Formelsammlung Flächen­träg­heits­momente & Wider­stands­momente

This page in English: Cross Sectional Area & Section Modulus (calculator and formulas)

In dieser Formel­sammlung finden Sie die Formeln zur Berechnung der axialen und polaren Wider­stands­momente und Flächen­trägheits­momente (auch als Flächen­momente 2. Grades bezeichnet) typischer Stahl­profile. Zudem werden die Formeln zur Berechnung der Torsions­trägheits­momente und der Torsions­widerstands­momente dünn­wandiger und kreis­förmiger Profile ange­führt. Im Anschluss wird der rech­nerische Zusammen­hang zwischen diesen beiden Größen erklärt.


Die Formeln für folgende Quer­schnitte sind in der Tabelle zu finden:

  • Rundstange (Kreis)
  • Rundrohr (Kreisring)
  • Halb-Rundstab (Halbkreis)
  • Rechteck-Profil
  • Rechteck-Hohlprofil / Formrohr / Vier­kant­rohr
  • I- bzw. H-Profil (Doppel-T-Träger)
  • U- bzw. C-Profil
  • T-Profil
  • L-Profil (Winkelprofil), gleich- und ungleich­schenkelig
  • Gleichschenkeliges /gleich­seitiges Drei­eck
  • Sechseck/Sechs­kant
  • Achteck/Acht­kant


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Formeln für axiale Flächen­trägheitsmomente & Wider­standsmomente

Die Einheit für das Flächen­trägheits­moment I ist cm4 oder mm4, für das Wider­stands­moment cm3 oder mm3. Bei der Berechnung von Spannungen bietet sich die Ver­wendung einer Ein­heit in mm an, da Spannungen üblicher­weise in N/mm2 ange­geben werden. In Tabellen­büchern findet man dagegen meist die Ein­heit cm3 bzw. cm4.


Die Flächen­trägheits­momente werden unter anderem zur Berechnung der Knick­sicher­heit von Stäben benötigt, die Wider­stands­momente braucht man zur Ermittlung der Spannungen in Trägern bzw. Balken.


Folgende Zusam­men­hänge gelten für alle Formeln in den Tabellen:

  • b3 = B – b
  • b4 = B – 2·b
  • h3 = H – h
  • h4 = H – 2·h
 
Querschnittsprofil Axiale Flächenträgheitsmomente Widerstandsmomente
Querschnitt einer Rundstange (Kreis) Rundstange (Kreis) $$I_y=I_z=\frac{\pi·D^4}{64}$$ $$W_y=W_z=\frac{\pi·D^3}{32}$$
Querschnitt eines Rundrohrs (Kreisring) Rundrohr (Kreisring) $$I_y=I_z=\frac{\pi·(D^4-d^4)}{64}$$ $$W_y=W_z=\frac{\pi·(D^4-d^4)}{32·D}$$
QuadratQuadrat $$I_y=I_z=\frac{B^4}{12}$$ $$W_y=W_z=\frac{B^3}{6}$$
Quadrat um 45° gedreht
gedrehtes Quadrat
$$I_y=I_z=\frac{B^4}{12}$$ $$W_y=W_z=\frac{B^3}{6·\sqrt{2}}$$
$$e_{1,2,3,4}=\frac{\sqrt{2}}{2}·B$$
Querschnitt eines Rechteck-ProfilsRechteck-Profil $$I_y=\frac{B·H^3}{12}$$ $$W_y=\frac{B·H^2}{6}$$
$$I_z=\frac{H·B^3}{12}$$ $$W_y=\frac{H·B^2}{6}$$
Querschnitt eines Rechteck-Hohlprofils (Formrohr)
Rechteck-
Hohlprofil / Formrohr
$$I_y=\frac{B·H^3-b_4·(h_4)^3}{12}$$ $$W_y=\frac{B·H^3-b_4·(h_4)^3}{6·H}$$
$$b_4=B-2·b\qquad h_4=H-2·h\qquad$$ (b4 und h4 = Innenmaße)
$$I_z=\frac{H·B^3-h_4·(b_4)^3}{12}$$ $$W_z=\frac{H·B^3-h_4·(b_4)^3}{6·B}$$
Querschnitt eines I-Profils
I- bzw. H-Profil
$$I_y=\frac{B·H^3-b_3·(h_4)^3}{12}$$ $$W_y=\frac{B·H^3-b_3·(h_4)^3}{6·H}$$
$$b_3=B-b\qquad h_4=H-2·h$$
$$I_z=\frac{2·h·B^3+h_4·b^3}{12}$$ $$W_z=\frac{2·h·B^3+h_4·b^3}{6·B}$$
Querschnitt eines C-Profils
C- bzw. U-Profil

$$b_3= B – b$$ $$h_4=H-2·h$$
$$I_y=\frac{B·H^3-b_3·(h_4)^3}{12}$$ $$W_y=\frac{B·H^3-b_3·(h_4)^3}{6·H}$$
$$I_z=\frac{2·h·B^3+h_4·b^3}{3}-(2·h·B+h_4·b)e_3^2$$ $$W_{{z}_{1,2}}=\frac{I_z}{e_{3,4}}$$
$$e_3=\frac{1}{2}·\frac{2·h·B^2+h_4·b^2}{2·h·B+h_4·b}$$ $$e_4=B-e_3$$
Querschnitt eines T-Profils
T-Profil
$$b_3=B-b$$ $$h_3=H-h$$
$$I_y=\frac{b·H^3+b_3·h^3}{3}-(b·H+b_3·h)·e_2^2$$ $$W_{y_{1,2}}=\frac{I_y}{e_{1,2}}$$
$$e_2=\frac{1}{2}·\frac{b·H^2+b_3·h^2}{b·H+b_3·h}$$ $$e_1=H-e_2$$
$$I_z=\frac{h·B^3+h_3·b^3}{12}$$ $$W_z=\frac{h·B^3+h_3·b^3}{6·B}$$
Querschnitt eines L-Profils
L-Profil

$$b_3=B-b$$ $$h_3=H-h$$
$$I_y=\frac{b·H^3+b_3·h^3}{3}-(b·H+b_3·h)·e_2^2$$ $$W_{y_{1,2}}=\frac{I_y}{e_{1,2}}$$
$$e_2=\frac{1}{2}·\frac{b·H^2+b_3·h^2}{b·H+b_3·h}$$ $$e_1=H-e_2$$
$$I_z=\frac{h·B^3+h_3·b^3}{3}-(h·B+h_3·b)·e_3^2$$ $$W_{z_{1,2}}=\frac{I_z}{e_{3,4}}$$
$$e_3=\frac{1}{2}·\frac{h·B^2+h_3·b^2}{h·B+h_3·b}$$ $$e_4=B-e_3$$
Querschnitt eines gleichschenkeligen Dreieckes
Gleichschenkeliges/
gleichseitiges Dreieck
$$I_y=\frac{B·H^3}{36}$$ $$W_{y_1}=\frac{B·H^2}{12}\quad e_1=\frac{H}{3}$$
$$W_{y_2}=\frac{B·H^2}{24}\quad e_2=\frac{2·H}{3}$$
$$I_z=\frac{H·B^3}{48}$$ $$W_{z_{1,2}}=\frac{H·B^2}{24}$$
Querschnitt eines Halbkreises
Halbkreis
$$I_y=0.10976·\left(\frac{D}{2}\right)^4=0.10976·r^4$$ $$W_{y_1}=0.25861·\left(\frac{D}{2}\right)^3$$
$$W_{y_2}=0.19069·\left(\frac{D}{2}\right)^3$$
$$I_z=\frac{1}{2}·\frac{\pi·D^4}{64}=\frac{\pi·D^4}{128}=\frac{\pi·R^4}{8}$$ $$W_{y_{1,2}}=\frac{1}{2}·\frac{\pi·D^3}{32}=\frac{\pi·D^3}{64}$$
Querschnitt eines Sechskants/Sechsecks
Sechseck/Sechskant
$$I_y=I_z=\frac{5·\sqrt{3}}{16}·B^4$$ $$W_y=\frac{5}{8}·B^3$$
$$W_z=\frac{5·\sqrt{3}}{16}·B^3$$
Querschnitt eines Achtkants/AchtecksAchteck / Achtkant $$I_y=I_z=\frac{1+2·\sqrt{2}}{6}·B^4$$ $$W_y=W_z=0.6906·B^3$$


Wie man auf die hier ange­führten Formeln kommt, wird auf dieser Unter­seite gezeigt:

 

Zusammenhang Wider­stands­momente < > Flächen­träg­heits­momente

Mit Hilfe der folgenden Formeln können bei bekanntem Flächen­trägheits­moment und bekannten Rand­faser­abständen die Wider­stands­momente berechnet werden. Das Wider­stands­moment bekommt man, indem man das jeweilige Flächen­träg­heits­moment durch den Rand­faser­abstand divi­diert. Ist das Profil bezüg­lich einer Achse sym­metrisch, bekommt man für diese Achse nur ein Wider­stands­moment.
 

Die Formel zur Berechnung des Wider­stands­moments Wy bezüg­lich der y-Achse lautet:

$$W_{y_{1,2}}=\frac{I_y}{e_{1,2}}$$

 

Die Formel für das Wider­stands­moment Wz bezüg­lich der z-Achse lautet:

$$W_{z_{1,2}}=\frac{I_z}{e_{3,4}}$$

 
Iy Flächenträgheitsmoment bezüglich der y-Achse
Iz Flächenträgheitsmoment bezüglich der z-Achse
e1 unterer Randfaserabstand in z-Richtung
e2 oberer Randfaserabstand in z-Richtung
e3 linker Randfaserabstand in y-Richtung
e4 rechter Randfaserabstand in y-Richtung


SP ist die Abkürzung für den Flächen­schwer­punkt, der sich in der Mitte des Koor­dinaten­systems – also im soge­nannten Koor­dinaten­ursprung – befindet.
 

Randfaserabstände von L-Profil, T-Profil und Halbkreis
Randfaserabstände von L-Profil, T-Profil und Halbkreis

Formel für polares Flächen­träg­heits­moment

Das polare Flächen­träg­heits­moment Ip ist die Summe der beiden axialen Flächen­trägheits­momente Iy und Iz und wird daher mit folgender Formel berechnet:

$$I_p=I_y+I_z$$


Nur bei kreis­förmigen Quer­schnitten sind polares Flächen­trägheits­moment Ip und Torsions­trägheits­moment It gleich groß, siehe auch Formeln im nächsten Kapitel:

$$I_p=I_t$$

Formeln für Torsions­träg­heits­momente & Tor­sions­wider­stands­momente

Anmerkungen:

  • Es ist zu beachten, dass die in der Tabelle ange­führten Formeln für nicht kreis­förmige Flächen Näherungen sind und daher nur bei relativ dünnen Wand­stärken gelten!
  • Für tmin ist entweder b oder h einzu­setzen, je nach­dem, welche dieser Größen kleiner ist.
  • Ähnliches gilt für tmax: Auch dafür ist b oder h einzu­setzen, diesmal aber der größere der beiden Werte.
 
Querschnittsprofil Torsionsträgheitsmomente Torsionswiderstandsmomente
Querschnitt einer Rundstange
Rundstange (Kreis)
$$I_t=I_p=\frac{\pi·D^4}{32}$$ $$W_t=W_p=\frac{\pi·D^3}{16}$$
Querschnitt eines Rundrohrs
Rundrohr (Kreisring)
$$I_t=I_p=\frac{\pi·(D^4-d^4)}{32}$$ $$W_t=W_p=\frac{\pi·(D^4-d^4)}{16·D}$$
Querschnitt eines Quadrats
Quadrat
$$I_t=0.141·B^4$$ $$W_t=0.208·B^3$$
Querschnitt eines Rechteck-Hohlprofils
Rechteck-
Hohlprofil
$$I_t=\frac{2·(b_3·h_3)^2}{\frac{b_3}{h}+\frac{h_3}{b}}$$ $$W_t=2·b_3·h_3·t_{min}$$
$$b_3=B-b\qquad h_3=H-h$$
Querschnitt eines I-Profils
I- bzw. H-Profil
$$I_t=\frac{1.3}{3}·(2·B·h^3+h_4·b^3)$$ $$W_t=\frac{I_t}{t_{max}}$$
$$h_4=H – 2·h$$
Querschnitt eines C- bzw. U-Profils
C- bzw. U-Profil
$$I_t=\frac{1.12}{3}·(2·B·h^3+h_4·b^3)$$ $$W_t=\frac{I_t}{t_{max}}$$
$$h_4=H – 2·h$$

T-Profil
$$I_t=\frac{1.12}{3}·(B·h^3+h_3·b^3)$$ $$W_t=\frac{I_t}{t_{max}}$$
$$h_3=H – h$$
Querschnitt eines L-Profils
L-Profil
$$I_t=\frac{0.99}{3}·(B·h^3+h_3·b^3)$$ $$W_t=\frac{I_t}{t_{max}}$$
$$h_3=H – h$$
Querschnitt eines gleichseitigen Dreiecks
Gleichseitiges
Dreieck
$$I_t=\frac{B^4}{46.19}\qquad H=\frac{\sqrt{3}}{2}·B$$ $$W_t=\frac{B^3}{20}$$
Querschnitt eines Sechskants/Sechsecks
Sechseck/Sechskant
$$I_t=1.04·B^4$$ $$W_t=0.977·B^3$$
Querschnitt eines Achtkants/Achtecks
Achteck/Achtkant
$$I_t=3.67·B^4$$ $$W_t=2.60·B^3$$

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Seite erstellt am 09.06.2019. Zuletzt geändert am 14.11.2021.