Hier findest du alle Rechenregeln zum Rechnen mit Potenzen und auch die wichtigsten binomischen Formeln. Zudem werden nach den Formeln ein paar Beispiele angeführt.
Diese Regeln werden zum Beispiel für das Vereinfachen von Termen und das Lösen von Gleichungen benötigt. Auch beim Differenzieren und Integrieren sind viele dieser Zusammenhänge von großer Bedeutung.
Werbung
Rechenregeln Potenzen
Im folgenden Abschnitt sind die Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen zu sehen:
$$a^n·a^k=a^{n+k}$$
$$\frac{a^n}{a^k}=a^{n-k}$$
$$(a^n)^k=a^{n·k}$$
$$(a·b)^n=a^n·b^n$$
$$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}=\left(\frac{1}{a}\right)^n$$
$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$
$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}$$
$$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[n·k]{a}$$
$$\sqrt[n]{a·b}=\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}$$
$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$
$$a^0=1\qquad a^1=a$$
Anmerkung:
a0 = 1 bedeutet, dass nahezu jede Zahl hoch 0 gleich eins ergibt. Einzige Ausnahmen sind nur 00 oder ∞0: Dabei handelt es sich um sogenannte unbestimmte Ausdrücke, die manchmal mithilfe der Regel von L’Hospital berechnet werden können.
Binomische Formeln
Beim Auflösen von Klammern sind oftmals die sogenannten binomischen Formeln sehr hilfreich. Man könnte das Ergebnis zwar auch mittels Ausmultiplizieren bekommen, aber die Anwendung der entsprechenden binomischen Formel ist in aller Regel zweckmäßiger, siehe dazu auch das Beispiel am Ende dieser Seite.
Binomische Formeln mit dem Exponent 2
Die drei wichtigsten binomischen Formeln mit dem Exponenten (= Hochzahl) 2 werden als 1., 2. und 3. binomische Formel bezeichnet:
1. Binomische Formel
$$(a+b)^2=a^2+2·a·b+b^2$$
2. Binomische Formel
$$(a-b)^2=a^2-2·a·b+b^2$$
3. Binomische Formel
$$a^2-b^2=(a-b)·(a+b)$$
Für den Fall a²+b² gibt es leider keine binomische Formel!
Binomische Formeln mit dem Exponent 3
Neben den oben angeführten Formeln gibt es auch Formeln für höhere Exponenten als 2. Die Formeln für die Hochzahl 3 lauten wie folgt:
$$(a+b)^3=a^3+3·a^2·b+3·a·b^2+b^3$$
$$(a-b)^3=a^3-3·a^2·b+3·a·b^2-b^3$$
$$a^3-b^3=(a-b)·(a^2+a·b+b^2)$$
$$a^3+b^3=(a+b)·(a^2-a·b+b^2)$$
Durchgerechnete Beispiele
Hier findest du ein paar Beispiele zu den oben angeführten Rechenregeln. Es gibt sowohl Aufgaben zu Potenzen als auch zu den binomischen Formeln.
Aufgaben Potenzen
Beispiel 1: Multiplikation
Vereinfache:
$$a·a^3=a^1·a^3=a^{1+3}=a^4$$
$$b^5·b^3·b^4=b^{5+3+4}=b^{12}$$
$$a^5·b^3·b^4=a^5·b^{3+4}=a^5·b^{7}$$
Beim Multiplizieren von gleichen Basen werden also die Hochzahlen addiert.
Beispiel 2: Division
Vereinfache die folgenden Terme:
$$\frac{c^5}{c^3}=c^{5-3}=c^2$$
$$\frac{c^3}{c^5}=c^{3-5}=c^{-2}=\frac{1}{c^2}$$
$$\frac{c^3·c^5}{c^4}=\frac{c^{3+5}}{c^4}=c^{8-4}=c^4$$
Beim Dividieren von gleichen Basen werden die Hochzahlen subtrahiert. Negative Hochzahlen können positiv werden, indem man den Kehrwert des Terms bildet.
Beispiel 3
Vereinfache soweit wie möglich:
$$\frac{a^3·b^2·a^5·c^3·b^6·c^2}{b^8·a·c^5·a^2·b^4}=\frac{a^{3+5}·b^{2+6}·c^{3+2}}{a^{1+2}·b^{8+4}·c^5}=\frac{a^8·b^8·c^5}{a^3·b^{12}·c^5}=\frac{a^{8-3}·c^{5-5}}{b^{12-8}}=\frac{a^5·c^0}{b^4}=\frac{a^5}{b^4}$$
c0 ergibt 1 und kann daher im Ergebnis weggelassen werden.
Beispiel 4: Wurzeln
$$\sqrt{a}=\sqrt[2]{a}=a^{\frac{1}{2}}$$
$$\sqrt[4]{a^8}=a^{\frac{8}{4}}=a^2$$
$$\sqrt[3]{3}·\sqrt[3]{3^2}=\sqrt[3]{3·3^2}=\sqrt[3]{3^3}$$
$$=3^{\frac{3}{3}}=3^1=3$$
Aufgabe Binomische Formeln
Hier findest du ein Beispiel zu den binomischen Formeln. Es ist die Klammer aufzulösen:
$$(3·x+5·y)^2$$
Lösung ohne binomische Formeln
Man kann dieses Beispiel auch ohne Verwendung der binomischen Formeln auflösen, indem man einfach ausmultipliziert:
$$(3·x+5·y)^2=(3·x+5·y)·(3·x+5·y)=9·x^2+15·x·y+15·x·y+25·y^2$$
Zusammenfassen ergibt:
$$9·x^2+30·x·y+25·y^2$$
Lösung mit den binomischen Formeln
Unter Verwendung der 1. binomischen Formel kann man die Lösung sofort anschreiben:
$$(3·x+5·y)^2=9·x^2+2·3·x·5·y+25·y^2=9·x^2+30·x·y+25·y^2$$
Werbung
Seite erstellt im Juli 2022. Zuletzt geändert am 14.07.2022.