Logarithmen: Theorie, Formeln & Beispiele

Auf dieser Seite findest du alle Formeln und Zusammen­hänge, die man zum Rechnen mit Loga­rithmen benötigt. Nach den Formeln gibt es ein paar voll­ständig durchge­rechnete Bei­spiele, die helfen, die Theorie besser zu ver­stehen.


Logarithmen benötigt man unter anderem beim Lösen von Exponential­gleichungen, wo die gesuchte Unbe­kannte im Expo­nenten steht. Zudem kann man viele wichtige Zusammen­hänge und tech­nische und natür­liche Vor­gänge mithilfe von Loga­rithmen gut dar­stellen (siehe „logarith­mische Skalierung“).

Werbung

Grundlegendes

Es gilt folgender Zusammen­hang:

$$a^x=u⇔x=log_a (u)$$

Mit a wird die Basis des Loga­rithmus be­zeichnet, x ist der Expo­nent. Der Loga­rithmus ist also jener Expo­nent x, mit dem die Basis a poten­ziert werden muss, um den Numerus u zu be­kommen. Loga­rithmieren ist die Um­kehrung des Poten­zierens, wobei sowohl die Basis als auch der Numerus positive Zahlen sein müssen.

Formeln

Die Formeln bzw. Rechenregeln zum Umformen von Logarithmen lauten:

$$\log_a (u·v)=\log_a (u)+\log_a (v)$$

$$\log_a \left(\frac{u}{v}\right)=\log_a (u)-\log_a (v)$$

$$\log_a \left(u^n\right)=n·\log_a (u)$$

$$\log_a \left(\sqrt[n]{u}\right)=\log_a \left(u^{\frac{1}{n}}\right)=\frac{1}{n}·\log_a (u)$$

Besondere Logarithmen

Folgende Logarithmen sind von großer Be­deutung:

  • lg(a): So wird der dekadische Loga­rithmus abgekürzt, seine Basis beträgt 10. Daher ist er auch als Zehner­logarithmus bekannt. Auf den meisten Taschen­rechnern wird dafür jedoch die Taste log gebraucht.
  • ln(a): Dabei handelt es sich um den soge­nannten natür­lichen Loga­rithmus (latei­nisch: loga­rithmus naturalis) zur Basis e, wobei e die Eulersche Zahl ist. Sie beträgt 2,71828. Der natür­liche Loga­rithmus wird sinn­voller­weise beim Lösen von Exponential­gleichungen ver­wendet, da der ln(e) gleich 1 ist.
  • lb(a) oder ld(a): Das ist die Abkürzung für den binären Loga­rithmus, der auch als Zweier­loga­rithmus oder loga­rithmus dualis zur Basis 2 be­zeichnet wird.


Daher kann man auch schreiben:

$$\log_{10} (u)=lg(u)$$

$$\log_{\mathrm{e}} (u)=ln(u)$$

$$\log_2 (u)=lb(u)=ld(u)$$


Weiters gilt:

$$\log_a (a)=1$$

da das äquivalent ist zu a1 = a

$$\log_a \left(\frac{1}{a}\right)=-1$$

da das äquivalent ist zu a-1 = 1/a

$$\log_a (1)=0$$

da das äquivalent ist zu a0 = 1

Umrechnungen

$$a^x=\mathrm{e}^{x·\ln (a)}$$

$$ln(e)=1$$

$$\log_b (u)=\log_b(a)·\log_a(u)$$

$$\log_b (u)=\frac{\log_a(u)}{\log_a(b)}=\frac{\ln(u)}{\ln(b)}$$

Diese Formel ist sehr nütz­lich, falls der Taschen­rechner nur Loga­rithmen zur Basis 10 und e be­rechnen kann, siehe Bei­spiel 1.

Beispiele

In diesem Abschnitt wird das Rechnen mit Loga­rithmen durch Bei­spiele veran­schau­licht.

Beispiel 1:

Es ist folgende Gleichung zu lösen:

$$2^x=8$$


1) Probieren:

Die Lösung dieser ein­fachen Gleichung kann man mittels pro­bieren finden:

$$2·2·2=8⇒2^3=8⇒x=3$$


2) Anwendung Zusammenhang:

Oder man wendet den grund­legenden Zusammen­hang an:

$$a^x=u⇔x=log_a (u)⇒2^x=8⇔x=log_2 (8)$$

Gibt man das in einen Taschen­rechner ein, der auch Loga­rithmen zur Basis 2 be­rechnen kann, erhält man als Er­gebnis x=3. Viele ein­fache Taschen­rechner können das jedoch nicht. In diesem Fall kann man sich jedoch mit der Um­rechnungs­formel helfen:

$$\log_b (u)=\frac{\log_a(u)}{\log_a(b)}⇒\log_2 (8)=\frac{\log_{10}(8)}{\log_{10}(2)}=\frac{\ln(8)}{\ln(2)}=3$$


3) Anwendung Rechengesetz:

Als Erstes logarithmiert man die Gleichung, wobei die Basis egal ist (man könnte z. B. auch ln ver­wenden). Man erhält:

$$\log(2^x)=\log(8)$$

Die linke Seite der Gleichung kann mit­tels der 3. Formel umge­schrieben werden. Durch Divi­dieren und an­schließendes Ein­tippen in den Taschen­rechner bekommt man das Er­gebnis:

$$x·\log(2)=\log(8)⇒x=\frac{\log(8)}{\log(2)}=3$$

Beispiel 2:

Löse die folgende Gleichung:

$$2^x+2^{x+4}=3^{x+1}$$

Mithilfe der Rechen­regeln für Potenzen können die Hoch­zahlen umge­wandelt werden:

$$2^x+2^x·2^4=3^x·3^1$$

Herausheben von 2x ergibt:

$$2^x·(1+2^4)=3^x·3$$

Zusammenfassen des Klammer­aus­drucks und divi­dieren lie­fert:

$$2^x·17=3^x·3⇒2^x=3^x·\frac{3}{17}$$

Durch Logarithmieren bekommt man:

$$\ln(2^x)=\ln\left(3^x·\frac{3}{17}\right)$$

Anwenden der Rechen­regeln und auf die andere Seite bringen ergibt:

$$x·\ln(2)=x·\ln(3)+\ln\left(\frac{3}{17}\right)⇒x·\ln(2)-x·\ln(3)=\ln\left(\frac{3}{17}\right)$$

Durch herausheben und dividieren erhält man schließ­lich das Er­gebnis:

$$x·(\ln(2)-\ln(3))=\ln\left(\frac{3}{17}\right)⇒x=\frac{\ln\left(\frac{3}{17}\right)}{\ln(2)-\ln(3)}=4.27805$$

Beispiel 3:

Schreibe diesen Term als getrennte Terme an:

$$\log\left(\frac{3·x}{\sqrt[3]{x}·y^2}\right)$$

Anwenden der Rechen­regeln ergibt:

$$\log(3·x)-\log\left(x^{\frac{1}{3}}\right)-\log\left(y^2\right)=\log(3)+\log(x)-\frac{1}{3}·\log(x)-2·\log(y)$$

Beispiel 4:

Schreibe als Logarithmus eines Terms an:

$$\frac{1}{4}·\left[2·\ln(x)+\ln(y)-\ln(2·x+y)-3·\ln(x)\right]$$

Mithilfe der Rechen­regeln bekommt man:

$$\frac{1}{4}·\left[\ln\left(x^2\right)+\ln(y)-\ln(2·x+y)-\ln(x^3)\right]=\frac{1}{4}·\ln\left(\frac{x^2·y}{(2·x+y)·x^3}\right)$$

Kürzen von x² und anschreiben als Wurzel ergibt:

$$\frac{1}{4}·\ln\left(\frac{y}{(2·x+y)·x}\right)=\ln\left(\sqrt[4]{\frac{y}{(2·x+y)·x}}\right)$$

Werbung

 

Seite erstellt im Juli 2022. Zuletzt geändert am 15.07.2022.