Was sind lineare Gleichungen und wie löst man sie?

Bei linearen Gleichungen handelt es sich um die ein­fachste Form von Gleichungen. Auf dieser Seite er­fährst du vieles über line­are Gleichungen: Was sind über­haupt line­are Gleichungen und wie löst man sie? Wie kann man die Lösungen von line­aren Gleichungen gra­fisch ermitteln? Zudem findest du auch zwei durch­ge­rechnete Auf­gaben.

Grundlegendes

Was versteht man unter linearen Gleichungen?

Lineare Gleichungen er­kennt man daran, dass man sie so um­formen kann, dass zu­letzt nur mehr x in den Gleichungen stehen. Die höchste Potenz (=Hoch­zahl), die in einer line­aren Gleichung vor­kommt, ist also 1. Ein Bei­spiel für eine sehr ein­fache line­are Gleichung wäre:

$$4·x=12$$

Die Zahlen 4 und 12 nennt man Kons­tanten und das x ist die Vari­able.  Variablen sind Platz­halter für Zahlen, die zu­nächst noch unbe­kannt sind. In der Regel ver­wendet man dafür die Klein­buch­staben x und y, aber auch die Buch­staben a, b, c und d sind recht häufig in Ge­brauch.

Wie löst man lineare Gleichungen?

Meist ist es das Ziel, die gege­bene lineare Gleichung nach der ge­suchten Vari­ablen – das ist oft x – aufzu­lösen. Dazu muss man

  • zunächst, falls vor­handen, alle Klammern von innen nach außen auf­lösen und
  • danach alle x auf eine Seite der Gleichung bringen und alle Zahlen auf die andere Seite.
  • Anschließend sind alle Terme mit x und alle Zahlen zusammen­zu­rechnen.
  • Zuletzt ist eventuell noch die Gleichung durch die Zahl, die vor dem x steht, zu dividieren.


Die sogenannte KLAPUSTRI-Regel ist stets zu be­achten, das heißt: zu­erst Klammern auf­lösen, dann Punkt­rechnungen und zu­letzt Strich­rechnugen durch­führen. Etwas weiter unten auf der Seite findest du dazu natür­lich auch ein Bei­spiel.

Wichtig ist zudem, stets auf beiden Seiten der Gleichung das­selbe tun. Man kann z. B. die gesamte Gleichung mit einer Zahl multi­pl­izieren oder durch eine Zahl divi­dieren oder auch ein­­zelne Terme auf beiden Seiten dazu­geben oder weg­nehmen.

Welche Lösungen kann es überhaupt geben?

In der Regel haben lineare Gleichungen je­weils genau eine Lösung, aber nicht alle Gleichungen haben eine Lösung und es gibt sogar line­are Gleichungen, für die alle Zahlen als Lösung in­frage kommen. Im ersten Fall bekommt man als Er­gebnis eine falsche Aus­sage, also zum Bei­spiel 3=9. Erhält man eine wahre Aus­sage, zum Bei­spiel 5=5, sind alle Zahlen Lösungen dieser Gleichung.

Grafische Darstellung der Lösung von linearen Gleichungen

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet allgemein:

$$f(x)=k·x+d$$

Statt f(x) kann man auch y schreiben. Nullstellen werden berechnet, indem man f(x) gleich Null setzt. Daraus folgt:

$$0=k·x+d$$

In diese Form kann jede lineare Gleichung gebracht werden. Bei den Lösungen von linearen Gleichungen handelt es sich folglich um die Nullstellen von linearen Funktionen.

Probe

Setzt man die ermittelte Lösung in die ursprüng­liche Gleichung ein, kann man prüfen, ob man richtig ge­rechnet hat. Man ver­gleicht dabei die linke Seite und die rechte Seite der Gleichung. Das nennt man Probe. Stimmt die Lösung, erhält man eine wahre Aus­sage, andern­falls eine falsche Aus­sage.

Durchgerechnete Beispiele

In diesem Abschnitt findest du zwei voll­ständig durch­ge­rechnete Bei­spiele.

Beispiel 1: Sehr einfache lineare Gleichung


Das wäre ein Beispiel für eine sehr ein­fache line­are Gleichung:

$$4·x=12$$

Rechnerische Ermittlung der Lösung

Die Zahlen 4 und 12 sind die Kons­tanten und das x ist die Vari­able. Divi­diert man nun beide Seiten der Gleichung durch 4, er­hält man die Lösung:

$$4·x=12 \qquad /:4$$

$$\Rightarrow x=3$$

Grafische Ermittlung der Lösung

Dazu muss die Gleichung in die Form 0=k·x+d gebracht werden:

$$0=4·x-12$$

Es gibt zwei Funktions­gleichungen, wobei man y2 bekommt, indem man die obere Gleichung mit -1 multi­pliziert:

$$y_1=4·x-12$$

$$y_2=-4·x+12$$

Diese beiden Funk­tionen kann man nun gra­fisch dar­stellen. In beiden Fällen ist die Lösung der gege­benen line­aren Gleichung 4·x=12 der Schnitt­punkt der Funktionen y1 und y2 mit der x-Achse, also an der Stelle x = 3, wes­halb es genügt, nur eine der beiden Funk­tionen zu zeichnen. Dieser Schnitt­punkt ist in der Grafik in blauer Farbe dar­ge­stellt:
 

Grafische Lösung der Gleichung 4·x=12.

Beispiel 2: Kompliziertere lineare Gleichung

Berechne x:

$$8+3·x+4·x·(3·x-4)=12·x^2-26·x-18$$

Rechnerische Ermittlung der Lösung

Laut der KLAPUSTRI-Regel sind als Erstes die Klammern aufzu­lösen. Man erhält:

$$8+3·x+12·x^2-16·x=12·x^2-26·x-18$$

Da auf beiden Seiten der Gleichung der Term 12·x² vorkommt, können wir ihn streichen, indem man ihn auf beiden Seiten abziehen:

$$8+3·x+12·x^2-16·x=12·x^2-26·x-18\qquad / -12·x^2$$

$$8+3·x-16·x=-26·x-18$$

Dadurch kommen in der Gleichung nur noch x vor, es handelt sich also um eine lineare Gleichung. Nun fasst man auf der linken Seite die Terme mit x zusammen und bringt danach alle Terme mit x auf die eine und alle Terme mit reinen Zahlen auf die andere Seite:

$$8-13·x=-26·x-18\qquad / +26·x\quad / -8$$

Man erhält:

$$13·x=-26$$

Nun muss man die Gleichung nur noch durch die Zahl vor dem x dividieren, also durch 13. Somit lautet die Lösung dieser Gleichung:

$$x=-2$$

Probe

Einsetzen der Lösung in die Angabe ergibt:

$$8+3·(-2)+4·(-2)·(3·(-2)-4)=12·(-2)^2-26·(-2)-18$$

Vereinfachen liefert:

$$8-6-8·(-6-4)=12·4+52-18$$

$$2-8·(-10)=48+34\Rightarrow 2+80=82$$

Man erhält eine wahre Aussage und damit ist x=-2 eine Lösung der Gleichung:

$$82=82$$

Seite erstellt am 28.03.2023. Zuletzt geändert am 09.07.2023.