Finden von Lösungen mit Hilfe der Iteration

Unter Iteration versteht man das öftere Wieder­holen von glei­chen oder ähnlichen Hand­lungen mit dem Ziel, letzt­lich eine genügend genaue Lösung zu be­kommen, also eine Näherung. Manchmal ist es sogar möglich, die exakte Lösung zu berechnen.

Hier wird zum besseren Ver­ständnis anhand eines Bei­spiels demonstriert, wie man die Lösung einer einfachen Gleichung mit­hilfe der Iteration finden kann. Das zweite Beispiel zeigt, dass die Iteration für die Ver­wendung vieler meiner Rechner unter Umständen sehr nützlich ist.

Die folgende einfache lineare Gleichung ist gegeben:

2x + 3 = 13

Man kann diese Gleichung natürlich durch einfaches Umformen (= Umstellen) lösen:

2x + 3 = 13     / -3

2x = 13 - 3

2x = 10     / ÷5

x = 5

Lösung dieser Gleichung durch Iteration

Alternativ findet man die Lösung auch mittels Iteration:

• Zunächst nimmt man zum Beispiel x = 10 an. Einsetzen in die Gleichung liefert: 2*10 + 3 = 23. Das Ergebnis ist viel größer als 13.
• 2. Durchführung des Versuchs mit einer kleineren Zahl: x = 6. Man erhält: 2*6 + 3 = 15. Schon viel besser!
• 3. Versuch: x = 4. Man erhält: 2*4 + 3 = 11. Das Ergebnis ist etwas zu klein.
• 4. Versuch: x = 5. Man erhält: 2*5 + 3 = 13. Dieses Ergebnis stimmt mit der rechten Seite der ur­sprüng­lichen Gleichung überein, somit handelt es sich bei x = 5 sogar um die exakte Lösung.

Normalerweise wird kein ver­nünftiger Mensch so eine einfache Gleichung auf diese Art lösen. Das Bei­spiel zeigt jedoch sehr an­schau­lich, was man unter Iteration ver­steht.

Viele meiner Rechner können zum Bei­spiel die Kraft F nicht berechnen, da sie bekannt sein muss. Es gibt jedoch die Mög­lichkeit, die gesuchte Kraft mittels Iteration zu bestimmen. Dies wird anhand des Balken­rechners gezeigt.

Ein 2450 mm langes Aluminium-Vier­kant­rohr wird auf einem Fest­lager und einem Los­lager gelagert und hat die folgenden Maße:

Höhe 40 mm, Breite 180 mm, alle Wand­stärken 4 mm.

Es ist die nötige Kraft F in Balken­mitte zu berechnen, wenn die Durch­biegung 7 mm betragen soll.

Prinzipiell kann mein Balken­rechner nur die Durch­biegung bei gege­bener Kraft F berechnen, in diesem Beispiel ist aber die Kraft ge­sucht und die Durch­biegung ge­geben. Dennoch kann diese Auf­gabe in­direkt mit dem Balken­rechner gelöst werden, indem man die Methode der Iteration verwendet:

• Dazu werden zunächst alle be­kannten Daten - also die Länge und die Ab­messungen des Balkens, der Abstand a der Kraft, der Werk­stoff und so weiter - in den Rechner einge­tragen. Anschließend ver­ändert man die Kraft F so lange, bis man ein möglichst genaues Er­gebnis bekommt.
• Als Erstes führt man z. B. mit der vorein­gestellten Kraft F = 8,5 kN eine Berech­nung durch. Man erhält für die Durch­biegung f_m = 75,87 mm, was jedoch viel größer als die gewünschte Durch­biegung von 7 mm ist.
• Für den 2. Versuch wählt man daher einen wesentlich kleineren Wert für die Kraft, also zum Beipiel F = 0,5 kN. Man erhält: f_m = 4,46 mm, was etwas zu klein ist.
• Da der beim vorigen Versuch er­mittelte Wert zu klein war, wählt man nun eine etwas größere Kraft: F = 0,8 kN --> f_m = 7,14 mm. Dieses Er­gebnis ist schon ganz gut und nur mehr etwas zu groß.
• 4. Versuch: F = 0,7 kN --> f_m = 6,25 mm (ganz gut, etwas zu klein)
• 5. Versuch: F = 0,75 kN --> f_m = 6,69 mm (besser, noch immer etwas zu klein)
• Nach weiteren Ver­suchen erhält man das exakte Ergebnis: F = 0,784 kN. Die Durch­biegung f_m ent­spricht nun genau den ge­wünschten 7 mm.

Wie die Felder des Rechners auszu­füllen sind, zeigen die folgenden beiden Screen­shots, wobei die Kraft F natür­lich bei jedem Versuch geändert werden muss:

Seite erstellt am 27.04.2020. Zuletzt geändert am 04.08.2020.