Widerstände für die Zugkraftgleichung

Hier wird beschrieben, wie man die einzelnen Wider­stände für die Zug­kraft­gleichung ermitteln kann. Dabei handelt es sich immer um sogenannte spezifische Wider­stände. Zudem sind hier einige Tabellen mit Beispiels­werten zu finden.

 

>> Für weitere Informationen sei auf meinen Zugkraft- bzw. Leistungs­rechner hinge­wiesen!

Inhaltsverzeichnis

Zugkraftgleichung

Die benötigte Zugkraft eines Fahr­zeuges kann mit der folgenden Formel - der soge­nannten Zug­kraft­gleichung - berechnet werden:

 

Zugkraftgleichung
Zugkraftgleichung
FZ: Erforderliche Zugkraft in N
mLok: Masse der Lok in kg
mWagen: Gesamtmasse aller angehängten Wagen in kg
g:             Erdbeschleunigung in m/s²
wR: Rollwiderstand
wL: Luftwiderstand
wS: Steigungswiderstand
wK: Krümmungswiderstand
wB: Beschleunigungswiderstand

 

Wie man die einzelnen Widerstände berechnet, wird in den folgenden Abschnitten beschrieben:

Spezifischer Luftwiderstand wL

Der Luftwiderstand berechnet sich mit folgender Formel:


Formel zur Berechnung des Luftwiderstandes
wL: spezifischer Luftwiderstand
cw: Luftwiderstandsbeiwert
A: Querschnittsfläche in m²
ρ: Dichte der Luft in kg/m³
v: Relativgeschwindigkeit in m/s
mLok: Masse der Lok in kg
mWagen:    Gesamtmasse aller angehängten Wagen in kg
g: Erdbeschleunigung in m/s²

 

Die Dichte der Luft hängt sowohl von der Temperatur als auch von der See­höhe ab. Mit zunehmender Seehöhe und mit höheren Temperaturen nimmt die Luft­dichte ab. Man kann Werte von 1.2 - 1.4 kg/m³ annehmen. Die Geschwindig­keit setzt sich aus der Fahrge­schwindig­keit plus Gegen­wind (bzw. minus dem Rücken­wind) zusammen.

cw-Werte für die Eisenbahn (Personenzug)

Die folgenden Werte gelten bei einem An­ström­winkel von 0° und einer Norm­fläche von 10 m²:

 

Beispiel
Luftwiderstandsbeiwert
Lokomotive (mit Zug) 0.3 - 0.5
Lok alleine, optimiert 0.45 - 0.60
Lok alleine, normal 0.8 - 1.0
1. Wagen 0.15 - 0.20
Mittlere Wagen 0.10 - 0.15
Endwagen 0.25 - 0.30

Anhand der vorigen Tabelle kann man sich den Luft­wider­stands­bei­wert eines Rail­jets mit Lok Taurus und 7 Wagen näherungs­weise berechnen:

 

cw = 0.3 + 0.20 + 5 * 0.12 + 0.25 = 1.35

Allgemeine Beispiele für den Luftwiderstandsbeiwert

Beispiele Luftwiderstandsbeiwert
Railjet (Lok Taurus und 7 Wagen) * ~1.35
Cabriolet 0.6
VW Käfer 0.48
moderner PKW ~ 0.3
Bus ~ 0.65
LKW 0.5 - 0.7
LKW (Sattelzug) 0.7 - 1
Mensch, stehend 0.78
Flugzeug 0.08

Quelle: Wikipedia

* zuvor berechnet

Spezifischer Rollwiderstand wR

Der Rollwiderstand ist abhängig von:

  • Raddurchmesser; je größer das Rad, desto kleiner der Roll­wider­stand
  • Werkstoffpaarung
  • Materialoberfläche
  • den verwendeten Lagern

 

wR = Rollwiderstand ⋅ cosα

 

wR: effektiver Rollwiderstand
Rollwiderstand:     spezifischer Rollwiderstand
α: Steigungswinkel in ° - für kleine Winkel gilt: cosα ist ungefähr eins

Beispiele für den Rollwiderstand

Beispiele Rollwiderstand 
Eisenbahn allgemein 0.001 - 0.003
Personenwagen 0.001 - 0.002
Lokomotive ~ 0.003
Güterzug ~ 0.002
LKW auf Asphalt/Beton * 0.006 - 0.010
PKW auf Asphalt/Beton * 0.010 - 0.02
PKW auf Kopfsteinpflaster * 0.015 - 0.03
Autoreifen auf losem Sand * 0.30

* Quelle: Wikipedia

Spezifischer Steigungswiderstand wS

Der Steigungswiderstand berechnet sich wie folgt:

 

wS = sinα ≈ tanα (für kleine Winkel)

 

wS:     spezifischer Steigungswiderstand
α: Steigungswinkel [°]

 

Für kleine Winkel (bis ungefähr 6 % bzw. 3.43°) kann statt dem Sinus auch der Tangens verwendet werden. Dann ist tan α gleich dem Höhen­unterschied durch den zurück­gelegten Weg in der Horizontalen. Wenn der Zug bergab fährt, ist der Steigungs­wider­stand negativ in die Zug­kraft­gleichung einzu­setzen!

Beispiele für den Steigungswiderstand wS - Adhäsionsbahnen

Beispiele wS

Maximale Steigung in %

Bemerkung
Arlbergbahn 0.031 3.1  
Semmeringbahn 0.028 2.8  
Pöstlingbergbahn 0.1152 11.6  
Straßenbahn Wien 0.062 6.2 maximal befahrbare Steigung *
Straßenbahn Lissabon 0.1338 13.5 steilste Adhäsionsbahn der Welt
Mühlkreisbahn 0.04595 4.6  
Erzbergbahn 0.0708 7.1  

Quelle Steigung: Wikipedia

* Quelle: Machbarkeits­studie Straßen­bahn­linie 13, Stadt Wien/TU Wien

Beispiele für den Steigungswiderstand wS - Zahnradbahnen

Beispiele wS Maximale Steigung in %
Bemerkung
Schneebergbahn 0.1923 19.6  
Schafbergbahn 0.2471 25.5  
Zugspitzbahn 0.2425 25.0  
Pilatusbahn 0.4327 48.0 steilste Zahnradbahn der Welt

Quelle Steigung: Wikipedia

Beispiele für den Steigungswiderstand wS von Straßen

Beispiele Steigungs-widerstand

Maximale

Steigung in %

Bemerkung
Großglockner-Hochalpenstraße 0.1191 12  
Straße neben Markwardstiege (Wien) 0.2961 31 steilste Straße Wiens (?)
Turracher Höhe - nach Ausbau 0.2241 23  
Turracher Höhe - alte Trassierung 0.3048 32 früher steilste Straße Europas
Baldwin Street (Neuseeland) 0.3304 35 steilste Straße der Welt

Spezifischer Krümmungswiderstand wK

Der Krümmungswiderstand tritt natürlich nur in Bögen auf. Je enger die Kurve, desto größer ist der Wider­stand. Bei Bögen mit Radien über 1000 m kann dieser Wider­stand vernachlässigt werden.

 

Beispiel:

Für die Semmering­bahn, die Bögen mit Radien von nur 190 m besitzt, kann man einen Wert von ~ 0.002 annehmen.

Spezifischer Beschleunigungswiderstand wB

Den Beschleunigungswiderstand berechnet man mit folgender Formel:

 

wB = a*β/g

 

wB: spezifischer Beschleunigungswiderstand

a:

Beschleunigung des Zuges, kann

auch negativ sein; in m/s²

β:

Massenfaktor

g:

Erdbeschleunigung in m/s²

 

Passende Werte für die Beschleunigung a; für g setzt man 9.81 m/s² ein. Der Massen­faktor β berücksichtigt das Verhältnis von rotierenden Massen zu trans­latorisch bewegten Massen. Für Garten­bahnen nehme ich einen Wert von 1.1 an.

Beispiele für den Massenfaktor

Beispiele Massenfaktor
Reisezug 1.10
Lokomotiven 1.20 - 1.30
ICE 3 1.04
Güterzug (leer) 1.15
Güterzug (beladen) 1.06

Sonstige Widerstände

Es gibt zum Beispiel noch den zusätzlichen Wider­stand durch Seiten­wind (erhöhte Reib­kräfte zwischen Rad­spur­kranz und Schiene), den Tunnel­wider­stand und den Weichen­wider­stand. All diese Wider­stände sind beim Garten­bahn­betrieb vernach­lässigbar.

Der Tunnelwider­stand ergibt sich aus dem Aufbau einer Druck­welle bzw. durch das Bewegen einer Luft­säule vor dem Fahr­zeug. Dieser Wider­stand hängt ab von der Rauigkeit der Tunnel­wand, der Zug- bzw. Tunnel­länge und dem Verhältnis von Fahrzeug- und Tunnel­quer­schnitt.

Der Weichenwider­stand wW ergibt sich durch Krümmungs­wechsel ohne Über­gangs­bögen, durch die Rad­lenker (Reibungs­verluste) und durch das Herz­stück (Verluste durch Stoß wegen Schienen­lücke). Für diesen Wider­stand kann man einen Wert von ~ 0.001 annehmen.