Formeln für Steigung & Gefälle

Auf dieser Seite findest du die Formeln zur Berech­nung der Stei­gung bzw. des Gefälles von Straßen, Eisen­bahn­strecken, Kanälen und dgl. Von einem Gefälle spricht man, wenn die Stei­gung negativ ist: Das ist der Fall, wenn man berg­ab fährt.

Zudem werden auch jene Formeln ange­geben, die man be­nötigt, wenn man die Stei­gung von Pro­zent in Grad um­rechnen möchte und umge­kehrt.

 

Willst du nur die Stei­gung wissen und bist nicht an den Formeln inter­essiert? Dann ist mein Stei­gungs­rechner ideal:

Werbung

Skizze & Formeln zur Berechnung der Steigung

Hier sind die Formeln und eine dazu passende Skizze samt Er­klärung der Abkürzungen zu finden.

Skizze

Steigungswinkel

Erklärung der Abkürzungen

a horizontaler (= waagrechter) Abstand
h Höhenunterschied (= vertikaler Abstand)
l Länge der Schrägen, also die Länge der Straße
α Steigungswinkel; Winkel zwischen Fahrbahn und Horizontalen

Formeln

Die Steigung wird meist mit k oder m be­zeichnet und ist defi­niert als Bruch:

$$k =\frac{h}{a}$$

Die Steigung wird also be­rechnet, in­dem man den Höhen­unter­schied durch die waag­rechte Ent­fernung divi­diert.

 

Mit den linken bzw. ersten beiden Formeln kann nun die Stei­gung in % bzw. in ‰ be­rechnet werden, wenn die waag­rechte Ent­fernung a und der Höhen­unter­schied h bzw. die Stei­gung k be­kannt sind:

 

Steigung in %

$$Steigung \nobreakspace in \nobreakspace \% =k⋅100 = \frac{h}{a}⋅100$$

 

Steigung in ‰

$$Steigung \nobreakspace in \nobreakspace ‰ =k⋅1000 = \frac{h}{a}⋅1000$$

Umrechnung % in ‰

Mit diesen zwei Formeln wird die Stei­gung von Prozent in Pro­mille umge­rechnet und umge­kehrt: 

$$Steigung\nobreakspace in\nobreakspace \%=\frac {Steigung\nobreakspace in\nobreakspace ‰}{10}$$

$$Steigung\nobreakspace in\nobreakspace ‰=Steigung\nobreakspace in\nobreakspace \%⋅10$$


 

Bis zu einer Steigung von unge­fähr 10 % bzw. 5.7° kann man in guter Näherung statt der waag­rechten Länge a auch die tat­sächlich zurück­gelegte, schräge Strecke l ver­wenden. Je kleiner die Stei­gung ist, desto geringer wird der Fehler.

 

Beispiel:

Bei einer Steigung von 10 % und einer waag­rechten Ent­fernung von 100 m ist der tat­säch­lich zurück­gelegte Weg nur um 0.5 m länger als die waag­rechte Ent­fernung.

 

Berechnung der Länge l & Umformungen

Sind bei größeren Stei­gungen die Länge l und der hori­zontale Abstand a oder die Höhe h be­kannt, wendet man zur Be­rechnung der Stei­gung zunächst den Satz des Pytha­goras an, siehe neben­stehende Formeln. Hat man sich a bzw. h be­rechnet, kann danach die Stei­gung mit den obigen Formeln er­mittelt werden.

$$l^2=a^2+h^2$$

$$a^2=\sqrt{l^2-h^2}$$

$$h^2=\sqrt{l^2-a^2}$$


 

Angabe der Steigung als Verhältnis

Vor allem früher wurde die Steigung als Verhältnis 1:x angegeben:

$$k=\frac{1}{x}$$

Das bedeutet, dass man zum Bei­spiel für 1 Höhen­meter x Meter in waag­rechter Rich­tung zurück­legen muss.

 

Es gilt also:

$$k=\frac{1}{x}=\frac{h}{a}$$

Man kann nun x durch Umformen der obigen Beziehung berechnen:

$$x=\frac{a}{h}=\frac{1}{k}$$

Beispiel: Steigung von 1:40

Das Verhältnis 1:40 kann man auch als Dezimal­zahl bzw. in Pro­zent und Pro­mille an­schreiben:

$$k=\frac{1}{40}=0.025=2.5 \nobreakspace \%=25 \nobreakspace ‰$$

Winkelberechnung & Umrechnung von Prozent in Grad

Oft ist die Steigung in Grad gefragt bzw. ist der Steigungs­winkel bekannt und die Stei­gung in Pro­zent gesucht. Zur Um­rechnung zwischen diesen beiden Ein­heiten gibt es Formeln. Zudem wird nach diesen Formeln als Ergän­zung eine Um­rech­nungs­tabelle von Pro­zent in Grad ange­geben.

Formeln

Mit den folgenden Formeln erfolgt die Umrechnung von Prozent in Grad und umgekehrt:

$$\alpha=arctan(k)=arctan \left( \frac {h}{a}\right )$$

$$\alpha=arctan\left(\frac{Steigung\nobreakspace in \nobreakspace \%}{100}\right)$$

$$k=tan(\alpha)$$

$$Steigung\nobreakspace in \nobreakspace \%=tan(\alpha)⋅100$$

$$Steigung\nobreakspace in \nobreakspace ‰=tan(\alpha)⋅1000$$


Ähnlich geht man vor, wenn die Stei­gung in ‰ vor­liegt: man nimmt ein­fach je­weils statt 100 die Zahl 1000. Der arctan ent­spricht auf dem Taschen­rechner der Taste tan-1.

Umrechnungstabelle von % in Grad

Grad ist die alltägliche Einheit für einen Winkel und wird mit dem Zeichen ° ange­schrieben. Vor allem in der Technik ist auch die Ein­heit rad (= Radiant) sehr gebräuch­lich.

 

Eine Stei­gung von 100 % ist ent­gegen der weit ver­breiteten Meinung keine Senk­rechte, sondern hat einen Winkel von "nur" 45 Grad. Für eine senk­rechte Wand be­trägt der Winkel 90°, während die Steigung in % unend­lich ist. Zu­dem kann eine Stei­gung 100 % über­schreiten. Aller­dings werden Stei­gungen über 100 % fast immer in Grad ange­geben.

 

Die nächste Tabelle zeigt, wie viel % Steigung einem Stei­gungs­winkel in Grad ent­sprechen.

 

Steigung in % Winkel in Grad
0 0
5 2.86
10 5.71
20 11.3
25 14.0
50 26.6
100 45
200 63.4

1000

84.3

unendlich

90

Werbung

Seite erstellt am 25.04.2021. Zuletzt geändert am 12.07.2021.