Formeln für Auflagerreaktionen & Durchbiegung

Auf dieser Seite finden Sie zwei Tabellen mit den Formeln zur Berechnung der Auf­lagerkräfte und Einspann­momente (= Auf­lager­reaktionen), der Neigungs­winkel und der (maximalen) Durch­biegung für einige wichtige Belastungs­fälle sowohl für statisch bestimmte Systeme als auch für statisch unbestimmte Systeme. Natürlich werden auch die in den Formeln ver­wendeten Variablen erklärt.

 

Zudem gibt es Links auf Unter­seiten, falls Sie an der Her­leitung dieser Formeln Interesse haben. Sollten Sie hin­gegen nur etwas berechnen wollen, können Sie auch meinen Balken­rechner ver­wenden. Bei nicht in dieser Formel­sammlung angeführten Lastfällen ist die Seite Superpositionsprinzip sehr empfehlens­wert.

Formeln und Erklärung der Variablen

Die maximale Durch­biegung des Balkens kann mit den ange­gebenen Formeln nur für eine Gleich­last oder für eine Drei­ecks­last berechnet werden. Im Falle einer Einzel­last wird mit den Formeln in der Tabelle die Durch­biegung (= Ver­schiebung) an der Stelle dieser Last berechnet. Aller­dings unter­scheidet sich dieser Wert in der Regel nicht viel von der maximalen Durch­biegung. Eine Aus­nahme bildet der Krag­arm oder auch Kragträger: Hier wird die maximale Durch­biegung berechnet, da die maximale Durch­biegung in diesem Fall der Durch­biegung an der Stelle der Kraft entspricht.

 

Wird die Formel für eine Auflager­kraft oder ein Ein­spann­moment nicht ange­geben, ist diese Größe nicht vor­handen. Sie hat also den Wert null. Das gilt zum Bei­spiel für die Kräfte in x-Richtung. Ähnliches trifft auf die Neigungs­winkel zu: Bei einer festen Ein­spannung ist die Ver­drehung immer null und daher wird sie in der Tabelle auch nicht ange­führt. Achtung: Der Winkel kommt bei der Berechnung in Radiant und nicht in Grad heraus!

Erklärung der Variablen

Diese Abkürzungen werden in den folgenden beiden Tabellen verwendet:

FA Auflagerkraft im Lager A in z-Richtung in N
FB Auflagerkraft im Lager B in z-Richtung in N
MA Einspannmoment im Lager A
f Durchbiegung des Balkens an der Stelle der Einzelkraft F in mm
fm maximale Durchbiegung des Balkens in mm
αA Neigungswinkel im Lager A in rad
αB Neigungswinkel im Lager B in rad
F Einzelkraft in N
q Streckenlast in N/mm
l Länge des Balkens in mm
Iy Flächenträgheitsmoment in mm4
E E-Modul in N/mm², passende Werte findet man zum Beispiel auf Wikipedia

Tabelle mit Formeln für statisch bestimmte Träger

Können die gesuchten Auflager­reaktionen - also die Auf­lager­kräfte und die Ein­spann­momente - nur mit Hilfe der Gleich­gewichts­bedingungen ermittelt werden, spricht man von einem statisch bestimmten System. Dazu zählen der Einfeld­träger (Balken mit einem Fest­lager und einem Los­lager) und der Kragarm.

 

Belastungsfall des Balkens

Auflagerkräfte &

Einspannmoment

(maximale) Durch-

biegung & Winkel

Balken mit Festlager, Einzellast, Loslager

Festlager - Einzellast - Loslager

(= Einfeldträger)

 

 

 

Balken mit Festlager, Gleichlast, Loslager

Festlager - Gleichlast - Loslager

(= Einfeldträger)

 

 

 

 

Festlager - Dreieckslast - Loslager

 

 

 

 

 

Balken mit fester Einspannung, Einzellast, freies Ende

Feste Einspannung - Einzellast - Freies Ende

(= Kragträger/Kragarm)

 

 

 

 

Feste Einspannung - Gleichlast - Freies Ende

(= Kragträger/Kragarm)

 

 

 

 

Feste Einspannung - Dreieckslast - Freies Ende

 

 

 

 

Feste Einspannung - Dreieckslast - Freies Ende

 

 

 

 

Tabelle mit Formeln für statisch unbestimmte Träger

Bei statisch unbestimmten Systemen ist die Berechnung der Auflagerkräfte bzw. Einspannmomente nicht mehr so einfach. Man kann in diesem Fall zum Beispiel den Satz von Menabrea verwenden.

 

Belastungsfall des Balkens

Auflagerkräfte &

Einspannmoment

(maximale) Durch-

biegung & Winkel

 

Feste Einspannung - Einzellast -

Feste Einspannung

 

 

 

 

 

Feste Einspannung - Gleichlast -

Feste Einspannung

 

 

 >> Herleitung

 

 >> Herleitung

Feste Einspannung - Dreieckslast -

Feste Einspannung

 

 

 

 

 

Feste Einspannung - Einzellast - Loslager

 

 

 

 

 

Feste Einspannung - Dreieckslast - Loslager

 

 

 

 

 

Feste Einspannung - Dreieckslast - Loslager

 

 

 

 

 

Feste Einspannung - Dreieckslast - Loslager

 

 

 

 

 

Wie kommt man auf diese Formeln?

Hier finden Sie Links für die Her­leitungen der Formeln:

  • Bei der Berechnung der Auflager­reaktionen muss man zwischen statisch bestimmten und statisch unbe­stimmten Systemen unter­scheiden:
  • Mit dem Satz von Castigliano können die Verschiebungen (= Durch­biegung) und die Ver­drehungen (= Neigungs­winkel) berechnet werden.

Seite erstellt am 15.07.2020. Zuletzt geändert am 06.08.2020.