Auf dieser Seite findest du alles zum Thema Integrieren, also die Stammfunktionen von wichtigen Funktionen, die Integrationsregeln und weitere Formeln, zum Beispiel zum Berechnen des Volumens von Drehkörpern. Beim Integrieren geht es darum, für eine gegebene Funktion f(x) die Stammfunktion F(x) – also das Integral – zu bestimmen, was aber nicht immer so einfach möglich ist.
Integrieren ist das Gegenteil von differenzieren. Vor allem in der Schule ist auch der Begriff aufleiten als Gegenstück zu ableiten recht geläufig.
Inhaltsverzeichnis
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Wichtige Stammfunktionen
Von manchen Funktionen lässt sich die Stammfunktion ziemlich einfach bilden. Das trifft zum Beispiel auf Potenzfunktionen zu. Für andere Funktionen findet man deren Integrale in Tabellen bzw. ist die Berechnung teilweise nur recht schwierig möglich.
Wichtig:
Niemals auf die Integrationskonstante C vergessen!
Stammfunktion einer konstanten Funktion
Das Integral der konstanten Funktion f(x) = k wird wie folgt berechnet:
$$y=f(x)=k⟹F(x)=∫k\, dx=k·x+C$$
| k | Konstante |
| F(x) | Stammfunktion der Funktion f(x) |
| dx | gibt an, dass nach x zu integrieren ist |
| C | Integrationskonstante; ihr Wert ist prinzipiell unbekannt, kann aber bei gegebenen Anfangsbedingungen berechnet werden. |
Das dx am Ende des Integrals besagt, dass die Funktion f nach x zu integrieren ist. Eine konstante Funktion wird also integriert, indem man die Konstante k mit x multipliziert und am Ende eine Integrationskonstante C ergänzt.
Stammfunktion einer Potenzfunktion
Das Integral einer Potenzfunktion wird auf folgende Weise berechnet:
$$y=f(x)=x^n⟹F(x)=∫x^n\, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$
n Exponent oder Hochzahl; konstant
Die Stammfunktion einer Potenzfunktion bekommt man folglich durch Erhöhung der Hochzahl um 1 und anschließender Division durch diese um 1 vermehrte Hochzahl. Die Integrationskonstante C muss auch in diesem Fall hinzugefügt werden.
Formelsammlung: Stammfunktionen von wichtigen Funktionen
Für einige grundlegende Funktionen sind hier ihre Integrale angeführt. Auch die Stammfunktionen einer konstanten Funktion und einer Potenzfunktion werden der Vollständigkeit halber nochmals angeführt.
Die Integrationskonstante C wurde in dieser Formelsammlung aus Platzgründen weggelassen, sie muss bei Berechnungen aber immer angegeben werden!
0
$$\int 0 \, dx=C$$
Konstante Funktion
$$\int k \, dx=k·x$$
Potenzfunktion (n≠-1)
$$∫x^n\, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$$
Potenzfunktion (n=-1)
$$∫x^{-1}\, dx=∫\frac{1}{x}\, dx=ln|x|$$
Weitere Funktionen
$$∫\frac{1}{x+a}\, dx=ln|x+a|$$
$$∫\frac{1}{(x+a)^2}\, dx=-\frac{1}{x+a}$$
Natürliche Exponentialfunktion
$$\int e^x\, dx=e^x$$
$$\int e^{a·x}\, dx=\frac{1}{a}e^{a·x}$$
Exponentialfunktion
$$\int a^x\, dx=\frac{a^x}{ln(a)}$$
Natürliche Logarithmusfunktion
$$\int ln(x)\, dx=x·ln(x)-x$$
Logarithmusfunktion
$$\int \log_a (x)\, dx=$$
$$\frac{1}{ln(a)}·(x·ln(x)-x)$$
Sinusfunktion
$$\int sin(x)\, dx=-cos(x)$$
Kosinusfunktion
$$\int cos(x)\, dx=sin(x)$$
Tangensfunktion
$$\int tan(x)\, dx=-ln|cos(x)|$$
Kotangensfunktion
$$\int cot(x)\, dx=ln|sin(x)|$$
Weitere Funktionen
$$\int \frac {1}{cos^2(x)}\, dx=tan(x)$$
$$\int \frac {1}{sin^2(x)}\, dx=-cot(x)$$
$$\int \frac {1}{\sqrt{1-x^2}}\, dx=arcsin(x)$$
$$\int \frac {-1}{\sqrt{1-x^2}}\, dx=arccos(x)$$
$$\int \frac {1}{1+x^2}\, dx=arctan(x)$$
$$\int \frac {-1}{1+x^2}\, dx=arccot(x)$$
$$\int \frac {1}{\sqrt{x^2+1}}\, dx=arcsinh(x)$$
$$\int \frac {1}{\sqrt{x^2-1}}\, dx=arccosh(x)$$
für |x| < 1 gilt:
$$\int \frac {1}{1-x^2}\, dx=arctanh(x)$$
für |x| > 1 gilt:
$$\int \frac {1}{1-x^2}\, dx=arccoth(x)$$
$$\int sin(a·x)·cos(a·x)\, dx=$$
$$\frac{1}{2·a}·sin^2(a·x)$$
$$\int \frac{\, dx}{sin(a·x)·cos(a·x)}=$$
$$\frac{1}{a}·ln|tan(a·x)|$$
Zusammenhang
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx=ln|f(x)|$$
Rechenregeln für das Integrieren
Terme, die durch Plus- oder Minuszeichen getrennt sind, werden einzeln integriert:
$$∫\left[f(x)±g(x)\right]\, dx=∫f(x)\, dx±∫g(x)\, dx$$
Alle Konstanten kann man vor das Integral schreiben:
$$∫[k·f(x)]\, dx=k·∫f(x)\, dx$$
k Konstante
Partielle Integration
Das Integral eines Produkts von zwei Funktionen f(x) und g(x) kann manchmal mittels partieller Integration berechnet werden:
$$\int[f(x)·g(x)]\, dx=F(x)·g(x)-\int [F(x)·g'(x)] \, dx$$
| F(x) | Stammfunktion der Funktion f(x) |
| g'(x) | 1. Ableitung von g(x) |
Integration durch Substitution
Viele Integrale lassen sich oft nur mithilfe der Substitution ermitteln:
$$\int f(x)\, dx=\int[f(g(u))·g'(u)]\, du$$
Bestimmtes Integral & Flächeninhalte
Ein bestimmtes Integral erkennt man an den Integrationsgrenzen a und b. Sein Wert wird berechnet, indem man die Grenzen a und b in die Stammfunktion F(x) einsetzt und diese beiden Terme anschließend voneinander abzieht:
$$\int_a^b f(x)\, dx=F(b)-F(a)$$
a, b Integrationsgrenzen
Flächeninhalt zwischen f(x) und der x-Achse
Schneidet die Funktion f(x) zwischen den Stellen a und b nicht die x-Achse (das heißt, dass sie in diesem Intervall keine Nullstellen hat), entspricht der Betrag des bestimmten Integrals der Fläche A zwischen der Funktion f(x) und der x-Achse im Intervall [a; b]. Die Buchstaben a und b entsprechen den Integrationsgrenzen:
$$A=\left|\int_a^b f(x)\, dx \right|$$
Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen f(x) und g(x)
Den Flächeninhalt A zwischen zwei Funktionen f(x) und g(x) im Intervall [a; b] bestimmt man mit der folgenden Formel:
$$A=\int_a^b [f(x)-g(x)]\, dx$$
Dabei muss für alle x zwischen den Stellen a und b stets gelten: f(x) ≥ g(x). Das heißt, die Funktion f(x) muss sich immer über g(x) befinden.
Haben die beiden Funktionen mehrere gemeinsame Schnittpunkte, muss man das Integral in einzelne Bereiche aufteilen, damit die obere Bedingung auch immer erfüllt ist.
Volumen von Drehkörpern (Rotationskörpern)
Das Volumen V eines Rotationskörpers kann man mit Hilfe der Integralrechnung berechnen.
Die Formel für das Volumen V bei Drehung um die x-Achse lautet:
$$V=π·∫_a^b[f(x)]^2\, dx=π·∫_a^b y^2 \, dx$$
Bei Drehung um die y-Achse gilt für die Berechnung des Volumens V, wobei f -1 die Umkehrfunktion ist:
$$V=π·∫_{f(a)}^{f(b)}[f^{-1}(y)]^2\, dy=π·∫_{f(a)}^{f(b)} x^2 \, dy$$
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Seite erstellt am 23.06.2021. Zuletzt geändert am 02.05.2022.