Formeln für Auf­lager­reak­tionen & Durch­biegung

Auf dieser Seite finden Sie zwei Tabellen mit den Formeln zur Berech­nung der Auf­lagerkräfte und Einspann­momente (= Auf­lager­reaktionen), der Neigungs­winkel und der (maximalen) Durch­biegung für einige wichtige Belastungs­fälle sowohl für statisch bestimmte Systeme als auch für statisch unbestimmte Systeme. Natürlich werden auch die in den Formeln ver­wendeten Variablen erklärt.

 

Zudem gibt es Links auf Unter­seiten, falls Sie an der Her­leitung dieser Formeln Inter­esse haben. Sollten Sie hin­gegen nur etwas berechnen wollen, können Sie auch meinen Balken­rechner ver­wenden. Bei nicht in dieser Formel­sammlung angeführten Lastfällen ist die Seite Superpositionsprinzip sehr empfehlens­wert.

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Formeln und Erklärung der Variablen

Die maximale Durch­biegung des Balkens kann mit den ange­gebenen Formeln nur für eine Gleich­last oder für eine Drei­ecks­last berechnet werden. Im Falle einer Einzel­last wird mit den Formeln in der Tabelle die Durch­biegung (= Ver­schiebung) an der Stelle dieser Last berechnet. Aller­dings unter­scheidet sich dieser Wert in der Regel nicht viel von der maximalen Durch­biegung. Eine Aus­nahme bildet der Krag­arm oder auch Kragträger: Hier wird die maximale Durch­biegung berechnet, da die maximale Durch­biegung in diesem Fall der Durch­biegung an der Stelle der Kraft entspricht.

 

Wird die Formel für eine Auflager­kraft oder ein Ein­spann­moment nicht ange­geben, ist diese Größe nicht vor­handen. Sie hat also den Wert null. Das gilt zum Bei­spiel für die Kräfte in x-Richtung. Ähnliches trifft auf die Neigungs­winkel zu: Bei einer festen Ein­spannung ist die Ver­drehung immer null und daher wird sie in der Tabelle auch nicht ange­führt. Achtung: Der Winkel kommt bei der Berechnung in Radiant und nicht in Grad heraus!

Erklärung der Variablen

Diese Abkürzungen werden in den folgenden beiden Tabellen verwendet:

FA Auflagerkraft im Lager A in z-Richtung in N
FB Auflagerkraft im Lager B in z-Richtung in N
MA Einspannmoment im Lager A
f Durchbiegung des Balkens an der Stelle der Einzelkraft F in mm
fm maximale Durchbiegung des Balkens in mm
αA Neigungswinkel im Lager A in rad
αB Neigungswinkel im Lager B in rad
F Einzelkraft in N
q Streckenlast in N/mm
l Länge des Balkens in mm
Iy Flächenträgheitsmoment in mm4
E E-Modul in N/mm², passende Werte findet man zum Beispiel auf Wikipedia

Tabelle mit Formeln für statisch bestimmte Träger

Können die gesuchten Auflager­reaktionen - also die Auf­lager­kräfte und die Ein­spann­momente - nur mit Hilfe der Gleich­gewichts­bedingungen ermittelt werden, spricht man von einem statisch bestimmten System. Dazu zählen der Einfeld­träger (Balken mit einem Fest­lager und einem Los­lager) und der Kragarm.

 

Belastungsfall des Balkens

Auflagerkräfte &

Einspannmoment

(maximale) Durch-

biegung & Winkel

Balken mit Festlager, Einzellast, Loslager

Festlager - Einzellast - Loslager

(= Einfeldträger)

 

 

 

Balken mit Festlager, Gleichlast, Loslager

Festlager - Gleichlast - Loslager

(= Einfeldträger)

 

 

 

 

Festlager - Dreieckslast - Loslager

 

 

 

 

 

Balkenrechner_Kragbalken

Feste Einspannung - Einzellast - Freies Ende

(= Kragträger/Kragarm)

 

 

 

 

Feste Einspannung - Gleichlast - Freies Ende

(= Kragträger/Kragarm)

 

 

 

 

Feste Einspannung - Dreieckslast - Freies Ende

 

 

 

 

Feste Einspannung - Dreieckslast - Freies Ende

 

 

 

 

Balkenrechner_fliegende Lagerung

Festlager - Loslager - Einzellast

(= Fliegende Lagerung)

 

 

 Anmerkung:

 FA wirkt hinunter, so wie F!

 

 

 

Tabelle mit Formeln für statisch unbestimmte Träger

Bei statisch unbe­stimmten Systemen ist die Berechnung der Auf­lager­kräfte bzw. Ein­spann­momente nicht mehr so ein­fach. Man kann in diesem Fall zum Bei­spiel den Satz von Menabrea verwenden.

 

Belastungsfall des Balkens

Auflagerkräfte &

Einspannmoment

(maximale) Durch-

biegung & Winkel

 

Feste Einspannung - Einzellast -

Feste Einspannung

 

 

 

 

 

Feste Einspannung - Gleichlast -

Feste Einspannung

 

 

 >> Herleitung

 

 >> Herleitung

Feste Einspannung - Dreieckslast -

Feste Einspannung

 

 

 

 

 

Feste Einspannung - Einzellast - Loslager

 

 

 

 

 

Feste Einspannung - Dreieckslast - Loslager

 

 

 

 

 

Feste Einspannung - Dreieckslast - Loslager

 

 

 

 

 

Feste Einspannung - Dreieckslast - Loslager

 

 

 

 

 

Wie kommt man auf diese Formeln?

Hier finden Sie Links für die Her­leitungen der Formeln:

  • Bei der Berechnung der Auflager­reaktionen muss man zwischen statisch be­stimmten und statisch unbe­stimmten Systemen unter­scheiden:
  • Mit dem Satz von Castigliano können die Ver­schiebungen (= Durch­biegung) und die Ver­drehungen (= Neigungs­winkel) berechnet werden.

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Seite erstellt am 15.07.2020. Zuletzt geändert am 23.10.2020.