Formeln für Geschwin­dig­keit, Be­schleu­nigung, Weg und Zeit

Auf dieser Seite finden Sie alle Formeln für die Berech­nung von Geschwin­dig­keit, Beschleu­nigung, Weg und Zeit mit bzw. ohne An­fangs­geschwindig­keit. Ganz am Ende der Seite gibt es zum besseren Ver­ständnis der Formeln ein kleines Beispiel, in dem die benötigte Zeit, die Be­schleu­nigung, die End­geschwindig­keit und die Durch­schnitts­geschwindig­keit berechnet werden.

 

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Formeln für die durch­schnitt­liche Ge­schwin­dig­keit

Mit den folgenden Formeln können die Durch­schnitts­ge­schwindig­keit v, der zurück­gelegte Weg s oder die benötigte Zeit t berech­net werden, wobei die durch­schnittsliche Ge­schwin­dig­keit konstant ist. Die erste Formel mit den Delta­zeichen Δ stellt die korrekte mathe­matische Schreib­weise dar und wird auch Differenzen­quotient genannt, da die Differenz der Wege durch die Zeit­differenz divi­diert wird:

 

Berechnung-Durchschnittsgeschwindigkeit-Differenzenquotient
Berechnung der (konstanten) Durch­schnitts­ge­schwin­dig­keit mit dem Differenzen­quotienten
Formeln für Weg und Zeit

Vereinfachte Schreibweise dieser Formeln

Die obigen Formeln sind auch in einer ver­ein­fachten Schreib­weise bekannt. Aller­dings muss man be­denken, dass es sich bei Weg und Zeit um Differenzen handelt, siehe auch die folgenden Bei­spiele auf dieser Seite:

  • Beispiel mit Anfangsweg s0 ≠ 0 (Weg­differenz)
  • Beispiel mit Anfangs­zeit t0 ≠ 0 (Zeit­differenz)

 

Diese Tat­sache kann man aber ignorieren, wenn der An­fangs­weg s0 und die An­fangs­zeit t0 gleich 0 sind.

 

Vereinfachte Formeln Geschwindigkeit Weg Zeit konstante Ge­schwin­dig­keit
Formeln für Geschwindigkeit, Weg und Zeit bei konstanter Ge­schwin­dig­keit

 

Bedeutung der Variablen

v

konstante Durchschnittsgeschwindigkeit in m/s im Intervall [t0; t1]

(Englisch velocity, daher die Abkürzung v)

s bzw. Δs zurückgelegter Weg bzw. Strecke (= Wegdifferenz) in m im Intervall [t0; t1]
t bzw. Δt benötigte Zeit (= Zeitdifferenz) in s (Englisch time, daher die Abkürzung t)
s(t0) bzw. s0 Weg zum Zeitpunkt t0 (Ausgangsort bzw. Anfangsweg); s0 und t0 sind oft 0
s(t1) bzw. s1 Weg zum Zeitpunkt t1 (Zielort)

 

Achtung auf die Einheiten:

Die Einheiten müssen stets zusammen­passen! Um eine Geschwindig­keit v, die in km/h gegeben ist, in m/s umzu­rechnen, divi­diert man die Geschwindig­keit einfach durch 3.6:

v = 18 km/h --> 18/3.6 --> v = 5 m/s

 

Umgekehrt geht man ähnlich vor: Multi­pliziert man eine Geschwindig­keit v in der Einheit m/s mit 3.6, erhält man die­selbe Geschwindig­keit in km/h:

v = 10 m/s --> 10⋅3.6 --> v = 36 km/h

 

Alternative:

Setzt man den Weg in km und die Zeit in h ein, bekommt man die Geschwindig­keit in km/h.

Formeln für die durch­schnitt­liche Be­schleu­nigung

Die durch­schnittliche Be­schleu­nigung a (Englisch acceleration, daher die Abkürzung a), die Ge­schwin­digkeits­änderung v oder die benötigte Zeit t können mit den folgenden Formeln berech­net werden, wobei die durch­schnittliche Be­schleu­nigung konstant ist:

 

Berechnung-Durchschnittsbeschleunigung-Differenzenquotient
Berechnung der (konstanten) durchschnittlichen Beschleunigung mit dem Differenzen­quotienten
Formeln für Geschwindigkeit und Zeit

 

Bedeutung der Variablen

a

konstante durchschnittliche Beschleunigung in m/s² im Intervall [t0; t1]

Δv

Geschwindigkeitsänderung (= Geschwin­dig­keits­differenz) in m/s im Intervall [t0; t1]

Δt

benötigte Zeit (= Zeitdifferenz) in s (Englisch time, daher die Abkürzung t)

v(t0) bzw. v0

Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t0 (Anfangsgeschwindigkeit); v0 und t0 sind oft 0

v(t1) bzw. v1

Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t1 (Endgeschwindigkeit)

 

 

Den folgenden Formeln liegt die obige Definition der durch­schnittlichen Beschleu­nigung bzw. dessen Integral zu­grunde. Die Geschwin­dig­keit zum Zeitpunkt t0 wird als Anfangs­geschwin­digkeit v0 be­zeichnet und die Ge­schwin­dig­keit zum Zeit­punkt t1 als End­ge­schwin­dig­keit v. Die Zeit­differenz Δt und die Weg­differenz Δs werden ver­ein­facht durch t bzw. s darge­stellt.

Formeln bei gleich­mäßiger Be­schleu­ni­gung - An­fangs­geschwin­dig­keit ≠ 0

Die nachfolgenden Formeln gelten nur für eine gleich­förmige (= kons­tante) Beschleu­nigung bzw. Ver­zögerung (= Bremsen, negative Be­schleu­nigung) mit einer möglichen Anfangsge­schwindigkeit ungleich 0. Beachten Sie bitte den Hinweis zu Differenzen unter den Formeln!

 

Formeln zur Berechnung von Bremsweg, Beschleunigung, (Anfangs-)Geschwindigkeit und Zeit; konstante Beschleunigung; Anfangsgeschwindigkeit ungleich 0.
Formeln zur Berechnung von Bremsweg, Beschleunigung, (Anfangs-)Geschwindigkeit und Zeit für eine Anfangsgeschwindigkeit ungleich 0; Voraussetzung: konstante Beschleunigung.

 

Bedeutung der Variablen

v Endgeschwindigkeit in m/s
v0  Anfangsgeschwindigkeit in m/s
a

Beschleunigung bzw. Verzögerung in m/s²

s zurückgelegter (Brems-)Weg (= Differenz der Wege) in m
t benötigte Zeit (= Differenz der Zeiten) in s

 

Hinweis zu Differenzen

  • Ein negativer Wert für die Beschleu­nigung bedeutet, dass tat­sächlich gebremst bzw. verzögert wird.
  • Man muss beachten, dass es sich bei Weg und Zeit eigent­lich um Differenzen handelt. Sind s(t0) und t0 gleich 0, kann man diese Tat­sache jedoch ignorieren. Ein Anfangs­weg ist in den Formeln also prinzipiell nicht berück­sichtigt, da er für die meisten Auf­gaben nicht relevant ist. Es jedoch mög­lich, den Weg s durch den Term s - s0 zu ersetzen, wie das folgende Bei­spiel zeigt.
  • Weiter unten finden Sie ein weiteres Bei­spiel mit der Berechnung einer Zeit­differenz.

 

Beispiel mit Anfangsweg s0

Ist ein Anfangsweg gegeben, wird in der Formel für den Weg (1. Zeile, 3. Spalte) s durch s - s0 ersetzt. Anschließend bringt man s0 auf die andere Seite, um den gesuchten Weg s zu erhalten:

Formel zur Berechnung des Weges bei konstanter Beschleunigung
Formel zur Berechnung des Weges bei konstanter Beschleunigung und Anfangsweg

Formeln bei gleichmäßiger Beschleunigung - Anfangs­geschwindig­keit = 0

Diese Formeln gelten für eine konstante Be­schleu­nigung bzw. Ver­zögerung, wobei sowohl die Anfangs­ge­schwindig­keit als auch der Anfangs­weg null sein müssen.

 

Im Prinzip sind das die gleichen Formeln wie oben, nur dass die Anfangs­ge­schwindig­keit v0 gleich null gesetzt wird. Die 5. Zeile in der obigen Formel­sammlung ent­fällt komplett.

 

Beachten Sie den Hinweis zu den Differenzen beim vorigen Kapitel!

 

Formeln zur Berechnung von Bremsweg, Beschleunigung, (Anfangs-)Geschwindigkeit und Zeit; konstante Beschleunigung, Anfangsgeschwindigkeit gleich 0.
Formeln für eine Anfangsgeschwindigkeit gleich 0 bei konstanter Beschleunigung.

Einfaches Beispiel

Dieses Beispiel zeigt, dass obige Formeln durch­aus auch in der Praxis anwend­bar sind. Man benötigt nur eine Uhr mit Sekunden­anzeige oder eine Stopp­uhr, die auf jedem Smart­phone vor­handen ist, und ein Maß­band.

 

Angabe

Ein Gartenbahnzug fährt um 16:10:05 ab und hat um 16:10:11 seine Höchst­geschwindig­keit erreicht. Er legt dabei einen Weg von 9 m zurück. Unter der Vor­aus­setzung, dass die An­fangs­geschwindig­keit 0 m/s beträgt (Beschleu­nigung aus dem Still­stand) und die Be­schleu­nigung konstant ist, ist

  • die benötigte Zeit,
  • die durchschnittliche Beschleunigung,
  • die End­geschwindig­keit und
  • die durch­schnittliche Geschwindig­keit zu berechnen.

 

Berechnung der Zeit

Die für den Beschleu­nigungs­vor­gang benötigte Zeit ist die Differenz der beiden Uhr­zeiten:

11 - 5 = 6 --> t = 6 s

 

Berechnung der Beschleu­nigung

Einsetzen in die Formel in der 2. Zeile, letzte Spalte liefert die ge­suchte Beschleu­nigung:

a = 2⋅s/t² = 2⋅9 m/(6 s)² --> a = 0.5 m/s²

 

Berechnung der Endge­schwin­dig­keit

Nun kann man sich leicht die Geschwin­dig­keit aus­rechnen, indem man ein­fach eine der drei Formeln aus der 3. Zeile aus­wählt. Bei Ver­wendung der 2. Formel erhält man:

v = a⋅t = 0.5 m/s²⋅6 s --> v = 3 m/s

Will man die Geschwin­dig­keit in km/h wissen, ist v mit 3.6 zu multi­plizieren: 3⋅3.6 = 10.8 km/h

 

Berechnung der Durch­schnitts­geschwin­dig­keit

Da zum Zeitpunkt t = 0, also zu Beginn, der Weg 0 beträgt, braucht man nur zwei Zahlen zu divi­dieren. Ein­setzen in die Formel v = s/t ergibt:

v = 9 m / (6 s) --> v = 1.5 m/s = 1.5⋅3.6 km/h = 5.4 km/h

 

Wie man sieht, ist die Durch­schnitts­geschwin­dig­keit nur halb so groß wie die End­ge­schwin­dig­keit.

Momentangeschwindigkeit & Momentanbeschleunigung

Ist die Beschleunigung nicht kons­tant, ist die Ver­wendung der obigen Formeln unzu­lässig. Statt­dessen berech­net man die Beschleu­nigung, die Geschwin­dig­keit oder den Weg per Differ­ential- oder Inte­gral­rechnung.

Die wichtigsten Formeln

Die momentane Geschwindig­keit v(t) zu einem beliebigem Zeit­punkt t berechnet man durch ein­maliges Ab­leiten der Weg­funktion s(t) nach der Zeit t (= Differ­ential­quotient):

Momentangeschwindigkeit durch Differenzieren
Momentangeschwindigkeit durch Differenzieren

Ist hingegen die momen­tane Beschleu­nigung bekannt, muss man die Beschleu­nigungs­funktion a(t) nach der Zeit t inte­grieren, um die Momentan­geschwin­dig­keit v(t) zu bekommen:

Momentangeschwindigkeit durch Integrieren
Geschwindigkeit durch Integrieren

Die Momentan­beschleunigung a(t) erhält man durch ein­maliges Ableiten der Geschwindig­keits­funktion v(t) oder durch zwei­maliges Ableiten der Weg­funktion s(t) nach der Zeit t:

Momentanbeschleunigung
Momentanbeschleunigung
Momentanbeschleunigung
Momentanbeschleunigung

 

Den zurückgelegten Weg s(t) bekommt man durch Integration der Geschwindigkeit v(t):

Weg
Weg

 

Aus­führ­liche Infos, Her­leitung der Formeln für eine konstante Beschleu­nigung und Bei­spiele:

>> Zusammen­hang Ruck, Beschleu­nigung, Geschwin­dig­keit und Weg <<

Bedeutung der Variablen

v(t)

Funktion der Momentangeschwindigkeit in Abhängigkeit von t

s(t)

Funktion des Weges in Abhängigkeit von t

a(t)

Funktion der Momentanbeschleunigung in Abhängigkeit von t

t Zeit t in s

Seite erstellt am 11.07.2019. Zuletzt geändert am 20.09.2020.