Durchgerechnete Beispiele zum Satz von Castigliano & Menabrea

Diese Seite befindet sich momentan noch im Aufbau, dennoch wurde schon ein Beispiel fertig gestellt!

 

Zu diesem Thema passend sei auf den Rechner zur

Bestimmung der Auflagerreaktionen eines Trägers hingewiesen.

Der Satz von Menabrea

Der Satz von Menabrea wird bei der Berechnung von statisch unbestimmten Systemen angewandt. Er lautet:

 

Gl. 1
Gl. 1

 

Dabei bedeuten:

U#   Formänderungsenergie

Xi    statisch unbestimmte Größen

 

Die Formänderungsenergie erhält man mit folgender Formel (ohne Anteile der Normalkraft und Temperatur):

 

Gleichung 2
Gleichung 2

Beispiel: Berechnung der Auflagerreaktionen für einen beidseitig fest eingespannten Träger, Gleichlast (mehrfach statisch unbestimmt)

Es sollen die Auflagerkräfte für den folgenden Träger berechnet werden:

Feste Einspannung in beiden Lagern, Gleichlast (statisch unbestimmt); Koordinatenursprung im Lager A
Feste Einspannung in beiden Lagern, Gleichlast (statisch unbestimmt); Koordinatenursprung im Lager A

 

Zunächst wird das Biegemoment My bestimmt:

daraus folgt:

Gleichung 3
Gleichung 3

 

Dieses Biegemoment setzt man in die Gleichung der Formänderungsenergie (Gleichung 2) ein, wobei zunächst nach MA abgeleitet wird. Man erhält:

 

 

Mit

 

 

ergibt sich unter Anwendung der Kettenregel und mit anschließendem Vereinfachen:

 

 

Diese Gleichung wird einfach nach x integriert (die Konstanten vor dem Integral kann man gleich weglassen), dann werden die beiden Integrationsgrenzen eingesetzt:

 

 

Nach dem Umformen bekommt man für das Moment MA:

 

Gleichung 4
Gleichung 4

 

Das Problem ist, dass man die Auflagerkraft A noch nicht kennt. Aufgrund der Symmetrie kann man aber die Kraft in A sofort anschreiben, sie beträgt q*l/2 und ist natürlich genauso groß wie im Lager B.

 

Im folgenden Abschnitt wird diese Kraft jedoch wieder mit dem Satz von Menabrea berechnet. Zunächst setzt man das Biegemoment in die Gleichung der Formänderungsenergie ein, wobei diesmal nach A abgeleitet wird. Man erhält:

 

 

Mit

 

 

erhält man unter Anwendung der Kettenregel und mit anschließendem Vereinfachen:

 

 

Diese Gleichung wird wieder nach x integriert, danach werden die beiden Integrationsgrenzen eingesetzt:

 

 

Nun wird in die obige Gleichung das zuvor berechnete MA (Gleichung 4) eingesetzt:

 

 

Man erhält zum Schluss durch Umformen für die Auflagerkraft A:

 

Gl. 5
Gl. 5

 

Nun kann durch Einsetzen von A (Gleichung 5) in Gleichung 4 auch das Moment MA bestimmt werden:

 

 

Zuletzt wird das Biegemoment My(x) berechnet, indem man alle bekannten Größen in Gleichung 3 einsetzt:

 

 

Das Biegemoment in Balkenmitte berechnet man, indem man l/2 in die obige Gleichung für x einsetzt: