Formeln für Auf­lager­reak­tionen & Durch­biegung

Auf dieser Seite finden Sie zwei Tabellen mit den Formeln zur Berech­nung der Auf­lagerkräfte und Einspann­momente (= Auf­lager­reaktionen), der Neigungs­winkel und der (maximalen) Durch­biegung für einige wichtige Belastungs­fälle sowohl für statisch bestimmte Systeme als auch für statisch unbestimmte Systeme. Natürlich werden auch die in den Formeln ver­wendeten Variablen erklärt.

Zudem gibt es Links auf Unter­seiten, falls Sie an der Her­leitung dieser Formeln Inter­esse haben. Sollten Sie hin­gegen nur etwas berechnen wollen, können Sie auch meinen Balken­rechner ver­wenden. Bei nicht in dieser Formel­sammlung angeführten Lastfällen ist die Seite Superpositionsprinzip sehr empfehlens­wert.

Die maximale Durch­biegung des Balkens kann mit den ange­gebenen Formeln nur für eine Gleich­last oder für eine Drei­ecks­last berechnet werden. Im Falle einer Einzel­last wird mit den Formeln in der Tabelle die Durch­biegung (= Ver­schiebung) an der Stelle dieser Last berechnet. Aller­dings unter­scheidet sich dieser Wert in der Regel nicht viel von der maximalen Durch­biegung. Eine Aus­nahme bildet der Krag­arm oder auch Kragträger: Hier wird die maximale Durch­biegung berechnet, da die maximale Durch­biegung in diesem Fall der Durch­biegung an der Stelle der Kraft entspricht.

Hinweise

• Wird die Formel für eine Auflager­kraft oder ein Ein­spann­moment nicht ange­geben, ist diese Größe nicht vor­handen. Sie hat also den Wert null. Das gilt zum Bei­spiel für die Kräfte in x-Richtung. Ähnliches trifft auf die Neigungs­winkel zu: Bei einer festen Ein­spannung ist die Ver­drehung immer null und daher wird sie in der Tabelle auch nicht ange­führt.
• Achtung: Der Winkel kommt bei der Berechnung in Radiant und nicht in Grad heraus!

Diese Abkürzungen werden in den folgenden beiden Tabellen verwendet:

Können die gesuchten Auflager­reaktionen - also die Auf­lager­kräfte und die Ein­spann­momente - nur mit Hilfe der Gleich­gewichts­bedingungen ermittelt werden, spricht man von einem statisch bestimmten System. Dazu zählen der Einfeld­träger (Balken mit je einem Fest­lager und einem Los­lager an beiden Enden) und der Krag­arm, wobei die Belastung beim Einfeldträger eine Gleichlast, eine Einzel­last oder eine Drei­ecks­last sein darf. Für den Krag­arm sind nur die Formeln bei einer Einzel­last am Ende des Trägers ange­geben.

Bei statisch unbe­stimmten Systemen ist die Berechnung der Auf­lager­kräfte bzw. Ein­spann­momente nicht mehr so ein­fach. Man kann in diesem Fall zum Bei­spiel den Satz von Menabrea ver­wenden. Hier werden die Formeln für einen beid­seitig einge­spannten Träger ange­geben und für einen Balken, der nur auf einer Seite einge­spannt ist und auf der anderen Seite ein Fest­lager besitzt.

Wie kommt man auf diese Formeln?

Hier finden Sie Links für die Her­leitungen der Formeln:

• Bei der Berechnung der Auflager­reaktionen muss man zwischen statisch be­stimmten und statisch unbe­stimmten Systemen unter­scheiden:
• • statisch be­stimmte Träger: Lager­reak­tionen berechnen

• • statisch unbe­stimmter Träger: Satz von Menabrea
• Mit dem Satz von Castigliano können die Ver­schiebungen (= Durch­biegung) und die Ver­drehungen (= Neigungs­winkel) berechnet werden.

Seite erstellt am 15.07.2020. Zuletzt geändert am 11.01.2021.