Integrieren: Stamm­funk­tionen & Rechen­regeln

Auf dieser Seite findest du alles zum Thema Inte­grieren, also die Stamm­funk­tionen von wichtigen Funk­tionen, die Inte­grations­regeln und weitere Formeln. Beim Integrieren geht es darum, für eine gege­bene Funktion f(x) die Stamm­funktion F(x) - also das Inte­gral - zu be­stimmen, was aber nicht immer so ein­fach mög­lich ist.

 

Integrieren ist das Gegen­teil von differen­zieren. Vor allem in der Schule ist auch der Be­griff auf­leiten als Gegen­stück zu ab­leiten recht geläufig.

Wichtige Stammfunktionen

Von manchen Funktionen lässt sich die Stamm­funktion ziem­lich ein­fach bilden. Das trifft zum Bei­spiel auf Potenz­funktionen zu. Für andere Funk­tionen findet man deren Inte­grale in Tabellen bzw. ist die Berechnung teil­weise nur recht schwierig mög­lich.

 

Wichtig:

Niemals auf die Integrations­konstante C ver­gessen!

Stammfunktion einer konstanten Funktion

Das Integral der konstanten Funktion f(x) = k wird wie folgt berechnet:

$$y=f(x)=k⟹F(x)=∫k\, dx=k·x+C$$

k Konstante
F(x) Stammfunktion der Funktion f(x)
dx gibt an, dass nach x zu integrieren ist
C

Inte­grations­konstante; ihr Wert ist prinzipiell unbekannt, kann aber bei gegebenen Anfangs­bedingungen berechnet werden.

 

Das dx am Ende des Inte­grals besagt, dass die Funktion f nach x zu inte­grieren ist. Eine konstante Funktion wird also inte­griert, indem man die Konstante k mit x multi­pliziert und am Ende eine Inte­gra­tions­konstante C ergänzt.

Stammfunktion einer Potenzfunktion

Das Integral einer Potenzfunktion wird auf folgende Weise berechnet:

$$y=f(x)=x^n⟹F(x)=∫x^n\, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

n Exponent oder Hochzahl; konstant


Die Stammfunktion einer Potenz­funktion bekommt man folg­lich durch Er­höhung der Hoch­zahl um 1 und an­schließender Divi­sion durch diese um 1 ver­mehrte Hoch­zahl. Die Inte­grations­konstante C muss auch in diesem Fall hinzu­gefügt werden.

Stammfunktionen von wichtigen Funktionen

Für einige grund­legende Funk­tionen sind hier ihre Inte­grale ange­führt. Auch die Stamm­funk­tionen einer kons­tanten Funk­tion und einer Potenz­funktion werden der Voll­ständig­keit halber noch­mals ange­führt:

 

Konstante Funktion

$$\int k \, dx=k·x+C$$

Potenzfunktion (n≠-1)

$$∫x^n\, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

Potenzfunktion (n=-1)

$$∫x^{-1}\, dx=∫\frac{1}{x}\, dx=ln|x|+C$$

Natürliche Exponentialfunktion

$$\int e^x\, dx=e^x+C$$

Exponentialfunktion

$$\int a^x\, dx=\frac{a^x}{ln(a)}+C$$

Natürliche Logarithmusfunktion

$$\int ln(x)\, dx=x·ln(x)-x+C$$

Logarithmusfunktion

$$\int \log_a (x)\, dx=$$

$$\frac{1}{ln(a)}·(x·ln(x)-x)+C$$

Sinusfunktion

$$\int sin(x)\, dx=-cos(x)+C$$

Kosinusfunktion

$$\int cos(x)\, dx=sin(x)+C$$

Tangensfunktion

$$\int tan(x)\, dx=-ln|cos(x)|+C$$

Kotangensfunktion

$$\int cot(x)\, dx=ln|sin(x)|+C$$

Weitere Funktionen

$$\int \frac {1}{cos^2(x)}\, dx=tan(x)+C$$

$$\int \frac {1}{sin^2(x)}\, dx=-cot(x)+C$$

Zusammenhang

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx=ln|f(x)|+C$$


Rechenregeln für das Inte­grieren

Terme, die durch Plus- oder Minus­zeichen ge­trennt sind, werden ein­zeln inte­griert:

$$∫\left[f(x)±g(x)\right]\, dx=∫f(x)\, dx±∫g(x)\, dx$$

Alle Konstanten kann man vor das Integral schreiben:

$$∫[k·f(x)]\, dx=k·∫f(x)\, dx$$

k Konstante

Partielle Integration

Das Integral eines Pro­dukts von zwei Funk­tionen f(x) und g(x) kann manch­mal mittels partieller Inte­gration be­rechnet werden:

$$\int[f(x)·g(x)]\, dx=F(x)·g(x)-\int [F(x)·g'(x)] \, dx$$

F(x) Stammfunktion der Funktion f(x)
g'(x) 1. Ableitung von g(x)

Integration durch Substitution

Viele Integrale lassen sich oft nur mit­hilfe der Substitution er­mitteln:

$$\int f(x)\, dx=\int[f(g(u))·g'(u)]\, du$$

Bestimmtes Integral & Flächeninhalte

Ein bestimmtes Integral erkennt man an den Inte­grations­grenzen a und b. Sein Wert wird berechnet, indem man die Grenzen a und b in die Stamm­funk­tion F(x) einsetzt und diese beiden Terme an­schlie­ßend von­ein­ander abzieht:

$$\int_a^b f(x)\, dx=F(b)-F(a)$$

a, b Integrationsgrenzen

Flächeninhalt zwischen f(x) und der x-Achse

Schneidet die Funktion f(x) zwischen den Stellen a und b nicht die x-Achse (das heißt, dass sie in diesem Intervall keine Null­stellen hat), ent­spricht der Betrag des be­stimmten Inte­grals der Fläche A zwischen der Funk­tion f(x) und der x-Achse im Intervall [a; b]. Die Buchstaben a und b ent­sprechen den Inte­grations­grenzen:

$$A=\left|\int_a^b f(x)\, dx \right|$$

Flächenberechnung mittels Integrals

Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen f(x) und g(x)

Den Flächeninhalt A zwischen zwei Funktionen f(x) und g(x) im Intervall [a; b] bestimmt man mit der folgenden Formel:

$$A=\int_a^b [f(x)-g(x)]\, dx$$

Dabei muss für alle x zwischen den Stellen a und b stets gelten: f(x) ≥ g(x). Das heißt, die Funktion f(x) muss sich immer über g(x) befinden.

Haben die beiden Funk­tionen mehrere gemein­same Schnitt­punkte, muss man das Inte­gral in einzelne Bereiche auf­teilen, damit die obere Bedingung auch immer er­füllt ist.

Volumen von Drehkörpern (Rotationskörpern)

Das Volumen V eines Rotations­körpers kann man mit Hilfe der Inte­gral­rech­nung berechnen.

Die Formel für das Volumen V bei Drehung um die x-Achse lautet:

$$V=π·∫_a^b[f(x)]^2\, dx=π·∫_a^b y^2 \, dx$$

Volumen von Drehkörpern mittels Integralrechnung

Bei Drehung um die y-Achse gilt für die Berechnung des Volumens V, wobei f -1 die Umkehr­funktion ist:

$$V=π·∫_{f(a)}^{f(b)}[f^{-1}(y)]^2\, dy=π·∫_{f(a)}^{f(b)} x^2 \, dy$$

Volumen von Drehkörpern mittels Integralrechnung

Seite erstellt am 23.06.2021. Zuletzt geändert am 23.06.2021.