Auf dieser Seite findest du alles zum Thema Differenzieren, also die Ableitungsfunktionen von wichtigen Funktionen, die Ableitungsregeln ("Formeln") als auch konkrete Rechenbeispiele.
Das Zeichen ' ist eine verkürzte Schreibweise für die Ableitung einer Funktion f(x). Das x in der Klammer bedeutet, dass die Funktion f von der Variablen x abhängt:
$$\frac {df(x)}{dx}=f'(x)$$
Eine Funktion kann auch mehrmals differenziert (=abgeleitet) werden. Für die zweite Ableitung einer Funktion f(x) schreibt man:
$$\frac {d^2f(x)}{dx^2}=f''(x)$$
Ähnlich werden die dritte Ableitung bzw. alle weiteren Ableitungen angegeben:
$$\frac {d^3f(x)}{dx^3}=f'''(x)$$
Wird nach der Zeit t abgeleitet, wird das oft durch einen Punkt dargestellt. Zum Beispiel ist die Ableitung des Weges s die Geschwindigkeit v:
$$v(t)=\frac{ds(t)}{dt}=\dot s(t)$$
Mehr Informationen dazu: Zusammenhang zwischen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung.
Die Differenzialrechnung bzw. Differentialrechnung hat viele Anwendungen. Hier findest du einige Anwendungsfälle:
Für einige grundlegende Funktionen sind hier ihre Ableitungsfunktionen angeführt. Bei der Funktion - das ist der Ausdruck zwischen den äußeren Klammern - muss es sich um eine differenzierbare Funktion handeln:
Konstante Funktion
$$(a)'=0$$
Potenzfunktion
$$(x^n)'=n·x^{n-1}$$
Natürliche Exponentialfunktion
$$(e^x)'=e^x$$
Exponentialfunktion
$$(a^x)'=a^x·ln(a)$$
Natürliche Logarithmusfunktion
$$(ln(x))'=\frac{1}{x}$$
Logarithmusfunktion
$$(\log_a (x))'=\frac{1}{x·ln(a)}$$
Sinusfunktion
$$(sin(x))'=cos(x)$$
Kosinusfunktion
$$(cos(x))'=-sin(x)$$
Tangensfunktion
$$(tan(x))'=\frac{1}{cos(x)^2}$$
$$f(x)=e^{3·x^2-4·x}\qquad f(x)=cos(3·x^2)$$
$$\sqrt[n]{x^k}=x^{\frac{k}{n}}\Rightarrow\left(x^{\frac{k}{n}}\right)'=\frac{k}{n}·x^{\frac{k}{n}-1}$$
$$(a^x)'=a^x·ln(a) \Rightarrow (e^x)'=e^x·\underbrace {ln(e)}_{=1}=e^x$$
Ähnliches trifft auch auf die Logarithmusfunktion zu.
Mit den folgenden Regeln können auch zusammengesetzte Funktionen abgeleitet werden, wobei f und g differenzierbare Funktionen und a und k reelle Zahlen sein müssen.
Faktorregel
$$(k·f)'=k·f'$$
Summenregel
$$(f\pm g)'=f'\pm g'$$
Produktregel
$$(f·g)'=f'·g+f·g'$$
Quotientenregel
$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'·g-f·g'}{g^2}$$
Kehrwertregel
$$\left(\frac{1}{f}\right)'=\frac{-f'}{f^2}$$
Kettenregel
$$(g(f(x)))'=g'(f(x))·f'(x)$$
Hier findest du ein paar vollständig durchgerechnete Beispiele zum Thema Ableitungen.
Es ist die folgende Polynomfunktion unter Zuhilfenahme der obigen Regeln abzuleiten:
$$f(x)=4·x^4-3·x^2+2·x-5$$
Zunächst wendet man die Summenregel an:
$$f'(x)=(4·x^4)'-(3·x^2)'+(2·x)'-(5)'$$
Anschließend wird die Faktorregel benötigt. Bei der Zahl 5 handelt es sich um eine konstante Funktion, daher verschwindet sie beim Differenzieren:
$$f'(x)=4·(x^4)'-3·(x^2)'+2·(x)'$$
Dann werden die einzelnen Terme in den Klammern abgeleitet. Bei diesen Termen handelt es sich um Potenzfunktionen. Es ist zu beachten, dass x = x1 ist. Wenn die Hochzahl 1 beträgt, wird sie also in der Regel nicht angeschrieben. Potenzfunktionen werden abgeleitet, indem man die Hochzahl vor das x schreibt und anschließend die Zahl 1 von der Hochzahl abzieht:
$$f'(x)=4·4·x^{4-1}-3·2·x^{2-1}+2·1·x^{1-1}$$
Das zuvor erhaltene Ergebnis kann noch weiter vereinfacht werden. Ausmultiplizieren der Zahlen vor dem x, Subtrahieren der Hochzahlen und Anwendung der Rechenregel x0 = 1 ergibt:
$$f'(x)=16·x^3-6·x^1+2·x^0$$
$$f'(x)=16·x^3-6·x+2$$
Ist man etwas geübter, kann man obiges Ergebnis natürlich sofort hinschreiben.
Es ist die Polynomfunktion aus Beispiel I zweimal abzuleiten:
$$f(x)=4·x^4-3·x^2+2·x-5$$
Ausgehend vom vorigen Ergebnis
$$f'(x)=16·x^3-6·x+2$$
leitet man die Funktion f' einfach noch einmal ab:
$$f''(x)=16·3·x^2-6·1·x^0=48·x^2-6$$
Folgende Funktion ist zu differenzieren:
$$h(x)=\left(3·x^2+4\right)^2$$
Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Funktion abzuleiten.
Es gilt a2 = a·a, da die Hochzahlen bei gleicher Basis addiert werden. Wenn man diese Regel auf die gegebene Funktion anwendet, ausmultipliziert und vereinfacht, erhält man:
$$h(x)=\left(3·x^2+4\right)^2=(3·x^2+4)·(3·x^2+4)$$
$$h(x)=9·x^4+24·x^2+16$$
Oder man benutzt die erste binomische Formel
$$\left(a+b\right)^2=a^2+2·a·b+b^2$$
und bekommt:
$$h(x)=9·x^4+24·x^2+16$$
Zuletzt leitet man unter Anwendung der Summenregel noch diese Polynomfunktion ab:
$$h'(x)=36·x^3+48·x$$
Man kann dieses Beispiel auch mit der Produktregel lösen, wobei man zunächst den Ausdruck mit der Hochzahl wie schon zuvor durch eine Multiplikation ersetzt:
$$h(x)=(f·g)=\underbrace {(3·x^2+4)}_{f}·\underbrace{(3·x^2+4)}_{g}$$
Mit der Produktregel
$$(f·g)'=f'·g+f·g'$$
erhält man:
$$h(x)'=\underbrace {(6·x)}_{f'}·\underbrace {(3·x^2+4)}_{g}+\underbrace {(3·x^2+4)}_{f}·\underbrace {(6·x)}_{g'}$$
Ausmultiplizieren und vereinfachen ergibt:
$$h'(x)=18·x^3+24·x+18·x^3+24·x$$
$$h'(x)=36·x^3+48·x$$
Unter Anwendung der Kettenregel bekommt man:
$$h'(x)=\underbrace {2·(3·x^2+4)^{2-1}}_{aussere\, Ableitung}·\underbrace{(3·2·x)}_{innere \, Abl.}$$
Man schreibt also die Hochzahl vor den Klammerausdruck und zieht anschließend die Zahl 1 von der Hochzahl ab. Der Ausdruck in der Klammer wird einfach übernommen. Das ist die äußere Ableitung - in diesem Fall bildet man sie durch Anwendung der Regel für Potenzfunktionen.
Danach muss man das Ganze noch mit der inneren Ableitung multiplizieren - sie entspricht der Ableitung des Ausdrucks in der Klammer:
$$innere \, Ableitung=(3·x^2+4)'=3·2·x$$
Vereinfachen ergibt dann:
$$h'(x)=12·x·(3·x^2+4)=36·x^3+48·x$$
Von der folgenden Exponentialfunktion ist die erste Ableitung zu bilden:
$$f(x)=e^{3·x^2-4·x}$$
Zur Lösung dieser Aufgabe wird die Kettenregel benötigt. Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion ist die Funktion selbst, also schreibt man zunächst die Angabe nochmals an (= äußere Ableitung). Diesen Term muss man noch mit der inneren Ableitung multiplizieren. Die innere Ableitung ist die Ableitung des Exponenten:
$$innere \, Ableitung=(3·x^2-4·x)'=6·x-4$$
Somit lautet das Ergebnis:
$$f'(x)=\underbrace {e^{3·x^2-4·x}}_{aussere\, Abl.}·\underbrace{(6·x-4)}_{innere \, Abl.}$$
Folgende Kosinusfunktion ist zu differenzieren:
$$f(x)=cos(3·x^2)$$
Dieses Beispiel wird ähnlich wie die vorige Aufgabe IV mithilfe der Kettenregel gelöst. Wie man die Kosinusfunktion für die äußere Ableitung differenziert, findest du am Beginn der Seite unter den Ableitungsfunktionen:
$$f'(x)=\underbrace {-sin(3·x^2)}_{aussere\, Abl.}·\underbrace{(6·x)}_{innere \, Abl.}$$
Seite erstellt am 24.01.2021. Zuletzt geändert am 02.02.2021.