Formeln für Geschwindig­keit, Beschleu­nigung, Weg und Zeit

Auf dieser Seite finden Sie alle Formeln für die Berechnung von Geschwindig­keit, Beschleu­nigung, Weg und Zeit mit bzw. ohne Anfangs­geschwindig­keit. Ganz am Ende der Seite gibt es zum besseren Ver­ständnis der Formeln ein kleines Beispiel, in dem die Beschleu­nigung, die End­geschwindig­keit und die Durch­schnitts­geschwindig­keit berechnet werden.

 

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Formeln für durch­schnittliche Geschwindig­keit, Weg & Zeit

Mit den folgenden Formeln können die durch­schnittliche Geschwindig­keit, der zurück­gelegte Weg oder die benötigte Zeit berechnet werden. Man braucht sich nur eine dieser Formeln zu merken, da die anderen Formeln durch einfaches Umformen (= Umstellen) zu bekommen sind. Die Formel ganz rechts stellt die korrekte mathe­matische Schreib­weise dar und wird auch Differenzen­quotient genannt (mehr Infos auf dieser Seite):

Formel für die Geschwindigkeit Formel für den Weg

 Formel für die Zeit

Berechnung-Durchschnittsgeschwindigkeit-Differenzenquotient
Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit mit dem Differenzenquotienten

Bedeutung der Variablen

v

Durchschnittsgeschwindigkeit in m/s im Intervall [t0; t1]

(Englisch velocity, daher die Abkürzung v)

s bzw. Δs
zurückgelegter Weg bzw. Strecke in m im Intervall [t0; t1]
t bzw. Δt benötigte Zeit in s (Englisch time, daher die Abkürzung t)
s(t1) Weg zum Zeitpunkt t1
s(t0) Weg zum Zeitpunkt t0 (dieser Wert ist meist 0)

 

Achtung auf die Einheiten:

Die Einheiten müssen stets zusammen­passen! Um eine Geschwindig­keit v, die in km/h gegeben ist, in m/s umzu­rechnen, divi­diert man die Geschwindig­keit einfach durch 3.6:

v = 18 km/h --> 18/3.6 --> v = 5 m/s

 

Umgekehrt geht man ähnlich vor: Multi­pliziert man eine Geschwindig­keit v in der Einheit m/s mit 3.6, erhält man die­selbe Geschwindig­keit in km/h:

v = 10 m/s --> 10⋅3.6 --> v = 36 km/h

 

Alternative:

Setzt man den Weg in km und die Zeit in h ein, bekommt man die Geschwindig­keit in km/h.

Formeln bei gleichmäßiger Beschleunigung - mit Anfangs­geschwindig­keit ≠ 0

Die nachfolgenden Formeln gelten nur für eine gleichförmige (= konstante) Beschleunigung bzw. Ver­zögerung (= Bremsen, negative Beschleunigung) mit einer Anfangsge­schwindigkeit ungleich 0. Ein Anfangs­weg ist in den Formeln nicht berück­sichtigt, da er für die meisten Aufgaben nicht relevant ist.

 

Ein negativer Wert für die Beschleunigung bedeutet, dass tatsächlich gebremst bzw. verzögert wird.

 

Es müssen stets drei Größen bekannt sein!

 

Formeln zur Berechnung von Bremsweg, Beschleunigung, (Anfangs-)Geschwindigkeit und Zeit; konstante Beschleunigung; Anfangsgeschwindigkeit ungleich 0.
Formeln zur Berechnung von Bremsweg, Beschleunigung, (Anfangs-)Geschwindigkeit und Zeit für eine Anfangsgeschwindigkeit ungleich 0; Voraussetzung: konstante Beschleunigung.

Bedeutung der Variablen

v Endgeschwindigkeit in m/s
v0  Anfangsgeschwindigkeit in m/s
a

Beschleunigung bzw. Verzögerung in m/s²

(Englisch acceleration, daher die Abkürzung a)

s zurückgelegter (Brems-)Weg in m
t benötigte Zeit in s

Formeln bei gleichmäßiger Beschleunigung - ohne Anfangs­geschwindig­keit

Diese Formeln gelten für eine konstante Be­schleu­nigung bzw. Ver­zögerung, wobei sowohl die Anfangs­ge­schwindig­keit als auch der Anfangs­weg null sein müssen.

 

Im Prinzip sind das die gleichen Formeln wie oben, nur dass die Anfangs­ge­schwindig­keit v0 gleich null gesetzt wird. Die 5. Zeile in der obigen Formel­sammlung ent­fällt komplett.

 

Es müssen stets zwei Größen bekannt sein!

 

 

Für die Bedeutung der Variablen siehe voriges Kapitel.

 

Formeln zur Berechnung von Bremsweg, Beschleunigung, (Anfangs-)Geschwindigkeit und Zeit; konstante Beschleunigung, Anfangsgeschwindigkeit gleich 0.
Formeln für eine Anfangsgeschwindigkeit gleich 0 bei konstanter Beschleunigung.

Einfaches Beispiel

Dieses Beispiel zeigt, dass obige Formeln durch­aus auch in der Praxis anwend­bar sind. Man benötigt nur eine Stopp­uhr, die auf jedem Smart­phone vor­handen ist, und ein Maß­band.

 

Angabe

Ein Gartenbahnzug benötigt bei gleich­förmiger Beschleunigung 6 s zum Erreichen der Höchst­geschwindig­keit und legt dabei einen Weg von 9 m zurück. Unter der Voraus­setzung, dass die Anfangs­geschwindig­keit 0 m/s beträgt (Beschleu­nigung aus dem Still­stand), ist

  • die Beschleunigung,
  • die End­geschwindig­keit und
  • die durch­schnittliche Geschwindig­keit zu berechnen.

 

Berechnung der Beschleunigung

Einsetzen in die Formel in der 2. Zeile, letzte Spalte liefert die gesuchte Beschleunigung:

a = 2⋅s/t² = 2⋅9 m/(6 s)² --> a = 0.5 m/s²

 

Berechnung der Endgeschwindigkeit

Nun kann man sich leicht die Geschwindig­keit aus­rechnen, indem man einfach eine der drei Formeln aus der 3. Zeile aus­wählt. Bei Ver­wendung der 2. Formel erhält man:

v = a⋅t = 0.5 m/s²⋅6 s --> v = 3 m/s

Will man die Geschwindig­keit in km/h wissen, ist v mit 3.6 zu multi­plizieren: 3⋅3.6 = 10.8 km/h

 

Berechnung der Durch­schnitts­geschwindig­keit

Einsetzen in die Formel v = s/t ergibt:

v = 9 m / (6 s) --> v = 1.5 m/s = 1.5⋅3.6 km/h = 5.4 km/h

 

Wie man sieht, ist die Durch­schnitts­geschwindig­keit nur halb so groß wie die End­geschwindig­keit.

Momentangeschwindigkeit & Momentanbeschleunigung

Ist die Beschleunigung nicht konstant, ist die Verwendung der obigen Formeln unzu­lässig. Statt­dessen berechnet man die Beschleu­nigung, die Geschwindig­keit oder den Weg per Differential- oder Inte­gral­rechnung.

Die wichtigsten Formeln

Die momentane Geschwindig­keit v(t) zu einem beliebigem Zeit­punkt t berechnet man durch ein­maliges Ableiten der Weg­funktion s(t) nach der Zeit t (= Differential­quotient):

Momentangeschwindigkeit durch Differenzieren
Momentangeschwindigkeit durch Differenzieren

Ist hingegen die momentane Beschleu­nigung bekannt, muss man die Beschleu­nigungs­funktion a(t) nach der Zeit t inte­grieren, um die Momentan­geschwindig­keit v(t) zu bekommen:

Momentangeschwindigkeit durch Integrieren
Geschwindigkeit durch Integrieren

Die Momentan­beschleunigung a(t) erhält man durch ein­maliges Ableiten der Geschwindig­keits­funktion v(t) oder durch zwei­maliges Ableiten der Weg­funktion s(t) nach der Zeit t:

Momentanbeschleunigung
Momentanbeschleunigung
Momentanbeschleunigung
Momentanbeschleunigung

 

Den zurückgelegten Weg s(t) bekommt man durch Integration der Geschwindigkeit v(t):

Weg
Weg

 

Aus­führ­liche Infos, die Her­leitung der Formeln für eine konstante Beschleunigung und Bei­spiele:

>> Zusammenhang Ruck, Beschleunigung, Geschwindigkeit und Weg <<

Bedeutung der Variablen

v(t)

Funktion der Momentangeschwindigkeit in Abhängigkeit von t

s(t)

Funktion des Weges in Abhängigkeit von t

a(t)

Funktion der Momentanbeschleunigung in Abhängigkeit von t

t Zeit t in s

Seite erstellt am 11.07.2019. Zuletzt geändert am 31.03.2020.