Cardanische Formeln

Die Cardanischen Formeln dienen dazu, Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen) zu lösen. Dazu muss man die gegebene Gleichung in diese Form bringen:

 

v³ + a⋅v² + b⋅v + c = 0

 

Folgende Variabeln werden definiert:

Für die Berechnung von v braucht man noch z.

Wenn D größer als 0 ist, gilt für z:

Wenn D gleich 0 ist, berechnet man z wie folgt:

Wenn D kleiner 0 ist (das ist der sogenannte Casus Irreducibilis), gilt für z:

Das sind die Formeln, wie sie für JavaScript benötigt werden: Der arccos erwartet als Parameter eine Zahl mit Werten zwischen -1 und +1 und liefert eine Zahl in der Einheit Bogenmaß (Radiant) zurück. Die cos- Funktion erwartet Werte im Bogenmaß, deshalb wird der Winkel bei z1 und z2 in Radiant angegeben. Der Wert 2*PI/3 entspricht 120°, der Wert 4*PI/3 240°.

Nun kann man sich v mit der schon weiter oben angegebenen Formel ausrechnen:

Falls D kleiner 0 ist, bekommt man manchmal bis zu drei Lösungen. Auch wenn dann alle drei Ergebnisse mathematisch betrachtet Lösungen der Gleichung sind, sind nicht alle Lösungen in der Praxis sinnvoll.

 

Quelle Cardanische Formeln: Wikipedia