Auf dieser Seite werden alle Formeln zur Berechnung des hydrostatischen Drucks, der Bodenkraft, der Seitenkraft und der Auftriebskraft angegeben. Diese Größen gehören zum Gebiet der Hydrostatik, die Teil der Fluidmechanik ist. Neben den Formeln findest du hier auch einige Skizzen und ein durchgerechnetes Beispiel.
Inhaltsverzeichnis
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Übersichtstabelle
In der folgenden Tabelle findest du die wichtigsten Formeln auf einen Blick. Für etwas detaillierteres Wissen sei auf die nächsten Abschnitte bzw. auf die Links in der Tabelle verwiesen.
| Formel | |
| Hydrostatischer Druck p | $$p=\frac{F}{A}$$ |
| Bodenkraft FB | $$F_B=\rho·g·h·A$$ |
| Seitenkraft FS | $$F_S=\rho·g·A·y_S$$ |
| Druckmittelpunkt yD | $$y_D=y_S+\frac{I}{A·y_S}$$ |
| Auftriebskraft FA | $$F_A=V·\rho·g$$ |
Der Abstand des Schwerpunkts der belasteten Seitenfläche von der Oberfläche wird mit yS bezeichnet.
Erklärung zu den Formeln für die einzelnen Kräfte
Hydrostatischer Druck p
Der hydrostatische Druck p ist definiert als Quotient der Kraft F und der Fläche A und kann als Spannung in einer ruhenden Flüssigkeit gesehen werden. Er ist vergleichbar mit der Druckspannung in der Festigkeitslehre. Daher lautet die Formel zur Berechnung des Drucks:
$$p=\frac{F}{A}=\frac{Kraft}{Fläche}$$
| p | Hydrostatischer Druck in Pascal: 1 Pa = 1 N/m², 105 Pa = 1 bar |
| F | Kraft in N |
| A | Fläche in m² |
In die Formel ist die Kraft in N und die Fläche in m² einzusetzen. Die SI-Einheit des Drucks ist das Pascal, abgekürzt Pa. Im Alltag verwendet man dafür aber meist die Einheit bar. Es gelten die folgenden Zusammenhänge:
$$1\: Pa = 1\: \frac{N}{m^2}$$
$$ 1\: bar = 10^5\: Pa$$
Bodenkraft FB
Die sogenannte Bodenkraft ist – wie schon der Name sagt – jene Kraft, die auf den Boden von einem waagrechten Behälter wirkt, der mit einer Flüssigkeit gefüllt ist. Die Bodenkraft FB wird wie folgt berechnet:
$$F_B=\rho·g·h·A$$
| FB | Bodenkraft in N |
| ρ | Dichte des Fluids in kg/m³; ρWasser = 1000 kg/m³ |
| g | Erdbeschleunigung, g = 9.81 m/s² |
| h | Höhe der Flüssigkeit über dem Boden in m |
| A | Fläche des Bodens in m² |
Die Größe der Bodenkraft hängt laut Formel von der Flüssigkeitsdichte, der Höhe der Flüssigkeit über dem Boden (=Tiefe) und der Bodenfläche ab. Die Form des Behälters hat jedoch keinen Einfluss auf Größe der Bodenkraft! Da alle Behälter in der folgenden Abbildung die gleiche Bodenfläche und die gleiche Wassertiefe aufweisen, ist auch die Bodenkraft immer gleich groß:
Wie kommt man auf die Formel für die Bodenkraft?
Man geht zunächst von der allgemeinen Formel für die Kraft aus, also Kraft = Masse mal Beschleunigung. Die Beschleunigung ist hier die Erdbeschleunigung g:
$$F=m·a\Rightarrow F=m·g$$
Die Masse ist das Produkt aus Dichte ρ mal Volumen V. Das Volumen bekommt man durch Multiplikation von Grund- bzw. Bodenfläche A mal der Höhe h:
$$m=\rho·V \Rightarrow F=\rho·h·A$$
Somit erhält man nach Einsetzen in die Formel und Umformen die gesuchte Bodenkraft:
$$F=m·g=\rho·h·A·g \Rightarrow F_B=\rho·g·h·A$$
Seitenkraft FS und Abstand des Druckmittelpunkts yD
Flüssigkeiten üben natürlich auch Kräfte auf die Seitenwände aus. Mit der folgenden Formel kann die Seitenkraft FS berechnet werden:
$$F_S=\rho·g·A·y_S$$
| FS | Seitenkraft in N |
| ρ | Dichte des Fluids in kg/m³; ρWasser = 1000 kg/m³ |
| g | Erdbeschleunigung, g = 9.81 m/s² |
| A | Belastete Seitenfläche in m² |
| yS |
Abstand des Schwerpunkts der belasteten |
Im sogenannten Druckmittelpunkt greift die Seitenkraft FS an. Er liegt immer tiefer als der Schwerpunkt der belasteten Fläche. Der Abstand des Druckmittelpunktes von der Oberfläche yD wird wie folgt berechnet:
$$y_D=y_S+\frac{I}{A·y_S}$$
| yD | Abstand des Druckmittelpunktes von der Oberfläche in m |
| yS |
Abstand des Schwerpunkts der Seitenfläche von der Oberfläche in m |
| I | Flächenträgheitsmoment in m4 |
| A | Belastete Seitenfläche in m² |
Die beiden Maße sind übrigens im nächsten Beispiel in einer Skizze eingezeichnet. Für das Flächenträgheitsmoment gibt es Formeln oder man verwendet meinen Flächenträgheitsmomentrechner.
Auftriebskraft FA
Die Auftriebskraft FA wird mit dieser Formel bestimmt:
$$F_A=V·\rho·g=m_{Flüssigkeit}·g$$
| FA | Auftriebskraft in N |
| V | verdrängtes Volumen in m³ |
| ρ | Dichte des Fluids in kg/m³; ρWasser = 1000 kg/m³ |
| g | Erdbeschleunigung, g = 9.81m/s² |
| A | Belastete Seitenfläche in m² |
Beispiel: Oben offener Behälter mit seitlicher Klappe
Die Seitenkraft FS auf die rechteckige Klappe und die Lage ihres Druckpunkts – also der Abstand yD – sind gefragt:
Bei der belasteten Seitenfläche (=Fläche der Klappe) handelt es sich um ein Rechteck, daher ist die Fläche A = a·b. Der Schwerpunkt SP liegt übrigens genau in der Mitte des Rechtecks. Mit der obigen Formeln erhält man daher für die Seitenkraft:
$$F_S=\rho·g·A·y_S \Rightarrow F_S=\rho·g·a·b·y_S$$
Wie schon zuvor erwähnt ist die belastete Fläche ein Rechteck. Das Flächenträgheitsmoment dafür lautet (siehe Formelsammlung):
$$I=\frac{b·a^3}{12}$$
Der Abstand yD wird daher wie folgt berechnet:
$$y_D=y_S+\frac{I}{A·y_S} \Rightarrow y_D=y_S+\frac{\frac{b·a^3}{12}}{a·b·y_S}$$
Vereinfachen durch Auflösen des Doppelbruchs ergibt:
$$y_D=y_S+\frac{a^2}{12·y_S}$$
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Seite erstellt am 24.10.2023. Zuletzt geändert am: