Differenzieren: Ab­lei­tungs­regeln & Bei­spiele

Auf dieser Seite findest du alles zum Thema Differen­zieren, also die Ab­leitungs­funktionen von wichtigen Funk­tionen, die Ableitungs­regeln („Formeln“) und auch kon­krete Rechen­bei­spiele. Vor allem in der Schule wird für das Differen­zieren häufig der Be­griff ab­leiten ver­wendet. Am Ende der Seite gibt es auch ein Bei­spiel zum soge­nannten impli­ziten Dif­feren­zieren.

Das Gegenteil von differenzieren ist integrieren oder aufleiten.

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Grundlegendes

Das Zeichen ′ ist eine verkürzte Schreib­weise für die Ab­leitung einer Funktion f(x). Das x in der Klammer bedeutet, dass die Funktion f von der Variablen x ab­hängt:

$$\frac {d\, f(x)}{dx}=f'(x)$$

Eine Funktion kann auch mehr­mals differenziert (= abge­leitet) werden. Für die zweite Ab­leitung einer Funktion f(x) schreibt man:

$$\frac {d^2\, f(x)}{dx^2}=f^{“}(x)$$

Ähnlich werden auch alle weiteren Ab­leitungen ange­geben.

Wird nach der Zeit t abge­leitet, wird das oft durch einen Punkt dar­gestellt. Zum Bei­spiel ist die Ab­leitung des Weges s die Ge­schwin­dig­keit v:

$$v(t)=\frac{d \, s(t)}{dt}=\dot s(t)$$

Mehr Informationen dazu: Zusammen­hang zwischen Weg, Ge­schwin­digkeit und Beschleu­nigung.

Wozu benötigt man die Differentialrechnung?

Die Differenzial­rechnung bzw. Differential­rechnung hat viele Anwendungen. Hier findest du einige Anwendungs­fälle:

• Berechnung der Tangenten­steigung einer Funk­tion.
• Ermittlung der Momentan­geschwin­dig­keit und der Momentan­beschleu­nigung (momentane Änderungs­rate).
• Kurvendiskussion: Berechnung von Extrem­stellen und Wende­stellen.
• Lösen von Extremwertaufgaben.

Ableitungsfunktionen von wichtigen Funktionen

Für einige grund­legende Funk­tionen sind hier ihre Ab­leitungs­funktionen ange­führt. Bei der Funktion – das ist der Ausdruck zwischen den äußeren Klammern – muss es sich um eine differen­zier­bare Funk­tion han­deln:
 

Weitere Ableitungen von speziellen Funk­tionen – z. B. arcsin(x) – findest du auf der Seite Integrieren. Der in der jeweiligen Spalte rechte Teil der Gleichung ist dabei die Funk­tion f(x), der linke Teil die Ab­leitung f´(x). Das wird am Bei­spiel des arcsin(x) ge­zeigt:

$$\left(arcsin(x)\right)´ = \frac {1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Im Beispiel 6 etwas weiter unten auf dieser Seite wird die Ableitung von arccos herge­leitet.

Hinweise

• Das „x“ in den obigen Funktionen kann durch jeden beliebigen Aus­druck er­setzt werden. In diesem Fall muss beim Differ­enzieren die Ketten­regel ange­wandt werden, siehe Kapitel „Ableitungs­regeln″. Bei­spiele (werden weiter unten auf dieser Seite gelöst!) für die natür­liche Expo­nential­funktion und die Kosinus­funktion sind:

$$f(x)=e^{3·x^2-4·x}\qquad f(x)=cos(3·x^2)$$

• Die Ableitungsfunk­tion der natür­lichen Exponential­funktion ist ein Spezial­fall der Exponential­funk­tion, da ln(e)=1 gilt:

$$(a^x)’=a^x·ln(a) \Rightarrow (e^x)’=e^x·\underbrace {ln(e)}_{=1}=e^x$$

Ähnliches trifft auch auf die Loga­rithmus­funktion zu.

Ableitungsregeln

Mit den folgenden Regeln können auch zusammen­gesetzte Funk­tionen abge­leitet werden, wobei f und g differen­zierbare Funk­tionen und a und k reelle Zahlen sein müssen.
 

Rechenbeispiele

Hier findest du ein paar voll­ständig durch­gerechnete Bei­spiele zum Thema Ab­leitungen.

Beispiel I: Polynomfunktion

Es ist die folgende Polynom­funk­tion unter Zuhilfe­nahme der obigen Regeln abzu­leiten:

$$f(x)=4·x^4-3·x^2+2·x-5$$

Zunächst wendet man die Summen­regel an:

$$f'(x)=(4·x^4)’\nobreakspace-(3·x^2)’\nobreakspace+(2·x)’\nobreakspace-(5)’$$

Anschließend wird die Faktor­regel benötigt. Bei der Zahl 5 handelt es sich um eine konstante Funktion, daher ver­schwindet sie beim Differenzieren:

$$f'(x)=4·(x^4)’\nobreakspace-3·(x^2)’\nobreakspace+2·(x)’$$

Dann werden die ein­zelnen Terme in den Klammern abge­leitet. Bei diesen Termen handelt es sich um Potenz­funk­tionen. Es ist zu beachten, dass x = x¹ ist. Wenn die Hoch­zahl 1 beträgt, wird sie also in der Regel nicht ange­schrieben. Potenz­funktionen werden abge­leitet, indem man die Hoch­zahl vor das x schreibt und an­schließend die Zahl 1 von der Hoch­zahl ab­zieht:

$$f'(x)=4·4·x^{4-1}-3·2·x^{2-1}+2·1·x^{1-1}$$

Das zuvor erhaltene Er­gebnis kann noch weiter ver­ein­facht werden. Aus­multi­plizieren der Zahlen vor dem x, Sub­trahieren der Hoch­zahlen und An­wendung der Rechen­regel x⁰ = 1 ergibt:

$$f'(x)=16·x^3-6·x^1+2·x^0$$

$$f'(x)=16·x^3-6·x+2$$

Ist man etwas geübter, kann man obiges Er­gebnis natür­lich sofort hin­schreiben.

Beispiel II: Polynomfunktion zweimal ableiten

Es ist die Polynom­funk­tion aus Bei­spiel I zwei­mal abzu­leiten:

$$f(x)=4·x^4-3·x^2+2·x-5$$

Ausgehend vom vorigen Er­gebnis

$$f'(x)=16·x^3-6·x+2$$

leitet man die Funk­tion f‘ ein­fach noch ein­mal ab:

$$f^{“}(x)=16·3·x^2-6·1·x^0=48·x^2-6$$

Beispiel III: Produkt

Folgende Funktion ist zu differen­zieren:

$$h(x)=\left(3·x^2+4\right)^2$$

Es gibt mehrere Möglich­keiten, diese Funktion abzu­leiten.

1.) Ausmultiplizieren

Es gilt a² = a·a, da die Hoch­zahlen bei gleicher Basis addiert werden. Wenn man diese Regel auf die gege­bene Funk­tion an­wendet, aus­multi­pliziert und ver­ein­facht, er­hält man:

$$h(x)=\left(3·x^2+4\right)^2=(3·x^2+4)·(3·x^2+4)$$

$$h(x)=9·x^4+24·x^2+16$$

Oder man benutzt die erste bino­mische Formel

$$\left(a+b\right)^2=a^2+2·a·b+b^2$$

und bekommt:

$$h(x)=9·x^4+24·x^2+16$$

Zuletzt leitet man unter An­wendung der Summen­regel noch diese Polynom­funktion ab:

$$h'(x)=36·x^3+48·x$$

2.) Produktregel

Man kann dieses Bei­spiel auch mit der Produkt­regel lösen, wobei man zunächst den Ausdruck mit der Hoch­zahl wie schon zuvor durch eine Multi­plikation er­setzt:

$$h(x)=(f·g)=\underbrace {(3·x^2+4)}_{f}·\underbrace{(3·x^2+4)}_{g}$$

Mit der Produktregel

$$(f·g)’=f’·g+f·g’$$

erhält man:

$$h(x)’=\underbrace {(6·x)}_{f‘}·\underbrace {(3·x^2+4)}_{g}+\underbrace {(3·x^2+4)}_{f}·\underbrace {(6·x)}_{g‘}$$

Ausmultiplizieren und vereinfachen ergibt:

$$h'(x)=18·x^3+24·x+18·x^3+24·x$$

$$h'(x)=36·x^3+48·x$$

3.) Kettenregel

Unter Anwendung der Ketten­regel bekommt man:

$$h'(x)=\underbrace {2·(3·x^2+4)^{2-1}}_{aussere\, Ableitung}·\underbrace{(3·2·x)}_{innere \, Abl.}$$

Man schreibt also die Hoch­zahl vor den Klammer­aus­druck und zieht an­schließend die Zahl 1 von der Hoch­zahl ab. Der Aus­druck in der Klammer wird einfach über­nommen. Das ist die äußere Ableitung – in diesem Fall bildet man sie durch An­wendung der Regel für Potenz­funktionen.

Danach muss man das Ganze noch mit der inneren Ab­leitung multi­plizieren – sie entspricht der Ab­leitung des Aus­drucks in der Klammer:

$$innere \, Ableitung=(3·x^2+4)’=3·2·x$$

Verein­fachen ergibt dann:

$$h'(x)=12·x·(3·x^2+4)=36·x^3+48·x$$

Beispiel IV: Natürliche Exponentialfunktion

Von der folgenden Exponential­funktion ist die erste Ab­leitung zu bilden:

$$f(x)=e^{3·x^2-4·x}$$

Zur Lösung dieser Aufgabe wird die Ketten­regel benötigt. Die Ableitung der natür­lichen Exponential­funktion ist die Funktion selbst, also schreibt man zunächst die An­gabe noch­mals an (= äußere Ab­leitung). Diesen Term muss man noch mit der inneren Ab­leitung multi­plizieren. Die innere Ab­leitung ist die Ab­leitung des Expo­nenten:

$$innere \, Ableitung=(3·x^2-4·x)’=6·x-4$$

Somit lautet das Ergebnis:

$$f'(x)=\underbrace {e^{3·x^2-4·x}}_{aussere\, Abl.}·\underbrace{(6·x-4)}_{innere \, Abl.}$$

Beispiel V: Kosinusfunktion

Folgende Kosinus­funktion ist zu differenzieren:

$$f(x)=cos(3·x^2)$$

Dieses Beispiel wird ähn­lich wie die vorige Auf­gabe IV mithilfe der Ketten­regel ge­löst. Wie man die Kosinus­funktion für die äußere Ab­leitung differen­ziert, findest du am Beginn der Seite unter den Ab­leitungs­funk­tionen:

$$f'(x)=\underbrace {-sin(3·x^2)}_{aussere\, Abl.}·\underbrace{(6·x)}_{innere \, Abl.}$$

Beispiel VI: Implizites Differenzieren

Es ist die Funktion

$$f(x)=arccos(x)$$

abzu­leiten, was man mittels dem soge­nannten impli­ziten Differen­zieren macht. Dazu wird die Gleichung zu­nächst nach x umge­formt, indem man auf beiden Seiten den cos an­wendet:

$$cos(f(x))=cos(arccos(x))$$

Cos und arccos heben sich auf, daher bleibt auf der rechten Seite nur noch x übrig (Gleichung 1):

$$cos(f(x))=x$$

Nun differen­ziert man beide Seiten, wobei auch die Ketten­regel ange­wandt werden muss – nach dem sin folgt ein f'(x), was der inneren Ab­leitung von sin(f(x)) ent­spricht:

$$-sin(f(x))·f'(x)=1$$

Umformen auf f'(x) ergibt:

$$f'(x)=-\frac{1}{sin(f(x))}$$

Den Nenner kann man unter eine Wurzel bringen, indem man sin quadriert (Gleichung 2):

$$f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{sin^2(f(x))}}$$

Es gilt:

$$sin^2(f(x))+cos^2(f(x))=1$$

Umformen auf sin²(f(x)) ergibt:

$$sin^2(f(x))=1-cos^2(f(x))$$

Dies setzt man in die obige Ableitung – also in Gleichung 2 – ein und man erhält:

$$f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-cos^2(f(x))}}$$

Quadriert man die nach x umgeformte Gleichung 1, so bekommt man:

$$cos^2(f(x))=x^2$$

Dieses Ergebnis setzt man nun in die Ableitung ein und man erhält die Ableitung von arccos(x):

$$f'(x)=\left(arccos(x)\right)´ = -\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}$$

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Seite erstellt am 24.01.2021. Zuletzt geändert am: