Hier finden Sie in einer Tabelle die Formeln zur Berechnung der Massenträgheitsmomente (kurz als Trägheitsmoment oder auch als Inertialmoment bezeichnet, früher Drehmasse) gängiger Körper:
Zudem wird das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders hergeleitet.
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Möchte man die Massenträgheitsmomente von dünnen Scheiben, dünnen Platten oder schlanken Stäben berechnen, können auch die unten stehenden Formeln verwendet werden - dazu muss nur die jeweilige Länge null gesetzt werden:
Die roten Pfeile stellen die Drehachsen dar, sie verlaufen - außer bei der Punktmasse - stets durch den Schwerpunkt des jeweiligen Körpers:
Körper |
Massenträgheits- momente bezüglich der x-Achse |
Massenträgheits- momente bezüglich der y-Achse |
Massenträgheits- momente bezüglich der z-Achse |
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Vollkegel |
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Kegelmantel |
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Kegelstumpf |
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Die Massenträgheitsmomente von Teilkörpern kann man beliebig addieren bzw. auch subtrahieren, sofern ihre Schwerpunkte auf derselben Achse liegen. Ist dies nicht der Fall, braucht man den Satz von Steiner.
Ausgehend vom Trägheitsmoment eines Vollzylinders wird das Massenträgheitsmoment eines Hohlzylinders durch Abziehen der Trägheitsmomente von zwei Vollzylindern mit unterschiedlichen Radien berechnet.
Zunächst benötigen wir ein paar Definitionen:
Allgemeiner Vollzylinder
Trägheitsmoment um y-Achse:
Trägheitsmoment um x- bzw. z-Achse:
Masse:
Äußerer Vollzylinder 1 mit dem Radius R und der Masse m1
Trägheitsmoment um y-Achse:
Trägheitsmoment um x- bzw. z-Achse:
Masse:
Innerer Vollzylinder 2 mit dem Radius r und der Masse m2Trägheitsmoment um y-Achse:
Trägheitsmoment um x- bzw. z-Achse:
Masse:
Nun kann das gesamte Massenträgheitsmoment des Hohlzylinders bezüglich der y-Achse als Differenz angeschrieben werden:
Herausheben von 1/2 und einsetzen für die beiden Massen ergibt:
Nun hebt man wieder heraus, wendet eine der binomischen Formeln an und sortiert die Terme etwas um:
Beim Ausdruck π*l*ρ*(R2 - r2) handelt es sich um die Masse eines Hohlzylinders. Also lautet das gesuchte Massenträgheitsmoment des Hohlzylinders um die y-Achse:
Nun schreibt man wieder das gesamte Massenträgheitsmoment des Hohlzylinders als Differenz an, wobei die Trägheitsmomente um die x-Achse und die z-Achse gleich groß sind :
Durch Herausheben von 1/12, Einsetzen für die Massen und Auflösen der Klammern bekommt man:
Herausheben ergibt:
Durch Anwenden einer der binomischen Formeln erhält man:
Nun hebt man den Ausdruck π*l*ρ*(R2 - r2) heraus:
Der vorhin herausgehobene Ausdruck ist die Masse des Hohlzylinders. Daher lautet die Formel für das Massenträgheitsmoment des Hohlzylinders um die x- bzw. z-Achse:
Seite erstellt am 11.06.2019. Zuletzt geändert am 07.10.2020.