Schwerpunkt einfacher und zusammengesetzter Flächen

Auf dieser Seite wird zunächst erklärt, wie man den Flächen­schwerpunkt einfacher und zusammen­gesetzter Flächen berechnen kann. Natürlich findet man auch die zur Berechnung benötigten Formeln.

 

Zuletzt wird die Lage des Schwer­punkts einer zusammen­gesetzten Figur (unsymmetrisches Rechteck­hohlprofil) bestimmt, dieses Beispiel wird komplett durchgerechnet.

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Der geometrische Schwer­punkt von Flächen wird Flächen­schwerpunkt genannt. Die Berechnung des Flächen­schwerpunkts wird für einige Anwendungen in der Mechanik benötigt. Zum Beispiel kann bei Kenntnis der Lage des Gesamtschwerpunkts das Flächen­trägheits­moment komplexer Quer­schnitte bestimmt werden.

 

>> Rechner zur Bestimmung von Flächen­trägheits- und Widerstands­momenten

 

 

Falls eine Fläche Symmetrie­achsen besitzt, liegt der Flächen­schwerpunkt immer auf dieser bzw. auf diesen Symmetrie­achsen. So befindet sich zum Beispiel der Schwer­punkt eines Rechtecks genau in der Mitte der Fläche, vergleiche Formel 4.1.

Einfache geometrische Flächen

In der folgenden Tabelle findet man die Lage des Schwer­punktes und die Formeln zur Berechnung des Schwer­punkt­abstandes von einfachen geometrischen Flächen. Die Lage des Schwer­punkts bei symmetrischen Figuren wie Rechteck und Kreis ist naheliegend, für die beiden Figuren Dreieck bzw. Halb­kreis gibt es Formeln. SP ist die Abkürzung für den Schwer­punkt, y0 bezeichnet den Schwer­punkt­abstand von einer Bezugs­kante bzw. von einem Bezugs­punkt.

 

Lage des Schwerpunkts einfacher geometrischer Figuren
Lage des Schwerpunkts einfacher geometrischer Figuren

Formeln für zusammengesetzte Flächen

Falls man die Schwerpunktabstände komplexerer Flächen berechnen möchte, benötigt man die folgenden zwei Formeln.

 

Schwerpunktabstand x0 in Richtung der x-Achse (Formel 4.5):

Formel zur Berechnung des Schwerpunktabstandes in x-Richtung
Schwerpunktabstand in x-Richtung

 

Schwerpunktabstand y0 in Richtung der y-Achse (Formel 4.6):

Formel zur Berechnung des Schwerpunktabstandes in y-Richtung
Schwerpunktabstand in y-Richtung
xi, yi Abstand: Schwerpunkt Teilfläche – Bezugskante, häufig in mm oder cm
Ai Flächeninhalt der Teilfläche, häufig in mm² oder cm²

 

Analog dazu bestimmt man den Schwer­punkt­abstand z0 in Richtung der z-Achse.

 

 

Die Flächen bzw. Abstände können unter gewissen Umständen auch negative Werte annehmen:

  • Je nach Lage der Bezugskante ist es möglich, dass Teil­schwerpunkt­abstände und/oder der gesamte Schwerpunkt­abstand ein negatives Vorzeichen bekommen.
  • Hat die Fläche Bohrungen oder andere Ausschnitte, werden diese Flächen in der Formel mit einem negativen Vorzeichen versehen.

Vorgangsweise bei der Berechnung des Gesamtschwerpunkts

  • Günstige Aufteilung der Gesamt­fläche in Teil­flächen, von denen man die Lage des Schwer­punkts kennt
  • Wahl der Bezugskante
  • Anfertigung einer Skizze mit den Teilflächen, den Teilschwerpunkt­abständen und dem gesamten Schwerpunktabstand
  • Erstellung einer Tabelle
  • Berechnung des gesamten Schwerpunkt­abstandes mit Formel 4.5 bzw. 4.6

Beispiel: Teilweise unsymmetrisches Rechteckhohlprofil

Dieses Beispiel wird komplett durch­gerechnet, wobei die Bestimmung der Lage des Gesamt­schwer­punkts nach der zuvor beschriebenen Vor­gangs­weise erfolgt.

Angabe

Bestimmen Sie die Lage des Schwer­punkts vom gegebenen Recht­eck­hohl­profil!

 

Die strichlierte Linie stellt die Symmetrie­achse der Fläche dar, mit SP wird der Schwer­punkt bezeichnet. Alle Maße werden in mm angegeben.

 


Lösung der Aufgabe

Aufteilung in zwei Teil­flächen

 

Die Gesamt­fläche wird in zwei Teil­flächen aufgeteilt: Die Fläche des äußeren Rechtecks bekommt die Nummer 1, die innere Fläche die Nummer 2. Die innere Fläche wird abgezogen, deshalb bekommt sie ein negatives Vorzeichen. 

 

 

Wahl der Bezugskante, Anfertigung einer Skizze und Erstellung einer Tabelle

 

Anschließend werden eine Tabelle und eine Skizze erstellt, wobei i die Nummer der jeweiligen Teil­fläche ist. Als Bezugs­kante wird die äußerste linke Seite des Profils gewählt. Von dieser Kante aus werden die zwei Abstände x1 und x2 zu den beiden Teil­schwer­punkten bzw. der Abstand x0 zum Gesamt­schwer­punkt ermittelt.

 

i  Ai in mm2 xi in mm Ai · xi in mm3
 A1 = 2925  x1 = 32.5  A1 · x1 = 95062.5
2  A2 = -1200  x2 = 37.0  A2 · x2 = -44400
 Σ  A = 1725    50662.5

 

Die Werte in den einzelnen Feldern dieser Tabelle werden auf folgende Weise bestimmt:

 

Flächeninhalte:

Äußere Teilfläche 1: A1 = 65 mm · 45 mm = 2925 mm2

Innere Teilfläche 2: A2 = 40 mm · 30 mm = -1200 mm2; Diese Fläche muss ein negatives Vorzeichen bekommen.

Gesamtfläche: A = A1 + A2 = 2925 mm2 – 1200 mm2 = 1725 mm2; Hier wird die Summe der beiden Teil­flächen eingetragen, wobei in diesem Fall die innere Fläche von der ersten Fläche abgezogen wird.

 

Schwerpunktabstände:

Sind die Abstände von der Bezugs­kante zu den Schwer­punkten der Teil­flächen:

x1 = 65 mm / 2 = 32,5 mm

x2 = (65 mm – 40 mm – 8 mm) + 40 mm / 2 = 37 mm

 

Produkte aus Flächeninhalt und Schwerpunkt­abstand:

A1 · x1 = 2925 mm2 · 32,5 mm = 95062,5 mm3

A2 · x2 = -1200 mm2 · 37 mm = -44400 mm3

A1 · x1 + A2 · x2 = 95062,5 mm3 – 44400 mm3 = 50662,5 mm3

 

 

Berechnung der Lage des Gesamt­schwer­punktes

 

Nun hat man alle erforderlichen Zwischen­ergebnisse und kann daher den gesuchten Gesamt­schwer­punkt­abstand mit Formel 4.5 berechnen:

 

Plausibilitätskontrolle:

Der Gesamtschwerpunkt liegt etwas links vom Halbierungs­punkt der längeren Außen­seite:

29.37 mm < 32.5 mm.

 

 

Variante: Aufteilung in vier Teilflächen

 

Für die Berechnung der Lage des Gesamt­schwer­punktes gibt es für viele Aufgaben meist mehrere Möglichkeiten. Man könnte die gegebene Fläche auch in vier Teil­flächen aufteilen:

 

Zunächst wird wie immer eine Tabelle erstellt. Die Beschriftung der Flächen ist in der folgenden Ab­bildung ersichtlich. Als Bezugs­kante wird wie zuvor die äußerste linke Kante gewählt.

 

 

Die Berechnung der Werte in den einzelnen Feldern erfolgt ähnlich wie zuvor, es wird jedoch auf die Anführung des genauen Rechen­weges verzichtet.

 

Wie man sieht, entsprechen diese Werte genau den Zahlen aus der vorigen Variante. Allerdings ist die zweite Variante wesentlich komplizierter und daher nicht zu empfehlen.

Seite erstellt im November 2018. Zuletzt geändert am 31.01.2019.