3 ident sind, vereinfacht sich der Satz von Steiner etwas:

 

Die Länge l2 ist 0, da der Schwerpunkt von Teil­fläche A2 auf der z-Achse liegt. Für die Länge l1 setzt man (H – h) / 2 ein. Zudem werden folgende Zusammen­hänge definiert:

 

h3 = H - h       h4 = H - 2 · h

 

 

Man erhält:

 

Setzt man Zahlen­werte ein, sieht man, dass das Ergebnis mit dem in Beispiel 2 über­einstimmt. Dieses Aufgabe zeigt, dass bei symmetrischen Quer­schnitten besser wie in Beispiel 2 vorzugehen ist.

Seite erstellt im Jänner 2019. Zuletzt geändert am 07.10.2019.