Formelsammlung (Mas­sen-)­Träg­heits­momente

Hier finden Sie in einer Tabelle die Formeln zur Berechnung der Massen­trägheits­momente (kurz als Träg­heits­moment oder auch als Inertial­moment bezeichnet, früher Dreh­masse) gängiger Körper:

Zudem wird der Satz von Steiner ange­führt und das Träg­heits­moment eines Hohl­zylinders her­ge­leitet.

Links zu Unterseiten:

• Rechner für Massen­träg­heits­momente
• Beispiel: Berechnung des Massen­träg­heits­moments einer Riemen­scheibe

Tabelle mit Formeln von Massen­träg­heits­momenten

Möchte man die Massenträgheits­momente von dünnen Scheiben, dünnen Platten oder schlanken Stäben berechnen, können auch die unten stehenden Formeln ver­wendet werden - dazu muss nur die je­weilige Länge null ge­setzt werden:

• dünne Scheibe: Formeln für Voll­zylinder mit l = 0
• schlanker Stab: Formeln für Voll­zylinder mit R = 0
• dünne Platte: Formeln für Quader mit a = 0, b = 0 oder h = 0

Die roten Pfeile stellen die Dreh­achsen dar, sie ver­laufen - außer bei der Punkt­masse - stets durch den Schwer­punkt des je­weiligen Körpers:

Besonderheiten

• Bei zylindrischen und kegeligen Körpern sind die Massen­träg­heits­momente um zwei Achsen identisch. Beim vom Rechner ver­wendeten Koordinaten­system sind das die Träg­heits­momente bezüglich der x- und der z-Achse, da diese Körper rota­tions­sym­metrisch um die y-Achse sind.
• Bei einer Kugel und bei einem Würfel sind sogar alle drei Massen­träg­heits­momente gleich groß.
• Das Trägheits­moment eines Kegel­mantels ent­spricht dem Träg­heits­moment eines Voll­zylinders (jeweils auf die y-Achse bezogen).

Zusammengesetzte Massen­träg­heits­momente & Satz von Steiner

Einen kom­plexen Körper kann man meist aus mehreren ein­fachen Teil­körpern zusammen­­setzen. Die Massen­trägheits­momente von Teil­körpern kann man be­liebig addieren bzw. auch sub­trahieren, wenn sich deren Schwer­punkte (Massen­mittel­punkte) auf der­selben Achse befinden - siehe Her­leitung der Formeln für einen Hohl­zylinder im folgenden Ab­schnitt.

Liegen die Schwer­punkte von zwei Teil­körpern jedoch auf zu ein­ander parallelen Achsen, wird das gesamte Massen­träg­heits­moment J_B bezüglich der betrachteten Achse mit dem Satz von Steiner be­rechnet:

J_B = J + m · d²

Erklärung der Variablen:

Rechenbei­spiel - auch An­wen­dung des Satz von Steiner:

• Berechnung des Massen­träg­heits­moments einer Riemen­scheibe

Ausgehend vom Träg­heits­moment eines Voll­zylinders wird das Massen­träg­heits­moment eines Hohl­zylinders durch Ab­ziehen der Träg­heits­momente von zwei Voll­zylindern mit unter­schied­lichen Radien be­rechnet.

Zunächst benötigen wir ein paar Definitionen:

Herleitung des Massen­träg­heits­moments bezüg­lich der y-Achse

Nun kann das gesamte Massen­trägheits­moment des Hohl­zylinders be­züg­lich der y-Achse als Differenz ange­schrieben werden:

Herausheben von 1/2 und ein­setzen für die beiden Massen ergibt:

Nun hebt man wieder heraus, wendet eine der bino­mischen Formeln an und sortiert die Terme etwas um:

Beim Ausdruck π*l*ρ*(R² - r²) handelt es sich um die Masse eines Hohl­zylinders. Also lautet das ge­suchte Massen­träg­heits­moment des Hohl­zylinders um die y-Achse:

Herleitung des Massen­träg­heits­moments bezüg­lich der x- bzw. z-Achse

Nun schreibt man wieder das gesamte Massen­trägheits­moment des Hohl­zylinders als Differenz an, wobei die Träg­heits­momente um die x-Achse und die z-Achse gleich groß sind :

Durch Herausheben von 1/12, Einsetzen für die Massen und Auflösen der Klammern bekommt man:

Herausheben ergibt:

Durch Anwenden einer der binomischen Formeln erhält man:

Nun hebt man den Ausdruck π*l*ρ*(R² - r²) heraus:

Der vorhin herausgehobene Ausdruck ist die Masse des Hohlzylinders. Daher lautet die Formel für das Massen­träg­heits­moment des Hohl­zylinders um die x- bzw. z-Achse:

Seite erstellt am 11.06.2019. Zuletzt geändert am 20.06.2021.