Formeln für Auf­lager­reak­tionen & Durch­biegung

Auf dieser Seite finden Sie zwei Tabellen mit den Formeln zur Berech­nung der Auf­lagerkräfte und Einspann­momente (= Auf­lager­reaktionen), der Neigungs­winkel und der (maximalen) Durch­biegung für einige wichtige Belastungs­fälle sowohl für statisch bestimmte Systeme als auch für statisch unbestimmte Systeme. Natürlich werden auch die in den Formeln ver­wendeten Variablen erklärt.


Zudem gibt es hier Links zu Unter­seiten, falls Sie an der Her­leitung dieser Formeln Inter­esse haben. Sollten Sie hin­gegen nur etwas berechnen wollen, können Sie auch meinen Balken­rechner ver­wenden.
 

Links zu Unterseiten:

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Formeln und Erklärung der Variablen

Die maximale Durch­biegung des Balkens kann mit den ange­gebenen Formeln in der Regel nur für eine Gleich­last oder für eine Drei­ecks­last berechnet werden. Eine Aus­nahme stellt der statisch bestimmte Träger auf 2 Stützen dar, der mit der Einzel­kraft F be­lastet wird: Für diesen Fall sind die Formeln zur Berechnung der maximalen Durch­biegung angeführt.

Im Falle einer Einzel­last F wird mit den Formeln in der Tabelle die Durch­biegung (= Ver­schiebung) an der Stelle dieser Last F berechnet. Aller­dings unter­scheidet sich dieser Wert in der Regel nicht viel von der maximalen Durch­biegung. Eine Aus­nahme bildet der Krag­arm oder auch Kragträger: Hier wird die maximale Durch­biegung berechnet, da die maximale Durch­biegung in diesem Fall der Durch­biegung an der Stelle der Kraft entspricht.

Hinweise

  • Wird die Formel für eine Auflager­kraft oder ein Ein­spann­moment nicht ange­geben, ist diese Größe nicht vor­handen. Sie hat also den Wert null. Das gilt zum Bei­spiel für die Kräfte in x-Richtung oder für die Ein­spann­momente bei Fest- und Los­lagern. Ähnliches trifft auf die Neigungs­winkel zu: Bei einer festen Ein­spannung ist die Ver­drehung immer null und daher wird sie in der Tabelle auch nicht ange­führt.
  • Achtung: Der Winkel kommt bei der Berechnung in Radiant und nicht in Grad heraus!

Erklärung der Variablen

Diese Abkürzungen werden in den folgenden beiden Tabellen verwendet:

 

FA Auflagerkraft im Lager A in z-Richtung in N
FB Auflagerkraft im Lager B in z-Richtung in N
MA Einspannmoment im Lager A
f Durchbiegung des Balkens an der Stelle der Einzelkraft F in mm
fm maximale Durchbiegung des Balkens in mm
αA Neigungswinkel im Lager A in rad
αB Neigungswinkel im Lager B in rad
F Einzelkraft in N
q Streckenlast in N/mm
l Länge des Balkens in mm
Iy Flächenträgheitsmoment in mm4
E E-Modul in N/mm², passende Werte findet man zum Beispiel auf Wikipedia

Tabelle mit Formeln für statisch bestimmte Träger

Können die gesuchten Auflager­reaktionen – also die Auf­lager­kräfte und die Ein­spann­momente – nur mit Hilfe der Gleich­gewichts­bedingungen ermittelt werden, spricht man von einem statisch bestimmten System. Dazu zählen der Einfeld­träger (Balken mit je einem Fest­lager und einem Los­lager an beiden Enden) und der Krag­arm, wobei die Belastung beim Einfeldträger eine Gleichlast, eine Einzel­last oder eine Drei­ecks­last sein darf. Für den Krag­arm sind nur die Formeln bei einer Einzel­last am Ende des Trägers ange­geben.

 

Belastungsfall des Balkens

Auflagerkräfte &

Einspannmoment

(maximale) Durch-

biegung & Winkel

Balken mit Festlager, Einzellast, Loslager

Festlager – Einzellast – Loslager

(= Einfeldträger)

$$F_A=F·\left(1-\frac{a}{l}\right)$$

$$F_B=\frac{F·a}{l}$$

 Definition: b = l – a

$$\alpha_A=\frac{F·a·b·(l+b)}{6·E·I_y·l}$$

$$\alpha_B=\frac{F·a·b·(l+a)}{6·E·I_y·l}$$

$$f=\frac{F·a^2·b^2}{3·E·I_y·l}$$

 a > b:

$$f_m =\frac{F·b\sqrt{(l^2-b^2)^3}}{9·\sqrt{3}·E·I_y·l}$$

 a < b:

$$f_m =\frac{F·a\sqrt{(l^2-a^2)^3}}{9·\sqrt{3}·E·I_y·l}$$

Balken mit Festlager, Gleichlast, Loslager

Festlager – Gleichlast – Loslager

(= Einfeldträger)

$$F_A=\frac{q·l}{2}$$

$$F_B=\frac{q·l}{2}$$

$$f_m=\frac{5·q·l^4}{384·E·I_y}$$

$$\alpha_A=\alpha_B=\frac{q·l^3}{24·E·I_y}$$

Festlager – Dreieckslast – Loslager

$$F_A=\frac{q·l}{3}$$

$$F_B=\frac{q·l}{6}$$

$$f_m=\frac{q·l^4}{153,3·E·I_y}$$

$$\alpha_A=\frac{8·q·l^3}{360·E·I_y}$$

$$\alpha_B=\frac{7·q·l^3}{360·E·I_y}$$

Balkenrechner_Kragbalken

Feste Einspannung – Einzellast – Freies Ende

(= Kragträger/Kragarm)

$$F_A=F$$

$$M_A=F·l$$

$$f=f_m=\frac{F·l^3}{3·E·I_y}$$

$$\alpha_B=\frac{F·l^2}{2·E·I_y}$$

Feste Einspannung – Gleichlast – Freies Ende

(= Kragträger/Kragarm)

$$F_A=q·l$$

$$M_A=\frac{q·l^2}{2}$$

$$f_m=\frac{q·l^4}{8·E·I_y}$$

$$\alpha_B=\frac{q·l^3}{6·E·I_y}$$

>> Herleitung

Feste Einspannung – Dreieckslast – Freies Ende

$$F_A=\frac{q·l}{2}$$

$$M_A=\frac{q·l^2}{3}$$

$$f_m=\frac{11·q·l^4}{120·E·I_y}$$

$$\alpha_B=\frac{q·l^3}{8·E·I_y}$$

Feste Einspannung – Dreieckslast – Freies Ende

$$F_A=\frac{q·l}{2}$$

$$M_A=\frac{q·l^2}{6}$$

$$f_m=\frac{q·l^4}{30·E·I_y}$$

$$\alpha_B=\frac{q·l^3}{24·E·I_y}$$

Balkenrechner_fliegende Lagerung

Festlager – Loslager – Einzellast

(= Fliegende Lagerung)

$$F_A=F·\left(\frac{l}{a}-1\right)$$

$$F_B=\frac{F·l}{a}$$

 Anmerkung:

 FA wirkt hinunter, so wie F!

$$f=\frac{F·(l-a)^2·l}{3·E·I_y}$$

$$\alpha_A=\frac{F·a·(l-a)}{6·E·I_y}$$

$$\alpha_B=\frac{F·a·(l-a)}{3·E·I_y}$$

Tabelle mit Formeln für statisch unbestimmte Träger

Bei statisch unbe­stimmten Systemen ist die Berechnung der Auf­lager­kräfte bzw. Ein­spann­momente nicht mehr so ein­fach. Man kann in diesem Fall zum Bei­spiel den Satz von Menabrea ver­wenden. Hier werden die Formeln für einen beid­seitig einge­spannten Träger ange­geben und für einen Balken, der nur auf einer Seite einge­spannt ist und auf der anderen Seite ein Fest­lager besitzt.

 

Belastungsfall des Balkens

Auflagerkräfte &

Einspannmoment

(maximale) Durch-

biegung & Winkel

 

Feste Einspannung – Einzellast –

Feste Einspannung

$$F_A=F·\left(\frac{l-a}{l}\right)^2·\left(1+\frac{2·a}{l}\right)$$

$$F_B=F·\left(\frac{a}{l}\right)^2·\left(1+\frac{2·(l-a)}{l}\right)$$

$$M_A=-F·a·\left(\frac{l-a}{l}\right)^2$$

$$M_B=-F·(l-a)·\left(\frac{a}{l}\right)^2$$

$$f=\frac{F·a^3·(l-a)^3}{3·l^3·E·I_y}$$

Feste Einspannung – Gleichlast –

Feste Einspannung

$$F_A=F_B=\frac{q·l}{2}$$

$$M_A=M_B=-\frac{q·l^2}{12}$$

>> Herleitung

$$f_m=\frac{q·l^4}{384·E·I_y}$$

>> Herleitung

Feste Einspannung – Dreieckslast –

Feste Einspannung

$$F_A=\frac{7·q·l}{20}$$

$$F_B=\frac{3·q·l}{20}$$

$$M_A=-\frac{q·l^2}{20}$$

$$M_B=-\frac{q·l^2}{30}$$

$$f_m=\frac{q·l^4}{764·E·I_y}$$

Feste Einspannung – Einzellast – Loslager

$$F_A=F·\left(\frac{l-a}{l}\right)^2·\left(1+\frac{a}{2·l}+\frac{3·a}{2·(l-a)}\right)$$

$$F_B=F·\left(\frac{a}{l}\right)^2·\left(1+\frac{l-a}{2·l}\right)$$

$$M_A=\frac{F·a·(l-a)}{l}·\left(\frac{a}{2·l}-1\right)$$

$$f=\frac{f·(l-a)^2·a^3}{4·l^2·E·I_y}·\left(1+\frac{l-a}{3·l}\right)$$

$$\alpha_B=\frac{f·(l-a)·a^2}{4·l·E·I_y}$$

Feste Einspannung – Dreieckslast – Loslager

$$F_A=\frac{5·q·l}{8}$$

$$F_B=\frac{3·q·l}{8}$$

$$M_A=-\frac{q·l^2}{8}$$

$$f_m=\frac{q·l^4}{185·E·I_y}$$

$$\alpha_B=\frac{q·l^3}{48·E·I_y}$$

Feste Einspannung – Dreieckslast – Loslager

$$F_A=\frac{9·q·l}{40}$$

$$F_B=\frac{11·q·l}{40}$$

$$M_A=-\frac{7·q·l^2}{120}$$

$$f_m=\frac{q·l^4}{328·E·I_y}$$

$$\alpha_B=\frac{q·l^3}{80·E·I_y}$$

Feste Einspannung – Dreieckslast – Loslager

$$F_A=\frac{4·q·l}{10}$$

$$F_B=\frac{q·l}{10}$$

$$M_A=-\frac{q·l^2}{15}$$

$$f_m=\frac{q·l^4}{419·E·I_y}$$

$$\alpha_B=\frac{q·l^3}{120·E·I_y}$$

Wie kommt man auf diese Formeln?

Hier finden Sie Links für die Her­leitungen der Formeln:

  • Bei der Berechnung der Auflager­reaktionen muss man zwischen statisch be­stimmten und statisch unbe­stimmten Systemen unter­scheiden:

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Seite erstellt am 15.07.2020. Zuletzt geändert am 20.10.2021.