Differenzieren: Ableitungs­regeln & Bei­spiele

Auf dieser Seite findest du alles zum Thema Differen­zieren, also die Ab­leitungs­funktionen von wichtigen Funk­tionen, die Ableitungs­regeln ("Formeln") als auch kon­krete Rechen­bei­spiele.

Grundlegendes

Das Zeichen ' ist eine verkürzte Schreib­weise für die Ab­leitung einer Funktion f(x). Das x in der Klammer bedeutet, dass die Funktion f von der Variablen x ab­hängt:

$$\frac {df(x)}{dx}=f'(x)$$

 

Eine Funktion kann auch mehr­mals differenziert (=abge­leitet) werden. Für die zweite Ab­leitung einer Funktion f(x) schreibt man:

$$\frac {d^2f(x)}{dx^2}=f''(x)$$

 

Ähnlich werden die dritte Ab­leitung bzw. alle weiteren Ab­leitungen ange­geben:

$$\frac {d^3f(x)}{dx^3}=f'''(x)$$

 

Wird nach der Zeit t abge­leitet, wird das oft durch einen Punkt dar­gestellt. Zum Bei­spiel ist die Ab­leitung des Weges s die Ge­schwin­dig­keit v:

$$v(t)=\frac{ds(t)}{dt}=\dot s(t)$$

Mehr Informationen dazu: Zusammen­hang zwischen Weg, Ge­schwin­digkeit und Beschleu­nigung.

Wozu benötigt man die Differentialrechnung?

Die Differenzial­rechnung bzw. Differential­rechnung hat viele Anwendungen. Hier findest du einige Anwendungs­fälle:

Ableitungsfunktionen von wichtigen Funktionen

Für einige grund­legende Funk­tionen sind hier ihre Ab­leitungs­funktionen ange­führt. Bei der Funktion - das ist der Ausdruck zwischen den äußeren Klammern - muss es sich um eine differen­zier­bare Funk­tion han­deln:

Konstante Funktion

$$(a)'=0$$

Potenzfunktion

$$(x^n)'=n·x^{n-1}$$

Natürliche Exponentialfunktion

$$(e^x)'=e^x$$

Exponentialfunktion

$$(a^x)'=a^x·ln(a)$$

Natürliche Logarithmusfunktion

$$(ln(x))'=\frac{1}{x}$$

Logarithmusfunktion

$$(\log_a (x))'=\frac{1}{x·ln(a)}$$

Sinusfunktion

$$(sin(x))'=cos(x)$$

Kosinusfunktion

$$(cos(x))'=-sin(x)$$

Tangensfunktion

$$(tan(x))'=\frac{1}{cos(x)^2}$$


Hinweise

  • Das "x" in den obigen Funktionen kann durch jeden beliebigen Aus­druck er­setzt werden. In diesem Fall muss beim Differ­enzieren die Ketten­regel ange­wandt werden, siehe Kapitel "Ableitungs­regeln". Bei­spiele (werden weiter unten auf dieser Seite gelöst!) für die natür­liche Expo­nential­funktion und die Kosinus­funktion sind:

$$f(x)=e^{3·x^2-4·x}\qquad f(x)=cos(3·x^2)$$

  • Wurzelfunktionen können immer auch als Potenz­funktion dar­gestellt und da­her nach erfolgter Um­wand­lung wie Potenz­funktionen abge­leitet werden:

$$\sqrt[n]{x^k}=x^{\frac{k}{n}}\Rightarrow\left(x^{\frac{k}{n}}\right)'=\frac{k}{n}·x^{\frac{k}{n}-1}$$

  • Die Ableitungsfunk­tion der natür­lichen Exponential­funktion ist ein Spezial­fall der Exponential­funk­tion, da ln(e)=1 gilt:

$$(a^x)'=a^x·ln(a) \Rightarrow (e^x)'=e^x·\underbrace {ln(e)}_{=1}=e^x$$

Ähnliches trifft auch auf die Loga­rithmus­funktion zu.

Ableitungsregeln

Mit den folgenden Regeln können auch zusammen­gesetzte Funk­tionen abge­leitet werden, wobei f und g differen­zierbare Funk­tionen und a und k reelle Zahlen sein müssen.

Faktorregel

$$(k·f)'=k·f'$$

Summenregel

$$(f\pm g)'=f'\pm g'$$

Produktregel

$$(f·g)'=f'·g+f·g'$$

Quotientenregel

$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'·g-f·g'}{g^2}$$

Kehrwertregel

$$\left(\frac{1}{f}\right)'=\frac{-f'}{f^2}$$

Kettenregel

$$(g(f(x)))'=g'(f(x))·f'(x)$$


Rechenbeispiele

Hier findest du ein paar voll­ständig durch­gerechnete Bei­spiele zum Thema Ab­leitungen.

Beispiel I: Polynomfunktion

Es ist die folgende Polynom­funk­tion unter Zuhilfe­nahme der obigen Regeln abzu­leiten:

$$f(x)=4·x^4-3·x^2+2·x-5$$

Zunächst wendet man die Summen­regel an:

$$f'(x)=(4·x^4)'-(3·x^2)'+(2·x)'-(5)'$$

Anschließend wird die Faktor­regel benötigt. Bei der Zahl 5 handelt es sich um eine konstante Funktion, daher ver­schwindet sie beim Differenzieren:

$$f'(x)=4·(x^4)'-3·(x^2)'+2·(x)'$$

Dann werden die ein­zelnen Terme in den Klammern abge­leitet. Bei diesen Termen handelt es sich um Potenz­funk­tionen. Es ist zu beachten, dass x = x1 ist. Wenn die Hoch­zahl 1 beträgt, wird sie also in der Regel nicht ange­schrieben. Potenz­funktionen werden abge­leitet, indem man die Hoch­zahl vor das x schreibt und an­schließend die Zahl 1 von der Hoch­zahl ab­zieht:

$$f'(x)=4·4·x^{4-1}-3·2·x^{2-1}+2·1·x^{1-1}$$

Das zuvor erhaltene Er­gebnis kann noch weiter ver­ein­facht werden. Aus­multi­plizieren der Zahlen vor dem x, Sub­trahieren der Hoch­zahlen und An­wendung der Rechen­regel x0 = 1 ergibt:

$$f'(x)=16·x^3-6·x^1+2·x^0$$

$$f'(x)=16·x^3-6·x+2$$

Ist man etwas geübter, kann man obiges Er­gebnis natür­lich sofort hin­schreiben.

Beispiel II: Polynomfunktion zweimal ableiten

Es ist die Polynom­funk­tion aus Bei­spiel I zwei­mal abzu­leiten:

$$f(x)=4·x^4-3·x^2+2·x-5$$

Ausgehend vom vorigen Er­gebnis

$$f'(x)=16·x^3-6·x+2$$

leitet man die Funk­tion f' ein­fach noch ein­mal ab:

$$f''(x)=16·3·x^2-6·1·x^0=48·x^2-6$$

Beispiel III: Produkt

Folgende Funktion ist zu differen­zieren:

$$h(x)=\left(3·x^2+4\right)^2$$

Es gibt mehrere Möglich­keiten, diese Funktion abzu­leiten.

 

1.) Ausmultiplizieren

Es gilt a2 = a·a, da die Hoch­zahlen bei gleicher Basis addiert werden. Wenn man diese Regel auf die gege­bene Funk­tion an­wendet, aus­multi­pliziert und ver­ein­facht, er­hält man:

$$h(x)=\left(3·x^2+4\right)^2=(3·x^2+4)·(3·x^2+4)$$

$$h(x)=9·x^4+24·x^2+16$$

Oder man benutzt die erste bino­mische Formel

$$\left(a+b\right)^2=a^2+2·a·b+b^2$$

und bekommt:

$$h(x)=9·x^4+24·x^2+16$$

Zuletzt leitet man unter An­wendung der Summen­regel noch diese Polynom­funktion ab:

$$h'(x)=36·x^3+48·x$$

 

2.) Produktregel

Man kann dieses Bei­spiel auch mit der Produkt­regel lösen, wobei man zunächst den Ausdruck mit der Hoch­zahl wie schon zuvor durch eine Multi­plikation er­setzt:

$$h(x)=(f·g)=\underbrace {(3·x^2+4)}_{f}·\underbrace{(3·x^2+4)}_{g}$$

Mit der Produktregel

$$(f·g)'=f'·g+f·g'$$

erhält man:

$$h(x)'=\underbrace {(6·x)}_{f'}·\underbrace {(3·x^2+4)}_{g}+\underbrace {(3·x^2+4)}_{f}·\underbrace {(6·x)}_{g'}$$

Ausmultiplizieren und vereinfachen ergibt:

$$h'(x)=18·x^3+24·x+18·x^3+24·x$$

$$h'(x)=36·x^3+48·x$$

 

3.) Kettenregel

Unter Anwendung der Ketten­regel bekommt man:

$$h'(x)=\underbrace {2·(3·x^2+4)^{2-1}}_{aussere\, Ableitung}·\underbrace{(3·2·x)}_{innere \, Abl.}$$

Man schreibt also die Hoch­zahl vor den Klammer­aus­druck und zieht an­schließend die Zahl 1 von der Hoch­zahl ab. Der Aus­druck in der Klammer wird einfach über­nommen. Das ist die äußere Ableitung - in diesem Fall bildet man sie durch An­wendung der Regel für Potenz­funktionen.

Danach muss man das Ganze noch mit der inneren Ab­leitung multi­plizieren - sie entspricht der Ab­leitung des Aus­drucks in der Klammer:

$$innere \, Ableitung=(3·x^2+4)'=3·2·x$$

Verein­fachen ergibt dann:

$$h'(x)=12·x·(3·x^2+4)=36·x^3+48·x$$

Beispiel IV: Natürliche Exponentialfunktion

Von der folgenden Exponential­funktion ist die erste Ab­leitung zu bilden:

$$f(x)=e^{3·x^2-4·x}$$

Zur Lösung dieser Aufgabe wird die Ketten­regel benötigt. Die Ableitung der natür­lichen Exponential­funktion ist die Funktion selbst, also schreibt man zunächst die An­gabe noch­mals an (= äußere Ab­leitung). Diesen Term muss man noch mit der inneren Ab­leitung multi­plizieren. Die innere Ab­leitung ist die Ab­leitung des Expo­nenten:

$$innere \, Ableitung=(3·x^2-4·x)'=6·x-4$$

Somit lautet das Ergebnis:

$$f'(x)=\underbrace {e^{3·x^2-4·x}}_{aussere\, Abl.}·\underbrace{(6·x-4)}_{innere \, Abl.}$$

Beispiel V: Kosinusfunktion

Folgende Kosinus­funktion ist zu differenzieren:

$$f(x)=cos(3·x^2)$$

Dieses Beispiel wird ähn­lich wie die vorige Auf­gabe IV mithilfe der Ketten­regel ge­löst. Wie man die Kosinus­funktion für die äußere Ab­leitung differen­ziert, findest du am Beginn der Seite unter den Ab­leitungs­funk­tionen:

$$f'(x)=\underbrace {-sin(3·x^2)}_{aussere\, Abl.}·\underbrace{(6·x)}_{innere \, Abl.}$$

Seite erstellt am 24.01.2021. Zuletzt geändert am 02.02.2021.