Integrieren: Stamm­funk­tionen, Beispiele & Rechen­regeln

Auf dieser Seite findest du alles zum Thema Inte­grieren, also die Stamm­funk­tionen von wichtigen Funk­tionen, die Inte­grations­regeln samt ein paar Bei­spielen und weitere Formeln, zum Bei­spiel zum Berechnen des Volumens von Dreh­körpern. Beim Integrieren geht es darum, für eine gege­bene Funktion f(x) die Stamm­funktion F(x) – also das Inte­gral – zu be­stimmen, was aber nicht immer so ein­fach mög­lich ist.


Integrieren ist das Gegen­teil von differen­zieren. Vor allem in der Schule ist auch der Be­griff auf­leiten als Gegen­stück zu ab­leiten recht geläufig. Willst du nur Integrale berechnen, ist die Seite integralrechner.de sehr zu empfehlen.

Inhaltsverzeichnis

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Wichtige Stammfunktionen

Von manchen Funktionen lässt sich die Stamm­funktion ziem­lich ein­fach bilden. Das trifft zum Bei­spiel auf Potenz­funktionen zu. Für andere Funk­tionen findet man deren Inte­grale in Tabellen bzw. ist die Berechnung teil­weise nur recht schwierig und mit viel Erfahrung mög­lich.


Wichtig:

Niemals auf die Integrations­konstante C ver­gessen!

Stammfunktion einer konstanten Funktion

Das Integral der konstanten Funktion f(x) = k wird wie folgt berechnet:

$$y=f(x)=k⟹F(x)=∫k\, dx=k·x+C$$

k Konstante
F(x) Stammfunktion der Funktion f(x)
dx gibt an, dass nach x zu integrieren ist
C Inte­grations­konstante; ihr Wert ist prinzipiell unbekannt, kann aber bei gegebenen Anfangs­bedingungen berechnet werden.


Das dx am Ende des Inte­grals besagt, dass die Funktion f nach x zu inte­grieren ist. Eine konstante Funktion wird also inte­griert, indem man die Konstante k mit x multi­pliziert und am Ende eine Inte­gra­tions­konstante C ergänzt.


Die Integration der Zahl 0 ergibt die Inte­grations­konstante C:

$$∫0\, dx=C$$

Beispiel

Die folgende Funktion f(x) ist zu integrieren:

$$y=f(x)=5⟹F(x)=∫5\, dx=5·x+C$$

Stammfunktion einer Potenzfunktion

Das Integral einer Potenzfunktion wird auf folgende Weise berechnet:

$$y=f(x)=x^n⟹F(x)=∫x^n\, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

n       Exponent oder Hochzahl; konstant


Die Stammfunktion einer Potenz­funktion bekommt man folg­lich durch Er­höhung der Hoch­zahl um 1 und an­schließender Divi­sion durch diese um 1 ver­mehrte Hoch­zahl. Die Inte­grations­konstante C muss auch in diesem Fall hinzu­gefügt werden.

Beispiel

Es ist das Integral von x² zu bestimmen:

$$∫x^2\, dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}+C⟹F(x)=\frac{x^3}{3}+C$$

Formelsammlung: Stammfunktionen von wichtigen Funktionen

Für einige grund­legende Funk­tionen sind hier ihre Inte­grale ange­führt. Auch die Stamm­funk­tionen einer kons­tanten Funk­tion und einer Potenz­funktion werden der Voll­ständig­keit halber noch­mals ange­führt.

Die Inte­grations­kons­tante C wurde in dieser Formel­sammlung aus Platz­gründen wegge­lassen, sie muss bei Berechnungen aber immer ange­geben werden!
 

Natürliche Logarithmusfunktion

$$\int ln(x)\, dx=x·ln(x)-x$$

Logarithmusfunktion

$$\int \log_a (x)\, dx=$$

$$\frac{1}{ln(a)}·(x·ln(x)-x)$$

Sinusfunktion

$$\int sin(x)\, dx=-cos(x)$$

Kosinusfunktion

$$\int cos(x)\, dx=sin(x)$$

Tangensfunktion

$$\int tan(x)\, dx=-ln|cos(x)|$$

Kotangensfunktion

$$\int cot(x)\, dx=ln|sin(x)|$$

Weitere Funktionen

$$\int \frac {1}{cos^2(x)}\, dx=tan(x)$$

$$\int \frac {1}{sin^2(x)}\, dx=-cot(x)$$

$$\int \frac {1}{\sqrt{1-x^2}}\, dx=arcsin(x)$$

$$\int \frac {-1}{\sqrt{1-x^2}}\, dx=arccos(x)$$

$$\int \frac {1}{1+x^2}\, dx=arctan(x)$$

$$\int \frac {-1}{1+x^2}\, dx=arccot(x)$$

$$\int \frac {1}{\sqrt{x^2+1}}\, dx=arcsinh(x)$$

$$\int \frac {1}{\sqrt{x^2-1}}\, dx=arccosh(x)$$

für |x| < 1 gilt:

$$\int \frac {1}{1-x^2}\, dx=arctanh(x)$$

für |x| > 1 gilt:

$$\int \frac {1}{1-x^2}\, dx=arccoth(x)$$

$$\int sin(a·x)·cos(a·x)\, dx=$$

$$\frac{1}{2·a}·sin^2(a·x)$$

$$\int \frac{\, dx}{sin(a·x)·cos(a·x)}=$$

$$\frac{1}{a}·ln|tan(a·x)|$$

Zusammenhang

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx=ln|f(x)|$$

Rechenregeln für das Inte­grieren

Terme, die durch Plus- oder Minus­zeichen ge­trennt sind, werden ein­zeln inte­griert:

$$∫\left[f(x)±g(x)\right]\, dx=∫f(x)\, dx±∫g(x)\, dx$$


Alle Konstanten, die nicht durch Plus- oder Minus­zeichen von einander ge­trennt sind, kann man vor das Integral schreiben:

$$∫[k·f(x)]\, dx=k·∫f(x)\, dx$$

k       Konstante

­­

Beispiel

Das Integral der Funktion f(x) ist zu bestimmen:

$$y=f(x)=e^{2·x}+3·x^2-6⟹F(x)=∫\left[e^{2·x}+3·x^2-6\right]\, dx$$

Anwenden der obigen Rechen­regeln ergibt:

$$F(x)=∫e^{2·x}\, dx+3·∫x^2\, dx-∫6\, dx$$

Die einzelnen Integrale berechnet man nun mit Hilfe der Formelsammlung Stammfunktionen von wichtigen Funktionen:

$$F(x)=\frac{e^{2·x}}{2}+\frac{3·x^3}{3}-6·x+C=\frac{e^{2·x}}{2}+x^3-6·x+C$$

Partielle Integration

Das Integral eines Pro­dukts von zwei Funk­tionen f(x) und g(x) kann manch­mal mittels (mehr­facher) partieller Inte­gration be­rechnet werden. Zu beachten ist eine sinnvolle Reihenfolge der Funktionen, also ob man das Integral als f(x) · g(x) oder g(x) · f(x) anschreibt. Die Funktion g(x) sollte sich beim Ab­leiten ver­ein­fachen, siehe Bei­spiel.

$$\int[f(x)·g(x)]\, dx=F(x)·g(x)-\int [F(x)·g'(x)] \, dx$$

F(x) Stammfunktion der Funktion f(x)
g'(x) 1. Ableitung von g(x)

Beispiel

Integriere:

$$∫\left[3·x^2·sin(x)\right]\, dx$$

Die Konstante, also die Zahl 3, kann man vor das Inte­gral setzen. In diesem Bei­spiel ist es not­wendig, den Term x² als Funk­tion g(x) zu wählen, da sich dieser Term beim Ab­leiten ver­ein­facht, während sin(x) beim Differenzieren zu cos(x) würde, was nichts bringen würde. Man erhält:

$$F(x)=3·∫\left[sin(x)·x^2\right]\, dx$$

Dann berechnet man sich die einzelnen Terme zur Anwendung der obigen Formel. Das Integral von sin(x) findet man in der Formelsammlung Stammfunktionen von wichtigen Funktionen:

$$f(x)=sin(x)⟹F(x)=-cos(x)$$

$$g(x)=x^2⟹g'(x)=2·x$$

Einsetzen in die Formel für die partielle Integration ergibt:

$$3·\int\left[sin(x)·x^2\right]\, dx=3·\{-cos(x)·x^2-\int [-cos(x)·2·x] \, dx\}$$

Das sich nun ergebende Inte­gral kann noch immer nicht gelöst werden, daher muss man noch­mals partiell inte­grieren. Die Konstante setzt man am besten wieder vor das Inte­gral­zeichen, minus mal minus ergibt plus. Man bekommt:

$$3·\{-cos(x)·x^2+2·\int [cos(x)·x] \, dx\}$$

$$f(x)=cos(x)⟹F(x)=sin(x)$$

$$g(x)=x⟹g'(x)=1$$

Nochmaliges Einsetzen in die Formel für die partielle Integration ergibt:

$$3·\{-cos(x)·x^2+2·\{sin(x)·x-\int [sin(x)·1] \, dx\}\}$$

Das noch ver­bleibende Inte­gral kann nun pro­blem­los be­rechnet werden:

$$3·\{-cos(x)·x^2+2·\{sin(x)·x-[-cos(x)]\}\}$$

Durch Vereinfachen, Aus­multi­pli­zieren der Klammern und Her­aus­heben bekommt man das Ergebnis, wobei man zu­letzt auch die Inte­grations­konstante an­schreibt:

$$6·x·sin(x)+cos(x)·\left [6-3·x^2\right ]+C$$

Integration durch Substitution

Viele Integrale lassen sich oft nur mit­hilfe der Substitution er­mitteln. Schwierig ist oft­mals das Finden einer passenden Sub­sti­tution. Mit der folgenden Formel werden nur wenige etwas an­fangen – die nächsten Bei­spiele sind wesent­lich ver­ständ­licher:

$$\int f(x)\, dx=\int[f(g(u))·g'(u)]\, du$$

Beispiel 1

Die folgende Funktion f(x) soll integriert werden:

$$y=f(x)=(3+x)^2⟹F(x)=∫(3+x)^2\, dx$$

Es gibt nun 2 Möglichkeiten, das Integral der Funktion f(x) zu bestimmen:


1) Anwenden der 1. binomischen Formel

$$f(x)=(3+x)^2⟹f(x)=9+6·x+x^2$$

Dieser Ausdruck kann nun ganz ein­fach inte­griert werden:

$$F(x)=\int (9+6·x+x^2)\, dx⟹F(x)=9·x+3·x^2+\frac{x^3}{3}+C$$


2) Substituieren

Zunächst setzt man den Ausdruck in der Klammer gleich u:

$$u=3+x$$

Dann leitet man u nach x ab und formt auf dx um:

$$\frac{du}{dx}=1⟹dx=du$$

Einsetzen für 3 + x = u und dx = du und an­schließendes inte­grieren er­gibt:

$$F(x)=∫(3+x)^2\, dx⟹F(u)=∫(u)^2\, du=\frac{u^3}{3}+C$$

Einsetzen von u = 3 + x liefert das Ergebnis:

$$F(x)=\frac{(3+x)^3}{3}+C$$

Es ist nicht offen­sichtlich, dass die Ergebnisse aus 1) und 2) äqui­valent sind. Daher wendet man auf das letzte Er­gebnis noch eine bino­mische Formel an:

$$F(x)=\frac{3^3+3·3^2·x+3·3·x^2+x^3}{3}+C$$

Vereinfachen ergibt:

$$F(x)=9+9·x+3·x^2+\frac{x^3}{3}+C$$

Die beiden Ergebnisse sind also fast gleich, sie unter­scheiden sich nur durch die Konstante 9. Das ist aber für Stamm­funktionen zu­lässig.

Beispiel 2

Berechne das folgende Integral:

$$\int\frac{1}{(1+x)·\sqrt x}\, dx$$

Man substituiert die Wurzel aus x und drückt sich auch x aus:

$$u=\sqrt x=x^{\frac{1}{2}} ⇔ x=u^2$$

Die Ableitung von u nach x ist:

$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}·x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2·\sqrt x}$$

Umformen nach dx ergibt:

$$dx=2·\sqrt x \, du$$

Einsetzen in die Angabe für x und dx und kürzen liefert:

$$F(x)=\int\frac{2·\sqrt x}{(1+u^2)·\sqrt x}\, du=2·\int\frac{1}{1+u^2}\, du$$

Dieses Integral ist in der Formelsammlung Stammfunktionen von wichtigen Funktionen zu finden. Man erhält:

$$F(x)=2·arctan(u)+C$$

Rückeinsetzen liefert schließlich das Ergebnis:

$$F(x)=2·arctan(\sqrt x)+C$$

Bestimmtes Integral & Flächeninhalte

Ein bestimmtes Integral erkennt man an den Inte­grations­grenzen a und b. Sein Wert wird berechnet, indem man die Grenzen a und b in die Stamm­funk­tion F(x) einsetzt und diese beiden Terme an­schlie­ßend von­ein­ander abzieht:

$$\int_a^b f(x)\, dx=F(b)-F(a)$$

a, b       Integrationsgrenzen

Beispiel

Integriere:

$$\int_2^3(x^2-2·x)\, dx$$

Zunächst be­rechnet man das Inte­gral, kürzt und schreibt die Grenzen da­hinter an:

$$\left.\left[\frac{x^3}{3}-x^2+C\right]\right/_2^3$$

Dann setzt man die obere und die untere Grenze ein und zieht die beiden Terme von einander ab:

$$\left[\frac{3^3}{3}-3^2+C\right]-\left[\frac{2^3}{3}-2^2+C\right]=\left[9-9+C\right]-\left[\frac{8}{3}-4+C\right]=[C]-\left[-\frac{4}{3}+C\right]$$

Die Integrationskonstante C fällt weg und kann daher bei be­stimmten Integralen immer weg­ge­lassen werden. Man er­hält:

$$C+\frac{4}{3}-C=\frac{4}{3}$$

Flächeninhalt zwischen f(x) und der x-Achse

Schneidet die Funktion f(x) zwischen den Stellen a und b nicht die x-Achse (das heißt, dass sie in diesem Intervall keine Null­stellen hat), ent­spricht der Betrag des be­stimmten Inte­grals der Fläche A zwischen der Funk­tion f(x) und der x-Achse im Intervall [a; b]. Die Buchstaben a und b ent­sprechen den Inte­grations­grenzen:

$$A=\left|\int_a^b f(x)\, dx \right|$$

Flächenberechnung mittels Integrals

Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen f(x) und g(x)

Den Flächeninhalt A zwischen zwei Funktionen f(x) und g(x) im Intervall [a; b] bestimmt man mit der folgenden Formel:

$$A=\int_a^b [f(x)-g(x)]\, dx$$


Dabei muss für alle x zwischen den Stellen a und b stets gelten: f(x) ≥ g(x). Das heißt, die Funktion f(x) muss sich immer über g(x) befinden.

Haben die beiden Funk­tionen mehrere gemein­same Schnitt­punkte, muss man das Inte­gral in einzelne Bereiche auf­teilen, damit die obere Bedingung auch immer er­füllt ist.

Volumen von Drehkörpern (Rotationskörpern)

Das Volumen V eines Rotations­körpers kann man mit Hilfe der Inte­gral­rech­nung berechnen.
 

Bei Drehung um die y-Achse gilt für die Berechnung des Volumens V, wobei f -1 die Umkehr­funktion ist:

$$V=π·∫_{f(a)}^{f(b)}[f^{-1}(y)]^2\, dy=π·∫_{f(a)}^{f(b)} x^2 \, dy$$

Volumen von Drehkörpern mittels Integralrechnung

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Seite erstellt am 23.06.2021. Zuletzt geändert am 10.07.2022.