Formelsammlung (Mas­sen-)­Träg­heits­momente

Hier finden Sie in einer Tabelle die Formeln zur Berechnung der Massen­trägheits­momente (kurz als Träg­heits­moment oder auch als Inertial­moment bezeichnet, früher Dreh­masse) gängiger Körper:

  • Vollzylinder
  • Hohlzylinder
  • Zylindermantel
  • Quader
  • Kugel
  • Hohlkugel
  • Kugelschale
  • Punktmasse
  • Vollkegel
  • Kegelmantel
  • Kegelstumpf

 

Zudem wird das Träg­heits­moment eines Hohl­zylinders her­ge­leitet.

 

 

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Tabelle mit Formeln von Massen­träg­heits­momenten

Möchte man die Massenträgheits­momente von dünnen Scheiben, dünnen Platten oder schlanken Stäben berechnen, können auch die unten stehenden Formeln ver­wendet werden - dazu muss nur die je­weilige Länge null ge­setzt werden:

  • dünne Scheibe: Formeln für Voll­zylinder mit l = 0
  • schlanker Stab: Formeln für Voll­zylinder mit R = 0
  • dünne Platte: Formeln für Quader mit a = 0, b = 0 oder h = 0

 

Die roten Pfeile stellen die Dreh­achsen dar, sie ver­laufen - außer bei der Punkt­masse - stets durch den Schwer­punkt des je­weiligen Körpers:

 

Körper

Massenträgheits-

momente bezüglich

der x-Achse

Massenträgheits-

momente bezüglich

der y-Achse

Massenträgheits-

momente bezüglich

der z-Achse

Vollzylinder

Vollzylinder
 Vollzylinder_x  Vollzylinder_y  Vollzylinder_z

Zylindermantel

Zylindermantel
 Zylindermantel_x  Zylindermantel_y  Zylindermantel_z

Hohlzylinder

Hohlzylinder
 Hohlzylinder_x  Hohlzylinder_y  Hohlzylinder_z

Vollkugel

Vollkugel
 Vollkugel

Kugelschale

Kugelschale
 Kugelschale

Hohlkugel

Hohlkugel
 Hohlkugel_Formel

Quader

Quader
 Quader_x  Quader_y  Quader_z

Punktmasse

Punktmasse
 Punktmasse_Formel_x  Punktmasse_Formel_y  Punktmasse_Formel_z

Drehkegel

Vollkegel

 Vollkegel_x  Vollkegel_y  Vollkegel_z

Drehkegel

Kegelmantel

   Kegelmantel_y  

Kegelstumpf

Kegelstumpf

   Kegelstumpf_y  

Besonderheiten

  • Bei zylindrischen und kegeligen Körpern sind die Massen­träg­heits­momente um zwei Achsen identisch. Beim vom Rechner ver­wendeten Koordinaten­system sind das die Träg­heits­momente bezüglich der x- und der z-Achse, da diese Körper rota­tions­sym­metrisch um die y-Achse sind.
  • Bei einer Kugel und bei einem Würfel sind sogar alle drei Massen­träg­heits­momente gleich groß.
  • Das Trägheits­moment eines Kegel­mantels ent­spricht dem Träg­heits­moment eines Voll­zylinders (jeweils auf die y-Achse bezogen).

Herleitung der Formeln für einen Hohlzylinder

Die Massen­trägheits­momente von Teilkörpern kann man be­liebig addieren bzw. auch sub­trahieren, sofern ihre Schwer­punkte auf der­selben Achse liegen. Ist dies nicht der Fall, braucht man den Satz von Steiner.

 

Ausgehend vom Träg­heits­moment eines Voll­zylinders wird das Massen­träg­heits­moment eines Hohl­zylinders durch Ab­ziehen der Träg­heits­momente von zwei Voll­zylindern mit unter­schied­lichen Radien be­rechnet.

Definitionen

Zunächst  benötigen wir ein paar Definitionen:

Allgemeiner Vollzylinder

 

Trägheitsmoment um y-Achse:

Trägheitsmoment um x- bzw. z-Achse:

Masse:

Äußerer Vollzylinder 1 mit dem Radius R und der Masse m1

Trägheitsmoment um y-Achse:

Trägheitsmoment um x- bzw. z-Achse:

Masse:

Innerer Vollzylinder 2 mit dem Radius r und der Masse m2Trägheitsmoment um y-Achse:

Trägheitsmoment um x- bzw. z-Achse:

Masse:


Herleitung des Massen­träg­heits­moments bezüg­lich der y-Achse

Nun kann das gesamte Massen­trägheits­moment des Hohl­zylinders be­züg­lich der y-Achse als Differenz ange­schrieben werden:

 

Herausheben von 1/2 und ein­setzen für die beiden Massen ergibt:

 

Nun hebt man wieder heraus, wendet eine der bino­mischen Formeln an und sortiert die Terme etwas um:

 

Beim Ausdruck π*l*ρ*(R2 - r2) handelt es sich um die Masse eines Hohl­zylinders. Also lautet das ge­suchte Massen­träg­heits­moment des Hohl­zylinders um die y-Achse:

Herleitung des Massen­träg­heits­moments bezüg­lich der x- bzw. z-Achse

Nun schreibt man wieder das gesamte Massen­trägheits­moment des Hohl­zylinders als Differenz an, wobei die Träg­heits­momente um die x-Achse und die z-Achse gleich groß sind :

 

Durch Herausheben von 1/12, Einsetzen für die Massen und Auflösen der Klammern bekommt man:

 

Herausheben ergibt:

 

Durch Anwenden einer der binomischen Formeln erhält man:

 

Nun hebt man den Ausdruck π*l*ρ*(R2 - r2) heraus:

 

Der vorhin herausgehobene Ausdruck ist die Masse des Hohlzylinders. Daher lautet die Formel für das Massen­träg­heits­moment des Hohl­zylinders um die x- bzw. z-Achse:

Seite erstellt am 11.06.2019. Zuletzt geändert am 07.10.2020.