Widerstände für die Zugkraftgleichung

Hier wird beschrieben, wie man die einzelnen Widerstände für die Zugkraftgleichung ermitteln kann. Dabei handelt es sich immer um sogenannte spezifische Widerstände. Zudem sind hier einige Tabellen mit Beispielswerten zu finden.

 

>> Für weitere Informationen sei auf meinen Zugkraft- bzw. Leistungsrechner hingewiesen!

Inhaltsverzeichnis

Zugkraftgleichung

Die benötigte Zugkraft kann mit der folgenden Formel, der sogenannten Zugkraftgleichung, berechnet werden:

 

Zugkraftgleichung
Zugkraftgleichung
FZ: Erforderliche Zugkraft in N
mLok: Masse der Lok in kg
mWagen: Gesamtmasse aller angehängten Wagen in kg
g:             Erdbeschleunigung in m/s²
wR: Rollwiderstand
wL: Luftwiderstand
wS: Steigungswiderstand
wK: Krümmungswiderstand
wB: Beschleunigungswiderstand

 

Wie man die einzelnen Widerstände berechnet, wird in den folgenden Abschnitten beschrieben:

Spezifischer Luftwiderstand wL

Der Luftwiderstand berechnet sich mit folgender Formel:


Formel zur Berechnung des Luftwiderstandes
wL: spezifischer Luftwiderstand
cw: Luftwiderstandsbeiwert
A: Querschnittsfläche
ρ: Dichte der Luft in kg/m³
v: Geschwindigkeit in m/s
mLok: Masse der Lok in kg
mWagen:    Gesamtmasse aller angehängten Wagen in kg
g: Erdbeschleunigung in m/s²


Die Dichte der Luft hängt sowohl von der Temperatur als auch von der Seehöhe ab. Mit zunehmender Seehöhe und mit höheren Temperaturen nimmt die Luftdichte ab. Man kann Werte von 1.2 - 1.4 kg/m³ annehmen. Die Geschwindigkeit setzt sich aus der Fahrgeschwindigkeit plus Gegenwind (bzw. minus dem Rückenwind) zusammen.

Beispiel für die cw-Werte eines IC-Zuges

Beispiel IC- Zug
Luftwiderstandsbeiwert
Lokomotive 0.3 - 0.6 (nicht von Uni Hannover)
1. Wagen 0.23
Mittlerer Wagen 0.14
Endwagen 0.3

Quelle: www.ids.uni-hannover.de

 

Anhand der vorigen Tabelle kann man sich den Luftwiderstandsbeiwert eines Railjet mit Lok Taurus und 7 Wagen berechnen:

 

cw = 0.3 + 0.23 + 5 * 0.14 + 0.3 = 1.53

Allgemeine Beispiele für den Luftwiderstandsbeiwert

Beispiele Luftwiderstandsbeiwert
Railjet (Lok Taurus und 7 Wagen)  ~1.53
Cabriolet 0.6
VW Käfer 0.45
moderner PKW ~ 0.3
LKW 0.8 - 1.1
Mensch, stehend 0.78
Flugzeug 0.08

Quelle: Wikipedia

Spezifischer Rollwiderstand wR

Der Rollwiderstand ist abhängig von:

  • Raddurchmesser; je größer das Rad, desto kleiner der Rollwiderstand
  • Werkstoffpaarung
  • Materialoberfläche
  • den verwendeten Lagern

wR = Rollwiderstand⋅cosα

 

wR: effektiver Rollwiderstand
Rollwiderstand:     spezifischer Rollwiderstand
α: Steigungswinkel in ° - für kleine Winkel gilt: cosα ist ungefähr eins

Beispiele für den Rollwiderstand

Beispiele Rollwiderstand 
Eisenbahn allgemein 0.001 - 0.005
Gartenbahn ~ 0.003
Personenwagen 0.001 - 0.003
Lokomotive 0.003 - 0.005
Güterzug 0.003 - 0.005
Autoreifen auf Asphalt   0.013 - 0.015

Spezifischer Steigungswiderstand wS

Der Steigungswiderstand berechnet sich wie folgt:

 

wS = sinα ≈ tanα (für kleine Winkel)

 

wS:     spezifischer Steigungswiderstand
α: Steigungswinkel [°]

 

Für kleine Winkel (bis ungefähr 6 % bzw. 3.43°) kann statt dem Sinus auch der Tangens verwendet werden. Dann ist tan α gleich dem Höhenunterschied durch den zurückgelegten Weg in der Horizontalen. Wenn der Zug bergab fährt, ist der Steigungswiderstand negativ in die Zugkraftgleichung einzusetzen!

Beispiele für den Steigungswiderstand wS - Adhäsionsbahnen

Beispiele wS

Maximale Steigung in %

Bemerkung
Arlbergbahn 0.031 3.1  
Semmeringbahn 0.028 2.8  
Pöstlingbergbahn 0.1152 11.6  
Straßenbahn Wien 0.062 6.2 maximal befahrbare Steigung *
Straßenbahn Lissabon 0.1338 13.5 steilste Adhäsionsbahn der Welt
Mühlkreisbahn 0.04595 4.6  
Erzbergbahn 0.0708 7.1  

Quelle Steigung: Wikipedia

* Quelle: Machbarkeitsstudie Straßenbahnlinie 13, Stadt Wien/TU Wien

Beispiele für den Steigungswiderstand wS - Zahnradbahnen

Beispiele wS Maximale Steigung in %
Bemerkung
Schneebergbahn 0.1923 19.6  
Schafbergbahn 0.2471 25.5  
Zugspitzbahn 0.2425 25.0  
Pilatusbahn 0.4327 48.0 steilste Zahnradbahn der Welt

 Quelle Steigung: Wikipedia

Beispiele für den Steigungswiderstand wS von Straßen

Beispiele Steigungs-widerstand

Maximale

Steigung in %

Bemerkung
Großglockner-Hochalpenstraße 0.1191 12  
Straße neben Markwardstiege (Wien) 0.2961 31 steilste Straße Wiens (?)
Turracher Höhe - nach Ausbau 0.2241 23  
Turracher Höhe - alte Trassierung 0.3048 32 früher steilste Straße Europas
Baldwin Street (Neuseeland) 0.3304 35 steilste Straße der Welt

Spezifischer Krümmungswiderstand wK

Der Krümmungswiderstand tritt natürlich nur in Bögen auf. Je enger die Kurve, desto größer ist der Widerstand. Bei Bögen mit Radien über 1000 m kann dieser Widerstand vernachlässigt werden.

 

Beispiel:

Für die Semmeringbahn, die Bögen mit Radien von nur 190 m besitzt, kann man einen Wert von ~ 0.002 annehmen.

Spezifischer Beschleunigungswiderstand wB

Den Beschleunigungswiderstand berechnet man mit folgender Formel:

 

wB = a*β/g

 

wB: spezifischer Beschleunigungswiderstand

a:

Beschleunigung des Zuges, kann

auch negativ sein; in m/s²

β:

Massenfaktor

g:

Erdbeschleunigung in m/s²

 

Passende Werte für die Beschleunigung a; für g setzt man 9.81 m/s² ein. Der Massenfaktor β berücksichtigt das Verhältnis von rotierenden Massen zu translatorisch bewegten Massen. Für Gartenbahnen nehme ich einen Wert von 1.1 an.

Beispiele für den Massenfaktor

Beispiele Massenfaktor
Reisezug 1.10
Lokomotiven 1.20 - 1.30
ICE 3 1.04
Güterzug (leer) 1.15
Güterzug (beladen) 1.06

 Quelle: www.ids.uni-hannover.de

Sonstige Widerstände

Es gibt zum Beispiel noch den zusätzlichen Widerstand durch Seitenwind (erhöhte Reibkräfte zwischen Radspurkranz und Schiene), den Tunnelwiderstand und den Weichenwiderstand. All diese Widerstände sind beim Gartenbahnbetrieb vernachlässigbar.

Der Tunnelwiderstand ergibt sich aus dem Aufbau einer Druckwelle bzw. durch das Bewegen einer Luftsäule vor dem Fahrzeug. Dieser Widerstand hängt ab von der Rauigkeit der Tunnelwand, der Zug- bzw. Tunnellänge und dem Verhältnis von Fahrzeug- und Tunnelquerschnitt.

Der Weichenwiderstand wW ergibt sich durch Krümmungswechsel ohne Übergangsbögen, durch die Radlenker (Reibungsverluste) und durch das Herzstück (Verluste durch Stoß wegen Schienenlücke). Für diesen Widerstand  kann man einen Wert von ~ 0.001 annehmen.

 

Quelle: www.ids.uni-hannover.de