Flächenschwerpunkt einfacher und zusammengesetzter Flächen

Auf dieser Seite wird zunächst erklärt, wie man den Flächenschwerpunkt einfacher und zusammengesetzter Flächen berechnen kann. Natürlich findet man auch die zur Berechnung benötigten Formeln.

 

Zuletzt wird die Lage des Flächenschwerpunkts einer zusammengesetzten Figur (unsymmetrisches Rechteckhohlprofil) bestimmt, das Beispiel wird komplett durchgerechnet.

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Der geometrische Schwerpunkt von Flächen wird Flächenschwerpunkt genannt. Die Berechnung des Flächenschwerpunkts wird für einige Anwendungen in der Mechanik benötigt. Zum Beispiel kann bei Kenntnis der Lage des Gesamtschwerpunkts das Flächenträgheitsmoment komplexer Querschnitte bestimmt werden.

 

>> Rechner zur Bestimmung von Flächenträgheits- und Widerstandsmomenten 

 

 

Falls eine Fläche Symmetrieachsen besitzt, liegt der Flächenschwerpunkt immer auf dieser bzw. auf diesen Symmetrieachsen. So befindet sich zum Beispiel der Schwerpunkt eines Rechtecks genau in der Mitte der Fläche, vergleiche Formel 4.1.

Einfache geometrische Flächen

In der folgenden Tabelle findet man die Lage des Schwerpunktes und die Formeln zur Berechnung des Schwerpunktabstandes von einfachen geometrischen Flächen. Die Lage des Schwerpunkts bei symmetrischen Figuren wie Rechteck und Kreis ist naheliegend, für die beiden Figuren Dreieck bzw. Halbkreis gibt es Formeln. SP ist die Abkürzung für den Schwerpunkt, y0 bezeichnet den Schwerpunktabstand von einer Bezugskante bzw. von einem Bezugspunkt.

 

Formeln für zusammengesetzte Flächen

Falls man die Schwerpunktabstände komplexerer Flächen berechnen möchte, benötigt man die folgenden zwei Formeln.

 

Schwerpunktabstand x0 in Richtung der x-Achse (Formel 4.5):

Formel zur Berechnung des Schwerpunktabstandes in x-Richtung
Schwerpunktabstand in x-Richtung

 

Schwerpunktabstand y0 in Richtung der y-Achse (Formel 4.6):

Formel zur Berechnung des Schwerpunktabstandes in y-Richtung
Schwerpunktabstand in y-Richtung
xi, yi Abstand: Schwerpunkt Teilfläche – Bezugskante, häufig in mm oder cm
Ai Flächeninhalt der Teilfläche, häufig in mm² oder cm²

 

Analog dazu bestimmt man den Schwerpunktabstand z0 in Richtung der z-Achse.

 

 

Die Flächen bzw. Abstände können unter gewissen Umständen auch negative Werte annehmen:

  • Je nach Lage der Bezugskante ist es möglich, dass Teilschwerpunktabstände und/oder der gesamte Schwerpunktabstand ein negatives Vorzeichen bekommen.
  • Hat die Fläche Bohrungen oder andere Ausschnitte, werden diese Flächen in der Formel mit einem negativen Vorzeichen versehen.

Vorgangsweise bei der Berechnung des Gesamtschwerpunkts

  • Günstige Aufteilung der Gesamtfläche in Teilflächen, von denen man die Lage des Schwerpunkts kennt
  • Wahl der Bezugskante
  • Anfertigung einer Skizze mit den Teilflächen, den Teilschwerpunktabständen und dem gesamten Schwerpunktabstand
  • Erstellung einer Tabelle
  • Berechnung des gesamten Schwerpunktabstandes mit Formel 4.5 bzw. 4.6

Beispiel: Teilweise unsymmetrisches Rechteckhohlprofil

Dieses Beispiel wird komplett durchgerechnet, wobei die Bestimmung der Lage des Gesamtschwerpunkts nach der zuvor beschriebenen Vorgangsweise erfolgt.

Angabe

Bestimmen Sie die Lage des Schwerpunkts vom gegebenen Rechteckhohlprofil.

 

Die strichlierte Linie stellt die Symmetrieachse der Fläche dar, mit SP wird der Schwerpunkt bezeichnet. Alle Maße werden in mm angegeben.


Lösung

Aufteilung in zwei Teilflächen

 

Die Gesamtfläche wird in zwei Teilflächen aufgeteilt: Die Fläche des äußeren Rechtecks bekommt die Nummer 1, die innere Fläche die Nummer 2. Die innere Fläche wird abgezogen, deshalb bekommt sie ein negatives Vorzeichen. 

 

 

Wahl der Bezugskante, Anfertigung einer Skizze und Erstellung einer Tabelle

 

Anschließend werden eine Tabelle und eine Skizze erstellt, wobei i die Nummer der jeweiligen Teilfläche ist. Als Bezugskante wird die äußerste linke Seite des Profils gewählt. Von dieser Kante aus werden die zwei Abstände x1 und x2 zu den beiden Teilschwerpunkten bzw. der Abstand x0 zum Gesamtschwerpunkt ermittelt.

 

i  Ai in mm2 xi in mm Ai · xi in mm3
 A1 = 2925  x1 = 32.5  A1 · x1 = 95062.5
2  A2 = -1200  x2 = 37.0  A2 · x2 = -44400
 Σ  A = 1725    50662.5

 

Die Werte in den einzelnen Feldern dieser Tabelle werden auf folgende Weise bestimmt:

 

Flächeninhalte:

Äußere Teilfläche 1: A1 = 65 mm · 45 mm = 2925 mm2

Innere Teilfläche 2: A2 = 40 mm · 30 mm = -1200 mm2; Diese Fläche muss ein negatives Vorzeichen bekommen.

Gesamtfläche: A = A1 + A2 = 2925 mm2 – 1200 mm2 = 1725 mm2; Hier wird die Summe der beiden Teilflächen eingetragen, wobei in diesem Fall die innere Fläche von der ersten Fläche abgezogen wird.

 

Schwerpunktabstände:

Sind die Abstände von der Bezugskante zu den Schwerpunkten der Teilflächen:

x1 = 65 mm / 2 = 32,5 mm

x2 = (65 mm – 40 mm – 8 mm) + 40 mm / 2 = 37 mm

 

Produkte aus Flächeninhalt und Schwerpunktabstand:

A1 · x1 = 2925 mm2 · 32,5 mm = 95062,5 mm3

A2 · x2 = -1200 mm2 · 37 mm = -44400 mm3

A1 · x1 + A2 · x2 = 95062,5 mm3 – 44400 mm3 = 50662,5 mm3

 

 

Berechnung der Lage des Gesamtschwerpunktes

 

Nun hat man alle erforderlichen Zwischenergebnisse und kann daher den gesuchten Gesamtschwerpunktabstand mit Formel 4.5 berechnen:

 

Plausibilitätskontrolle:

 

Der Gesamtschwerpunkt liegt etwas links vom Halbierungspunkt der längeren Außenseite:

29.37 mm < 32.5 mm.

 

 

Variante: Aufteilung in vier Teilflächen

 

Für die Berechnung der Lage des Gesamtschwerpunktes gibt es für viele Aufgaben meist mehrere Möglichkeiten. Man könnte die gegebene Fläche auch in vier Teilflächen aufteilen:

 

Zunächst wird wie immer eine Tabelle erstellt. Die Beschriftung der Flächen ist in der folgenden Abbildung ersichtlich. Als Bezugskante wird wie zuvor die äußerste linke Kante gewählt.

 

 

Die Berechnung der Werte in den einzelnen Feldern erfolgt ähnlich wie zuvor, es wird jedoch auf die Anführung des genauen Rechenweges verzichtet.

 

Wie man sieht, entsprechen diese Werte genau den Zahlen aus der vorigen Variante. Allerdings ist die zweite Variante wesentlich komplizierter und daher nicht zu empfehlen.

Seite erstellt im November 2018. Zuletzt geändert am 09.11.2018.